施春輝

摘 要：在解三角形的知識背景下有一類求解形如sinA+sinC取值范圍的問題，它有幾種衍生類型如求a+b，a2+b2，sin2A+sin2B的取值范圍，在這類問題解決過程中通行的思路，是將表達式統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成關(guān)于某個角的表達式. 但在處理過程要注意兩點，首先是要注意減少未知數(shù)的個數(shù)；其次，是要注意確定代表元素的取值范圍.

關(guān)鍵詞：a+b；解題思想；解題方法

解三角形在高考中占據(jù)著非常重要的地位，是屬于B級的考查要求，其題目往往是簡單偏中等難度的類型. 而這類題目恰恰是學生成績的基礎(chǔ)，在解三形的知識體系下，有一類求解形如a+b取值范圍的題型，近些年來成為高考和各大市調(diào)研考試青睞的對象，值得花費一番心思去構(gòu)建它的解題模型，形成固定解題程序，方便學生對這類問題的操作.

見微知著：由一道高考題引發(fā)的思考

2015年湖南省高考理科卷第17題的一道解三角形簡單的中檔題引發(fā)了筆者對這一類問題的思考.

模型建構(gòu)：對形如sinA+sinC的題型的理論歸納

在實際的解題過程中學生可能遇到更多的類似于sinA+sinC這樣的題型，比如cosA+cosB，a+b，更復雜點的有sin2A+sin2B，a2+b2等不同表現(xiàn)形式的問題. 這些問題都有一個共性：即它們都包含著兩個未知數(shù)，并且這兩個未知數(shù)可以通過三角形這個中介轉(zhuǎn)化成同一個角的三角函數(shù). 因此，這類題型的最基本的解題思想，即利用解三角形的相關(guān)理論，將表達式轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的表達式，通過確定角的取值來決定表達式整體的取值. 其具體模型概括如下：

（1）降低未知數(shù)的個數(shù)：對于直接給定正弦或余弦形的表達式，可以直接用三角形內(nèi)角和的關(guān)系來進行角的替換，以此降低未知數(shù)的個數(shù)，而對于給定邊的和或給定邊的平方和，首先需要用正弦定理將其轉(zhuǎn)化成角表達式，然后再將角替換，以此降低未知數(shù)的個數(shù).

（2）根據(jù)表達式的具體形式判斷是否需要用降冪公式，將表達式化成一次冪，對于平方和的形式往往需做這一步處理.

（3）確定作為未知元角的取值范圍：需要注意的是由于三角形三個內(nèi)角是相互限制的，因此確定未知元角的取值范圍時，應(yīng)當用未知元角表示其他角，列出相應(yīng)不等式，取交集，以此共同限制未知元角的取值范圍.

（4）確定表達式的取值范圍：經(jīng)過變換后，表達式往往可以寫成三角函數(shù)或以正弦（余弦）為內(nèi)函數(shù)的復合函數(shù)的形式，可根據(jù)確定好的角的取值范圍，求解表達的取值范圍.

實踐探索：解題程序在具體問題中的運用

解題模型的建構(gòu)僅僅是為學生解決這類問題提供了一定的參考標準，學生真正的解決問題能力還應(yīng)當從解題的過程中展現(xiàn). 如以兩道調(diào)研考試題目為案例具體說明，解題模型在具體問題中的運用.

上述幾道例題雖然在難度上略顯簡單，但卻貼近考試實際，也是形如sinA+sinC這種題型的典型例子：一種直接給予角的表達式；一種給予邊的表達式需要向角的表達式轉(zhuǎn)換.反思上述幾個例子我們可以從如下三個方面來解讀這一類型的題目：首先，從題目的復雜程度上講，有關(guān)邊的和差表達式求取值范圍要更為復雜，解決過程中首先涉及邊向角的轉(zhuǎn)換，因此對思維上的要求也就更高；其次，從題目的本質(zhì)上講，無論是給關(guān)于角的表達式，還是給關(guān)于邊的表達求取值范圍，最本質(zhì)上是利用三角形內(nèi)角關(guān)系來限定代表元角的取值范圍，從而確定所求表達式的取值范圍；第三，觀察上述解題的第三步確定代表元的取值時，有時僅僅需要一個表達式就可限定代表元角，有時需要對三角形的所有內(nèi)角范圍均有限定，才能確定代表元，這是由題目中所給三角形的形狀所決定的，三角形的形狀不同時，三個內(nèi)角相互限制會導致代表元有不同的取值范圍.