李樹臣

【摘要】數(shù)學(xué)教育教學(xué)的根本目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心構(gòu)成要素，加強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.為了更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，必須認(rèn)真研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，全方位的認(rèn)識數(shù)學(xué)能力.數(shù)學(xué)能力由數(shù)學(xué)基本能力與一般能力構(gòu)成，數(shù)學(xué)基本能力主要指運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)思維能力和幾何直觀能力.學(xué)生數(shù)學(xué)能力是在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、應(yīng)用過程中形成、發(fā)展和提高的，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力必須讓學(xué)生經(jīng)歷“過程”，這些過程主要指數(shù)學(xué)化的過程、問題解決的過程和綜合實(shí)踐活動的過程.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)能力；數(shù)學(xué)化；問題解決；綜合實(shí)踐活動

我們所處的信息時(shí)代決定了數(shù)學(xué)教育教學(xué)不能僅僅滿足于讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，更重要的是讓學(xué)生獲得在這個充滿疑問、有時(shí)連問題和答案都不確定的世界里生存的本領(lǐng).這就從根本上決定了數(shù)學(xué)教育教學(xué)必須致力于提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（本文中以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)[1].”在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)能力是一個核心要素.著名的數(shù)學(xué)家喬治·波利亞指出“任何學(xué)問都包括知識和能力兩個方面，能力比起知識來要重要的多，因此學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)涵能力，而不是僅僅傳授知識[2].”

關(guān)于數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)問題，廣大的數(shù)學(xué)教育研究人員和一線教師歷來都很重視，并且在努力探討更加有效地教學(xué)途徑.為幫助教師更好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，筆者在本文首先談?wù)剬?shù)學(xué)能力的認(rèn)識，然后結(jié)合自己的研究提出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的三條宏觀途徑.1全面認(rèn)識數(shù)學(xué)能力

《課標(biāo)（2011年版）》關(guān)于數(shù)學(xué)課程的“總目標(biāo)”提出了三條，其中第二條是學(xué)生能：“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力[1].”這便是《課標(biāo)（2011年版）》對學(xué)生數(shù)學(xué)能力目標(biāo)的宏觀要求.

所謂能力，通俗一點(diǎn)說，就是一個人的本領(lǐng)、本事.人的能力是有層次之分的，大體可分為本能、技能和智能.本能是指人生下來就存在的那些能力，既非來自氣力，又非來自腦力；技能指通過機(jī)械式的學(xué)習(xí)、模仿而獲得的，主要以氣力為后盾的那些能力；智能則是靠腦力或智慧來顯示其作用的那些能力.人的能力素質(zhì)應(yīng)該沿著“本能→技能→智能”這個發(fā)展方向來逐步培養(yǎng)和提高[3].

數(shù)學(xué)能力是一種特殊的能力，它是與數(shù)學(xué)活動相適應(yīng)，保證數(shù)學(xué)活動順利完成所必須具備的心理?xiàng)l件.由于數(shù)學(xué)活動通常分為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)研究兩種類型，所以數(shù)學(xué)能力相應(yīng)的呈現(xiàn)出不同的水平.一種是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，即能迅速、容易并且透徹地掌握數(shù)學(xué)知識、技能的那些獨(dú)特的心理特征，另一種是數(shù)學(xué)研究能力，它是創(chuàng)造具有社會價(jià)值的新成果的創(chuàng)造性的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們通常指的是前一種能力[4].

根據(jù)以上觀點(diǎn)，我們可以通俗的認(rèn)為，數(shù)學(xué)能力是指在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)技能解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的本領(lǐng)，它是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要表現(xiàn)形式，也是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心成分.

《課標(biāo)（2011年版）》在提出“總目標(biāo)”后，從“知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度”四個方面進(jìn)行了具體的闡述.關(guān)于數(shù)學(xué)能力的目標(biāo)主要體現(xiàn)在前三個方面的要求之中.仔細(xì)研讀這三個方面的具體要求，可以發(fā)現(xiàn)在《課標(biāo)（2011年版）》提出的課程目標(biāo)中，至少包含如下的數(shù)學(xué)能力：

（1）運(yùn)算能力；（2）幾何直觀能力；（3）數(shù)據(jù)分析能力；（4）感受隨機(jī)現(xiàn)象的能力；（5）合情推理能力；（6）演繹推理能力；（7）觀察能力；（8）數(shù)學(xué)建模能力；（9）合作交流能力；（10）數(shù)學(xué)思考能力與表達(dá)能力等.

這些數(shù)學(xué)能力是由基本能力與一般能力構(gòu)成的，數(shù)學(xué)基本能力主要指運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)思維能力和幾何直觀能力；一般能力包括觀察能力、推理能力、處理數(shù)據(jù)的能力、發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力等.

1.1運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力[1].運(yùn)算能力是在不斷地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、法則、公式，經(jīng)過一定數(shù)量的練習(xí)而逐步形成和發(fā)展的.教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，從而尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題.

1.2數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)思維能力泛指用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力，它在一個人的所有數(shù)學(xué)能力中處于核心地位.數(shù)學(xué)思維能力最基本的成分是邏輯思維能力和非邏輯思維能力.所謂邏輯思維能力，就是按照邏輯思維的規(guī)律，運(yùn)用邏輯思維的方法進(jìn)行思考、推理和論證的能力.非邏輯思維能力主要指歸納、類比及直覺思維的能力.歸納、類比和直覺思維都屬于創(chuàng)造性思維的范疇.M·克萊因指出，“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直覺上.[5]”

1.3幾何直觀（或幾何直觀能力）

幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象.它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.幾何直觀與“邏輯”、“推理”密不可分，常?？窟壿媮碇?借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用[1].

在上面諸能力中，邏輯思維能力為其核心.2培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的宏觀途徑

中學(xué)數(shù)學(xué)教育關(guān)于能力的培養(yǎng)主要是在“技能→智能”[3]間進(jìn)行，究竟如何才能更加有效地培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力呢？

我們在認(rèn)真學(xué)習(xí)《課標(biāo)（2011年版）》及有關(guān)研究成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合自己的思考與探索，認(rèn)為下列措施是非常有效的：

2.1引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Freudenthal）認(rèn)為，“數(shù)學(xué)化”是指人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的過程.簡單地說，數(shù)學(xué)的組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是數(shù)學(xué)化[6].數(shù)學(xué)化可分為橫向數(shù)學(xué)化（水平的）和縱向數(shù)學(xué)化（垂直的）兩個層次[7]，即：

數(shù)學(xué)化橫向——生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)知識

從數(shù)學(xué)知識到實(shí)際問題

縱向——數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的遷移與調(diào)整（從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)）

橫向數(shù)學(xué)化是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)知識或從數(shù)學(xué)知識到實(shí)際問題的過程，其結(jié)果是形成了數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律、定理，以及為解決實(shí)際問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等，它注重的是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.縱向數(shù)學(xué)化是從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)，以已有知識為基礎(chǔ)進(jìn)行綜合、演繹、整理的過程，其結(jié)果必然形成了不同層次的公理體系和形式體系，注重的是數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的遷移和調(diào)整，達(dá)到深化數(shù)學(xué)知識，或者使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化的目的.如公式推導(dǎo)、證明等.

從數(shù)學(xué)化的角度看，我們應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，這是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的根本途徑，“貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程”的含義如下[8]：

（1）把培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力貫穿于整個數(shù)學(xué)課程的各個學(xué)習(xí)內(nèi)容中，即應(yīng)包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率以及綜合與實(shí)踐等所有課程領(lǐng)域.

（2）把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動過程中.如在有些概念的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生通過運(yùn)算經(jīng)歷從特定對象的本質(zhì)屬性入手，抽象、概括形成概念的過程，并引導(dǎo)學(xué)生通過解答有關(guān)問題加深對概念的理解；在命題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分清條件、結(jié)論，正確把握條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法解答；在證明題的教學(xué)中，要讓學(xué)生在運(yùn)用有關(guān)知識的基礎(chǔ)上（定理、公理、法則），先用合情推理探索得到有關(guān)結(jié)論，再用演繹推理加以證明.

（3）把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)之中，如預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、課堂教學(xué)、反饋練習(xí)等，在所有的這些學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，都要設(shè)計(jì)相應(yīng)的問題，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、思考、計(jì)算、推理、論證、交流等活動的過程中完成對問題的解答，從而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

案例1n邊形的內(nèi)角和定理的探究發(fā)現(xiàn)過程.

對于多邊形的內(nèi)角和定理的學(xué)習(xí)過程，教師應(yīng)把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索定理的過程上，而不是讓學(xué)生簡單地看看課本并記住n邊形的內(nèi)角和定理和應(yīng)用這一定理上.筆者認(rèn)為可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷下述過程：

（1）已知四邊形ABCD（如圖1），你能計(jì)算出它的內(nèi)角和來嗎？相互交流自己的計(jì)算方法.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過計(jì)算、相互交流發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和可以通過添加輔助線，將它分割成三角形，利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到.這個過程主要體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，具體的轉(zhuǎn)化過程有以下三種：

觀察表中的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？與同學(xué)交流.

（3）你能根據(jù)前面的方法計(jì)算出如圖3所示的n邊形的內(nèi)角和來嗎？

設(shè)計(jì)意圖目的是引導(dǎo)學(xué)生借助求四邊形、五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和的經(jīng)驗(yàn)，通過添加輔助線，將n邊形分割成三角形，其轉(zhuǎn)化的過程可歸納為圖4所示的三種情形.

這樣，學(xué)生在解答上述問題的過程中，通過計(jì)算、交流、歸納、將會得到一個重要結(jié)論：

n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°.

這個結(jié)論是學(xué)生在“數(shù)學(xué)化”的過程中自己探究得到的，而不是教師直接“塞給”他們的.學(xué)生在探究的過程中，其數(shù)學(xué)觀察能力、運(yùn)算能力、幾何直觀能力、交流能力、歸納發(fā)現(xiàn)能力等都將得到培養(yǎng)和提高.最重要的是學(xué)生在探究這一定理的過程中，不僅掌握了n邊形的內(nèi)角和定理，還掌握了轉(zhuǎn)化的方法，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，這對于學(xué)生的自主發(fā)展具有重要的價(jià)值，所以說這種導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)符合《課標(biāo)（2011年版）》提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[1]”的核心理念.

2.2重視問題解決活動

問題解決是由一定的情景引起的，按照一定的目標(biāo)，應(yīng)用各種認(rèn)知活動、技能等，經(jīng)過一系列的思維操作，使問題得以解決的過程.《課標(biāo)（2011年版）》針對“問題解決”提出了四條要求[1]：

（1）初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力.

（2）獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識.

（3）學(xué)會與他人合作交流.

（4）初步形成評價(jià)與反思的意識.

事實(shí)上，問題解決既是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，也是呈現(xiàn)課程內(nèi)容的一種方式；既是一種教學(xué)方式，也是一種學(xué)習(xí)形式，還是一種數(shù)學(xué)能力.

問題解決包括從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題四個層面，學(xué)生通過問題解決活動能實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”的目的.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合課程內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)各種有價(jià)值的問題情境，以此引導(dǎo)學(xué)生去觀察、思考，從而使他們面對各種復(fù)雜的情境、現(xiàn)象時(shí)都能有機(jī)會“從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題[1]”.這里的“問題一般指對人類具有智力挑戰(zhàn)特征的，沒有現(xiàn)成方法、程序或算法可以直接套用的那類問題.[9]”這些問題一般來講，具有較高的思維含量，并帶有一定的普遍性、典型性和規(guī)律性，同時(shí)又往往和生活、生產(chǎn)實(shí)際相聯(lián)系[8].要解決這樣的問題，要求學(xué)生能夠從給出的問題情境中通過分析，獲取有關(guān)的信息，利用這些信息建立起數(shù)學(xué)模型，并能夠靈活運(yùn)用有關(guān)知識加以解決.問題解決能力就是在解決這樣的數(shù)學(xué)問題的過程中逐漸形成和發(fā)展的.

案例2打乒乓球中的學(xué)問（2015年浙江麗水中考題）.

如圖5，某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口在桌面中線端點(diǎn)A處的正上方，假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球的運(yùn)動路線固定不變，且落在中線上，在乒乓球運(yùn)行時(shí)，設(shè)乒乓球與端點(diǎn)A的水平距離為x（米），與桌面的高度為y（米），運(yùn)行時(shí)間為t（秒），經(jīng)多次測試后，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度？

（2）乒乓球落在桌面時(shí)，與端點(diǎn)A的水平距離是多少？

（3）乒乓球落在桌面上彈起后，y與x滿足y=a（x-3）2+k.