羅賢龍

【摘要】義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）提出要培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。幾何直觀在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，它可以將抽象的數(shù)學(xué)概念清晰化，有效地幫助學(xué)生理解算理，建構(gòu)模型，助推數(shù)學(xué)能力提升，思維發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 清晰概念 理解算理 深化思維

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）02-0114-02

隨著數(shù)學(xué)2011版課程標(biāo)準(zhǔn)的頒發(fā)、使用“幾何直觀”成了新標(biāo)準(zhǔn)中的十大核心概念詞。重視幾何直觀能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)幾何直觀的運(yùn)用，是數(shù)學(xué)教學(xué)的方向。幾何直觀主要是指利用圖形描述、分析、解決問題。借助幾何直觀，可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明化、形象化，有助于學(xué)生的思考和理解，有效地幫助學(xué)生清晰表征，建構(gòu)模型，提升數(shù)學(xué)思維。

一、抽象概念，清晰表征

在小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中，數(shù)學(xué)概念占有相當(dāng)?shù)谋戎兀⑶矣行?shù)學(xué)概念比較抽象，小學(xué)生受到自身知識(shí)經(jīng)驗(yàn)水平和思維水平的限制和影響，對(duì)這些概念往往是懂非懂，模棱兩可，教師一時(shí)也很難用語(yǔ)言解釋清楚。這時(shí)，幾何直觀往往會(huì)成為非常有效的表達(dá)、解釋工具。正如，笛卡爾曾說過的：“沒有任何東西比幾何圖形更容易引入腦際了，因此，用這種方式來表達(dá)事物是非常有益的。”數(shù)學(xué)中圖形語(yǔ)言也像文字語(yǔ)言那樣具有記錄作用，而且比文字語(yǔ)言更形象，更有利于學(xué)生的形象記憶，更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

例如：教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”。教師一般情況下先復(fù)習(xí)2、5的倍數(shù)的特征，小結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個(gè)位；其次列舉一些3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的個(gè)位上0到9都有可能，發(fā)現(xiàn)不能依據(jù)個(gè)位特征判斷一個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)；接著猜想3的倍數(shù)是否與各個(gè)數(shù)位上的數(shù)和有關(guān)；最后得出結(jié)論，記憶并應(yīng)用結(jié)論。但事實(shí)上，學(xué)生對(duì)于3的倍數(shù)為什么要看一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和只知其果而未知其因。而利用百數(shù)表和小棒直觀圖就能清晰的解決問題。

1.在百數(shù)表上圈出3的倍數(shù)。

2.觀察百數(shù)表，你有什么發(fā)現(xiàn)？（“3的倍數(shù)排成了斜行；十位上的數(shù)加1，各位上的數(shù)就減1?！保?/p>

3.它們什么不變？（“十位上的數(shù)與各位上的數(shù)的和不變?！保Ｖ链耍?的倍數(shù)的特征就呼之欲出。

驗(yàn)證：以“42”為例。借助小棒圖讓學(xué)生直觀看到：1個(gè)十被3除余一，4個(gè)十被3除，共余4個(gè)一，再加上個(gè)位上的2個(gè)一，一共6根小棒，剛好是3的倍數(shù)。

4.拓展：驗(yàn)證三位數(shù)。例如“105”，百位上的數(shù)除以3余下的根數(shù)1和各位上的根數(shù)5相加是3的倍數(shù)，所以105是3的倍數(shù)；“115”，百位上、十位上的數(shù)除以3余下的根數(shù)加上個(gè)位上的數(shù)的和不是3的倍數(shù)，所以115不是3的倍數(shù)。

通過幾何直觀，不僅使學(xué)生明晰了3的倍數(shù)的特征，更使學(xué)生深刻領(lǐng)悟3的倍數(shù)的特征隱含的“所以然”。

二、理解算理，構(gòu)建模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，計(jì)算教學(xué)占有很大的比重，雖然通過教學(xué)學(xué)生能掌握計(jì)算方法，但還有很多學(xué)生不能理解算理，而且了解的也不夠深入。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾很形象地講過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！睌?shù)形結(jié)合，幾何直觀能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)算法具體化與抽象化兩者之間的高度融合，高度統(tǒng)一，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層建構(gòu)，加深對(duì)算法的理解。

例如：教學(xué)環(huán)形的面積公式：s=л（a2-b2）=л（a+b）×（a-b）

在學(xué)習(xí)過環(huán)形面積的計(jì)算之后，很多學(xué)生對(duì)于л（a2-b2）的計(jì)算總是錯(cuò)誤較高，究其原因之一是多數(shù)學(xué)生計(jì)算時(shí)用的是口算的方法，如果遇到數(shù)字較大時(shí)，往往學(xué)生算得比較慢，而且錯(cuò)誤率又較高。很多老師會(huì)讓學(xué)生再仔細(xì)地算一遍，但學(xué)生錯(cuò)誤依舊。我思索著，可否用л（a+b）×（a-b）來計(jì)算呢？這樣不僅可以可以簡(jiǎn)化計(jì)算，而且很多時(shí)候可以口算。

我決定讓幾何直觀來幫忙，讓學(xué)生理解a2-b2=（a+b）×（a-b）。a2代表大正方形的面積，b2代表小正方形的面積。a2-b2代表圖中空白部分的面積（圖一）。其中，空白部分的面積可以通過割補(bǔ)的方法（圖二）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（圖三）。圖三長(zhǎng)方形的面積就是長(zhǎng)（a+b）、寬（a-b），面積等于（a+b）×（a-b）。所以，a2-b2=（a+b）×（a-b）。當(dāng)學(xué)生的頭腦中有了這三幅圖的經(jīng)驗(yàn)支撐，他們對(duì)于a2-b2=（a+b）×（a-b）的理解是深刻地、全面地。

再比如：a÷b÷c=a÷（b×c）。教學(xué)時(shí)，很多老師采用的是通過舉例子的驗(yàn)證，學(xué)生可以記住這個(gè)結(jié)論，但更多地是建立一種表象，沒有將其本質(zhì)屬性納入自身的知識(shí)體系中。因此，我們可以通過幾何直觀讓學(xué)生借助圖形親自參與到操作、驗(yàn)證中，讓歸納、推理、概括、總結(jié)的過程由學(xué)生自己完成，這樣，不僅可以幫助學(xué)生有效地記住這個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律，還可以幫助學(xué)生建立相應(yīng)地?cái)?shù)學(xué)模型。

畫圖時(shí)我們假設(shè)b=3，c=4，那么：

三、深化思維，提升能力

美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說過：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法?！边@就表明，解題時(shí)若能挖掘問題的幾何意義，配以圖形，示以直觀，那么就能取得以簡(jiǎn)馭繁的效果。而小學(xué)中高年級(jí)的數(shù)學(xué)教材或配套練習(xí)往往是用文字的形式呈現(xiàn)的。純文字的形式表述比較簡(jiǎn)潔，但也使學(xué)生在理解上增加了一定的困難，以致學(xué)生常常讀不懂題意。如果在解決問題時(shí)學(xué)生能主動(dòng)的畫一畫、涂一涂，借助幾何中直觀的圖形將抽象的問題具體化、形象化，學(xué)生能輕松地找到解決問題的辦法，提升學(xué)生解決問題的能力。

1.加強(qiáng)語(yǔ)言之間的聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)換

例如：五年級(jí)（1）班和（2）班同學(xué)分組去春游，兩班人數(shù)相等。（1）班學(xué)生平均分成了4組，（2）班同學(xué)平均分成了6組，結(jié)果1班每組的人數(shù)比2班每組人數(shù)多4人，這兩個(gè)班共有多少人？

單讀文字，很多學(xué)生不能找出其中的數(shù)量關(guān)系，解題也無從下手，引導(dǎo)學(xué)生分析時(shí)，可以將文字語(yǔ)言逐步轉(zhuǎn)化成圖形語(yǔ)言，溝通他們之間的聯(lián)系，題意也在直觀中明晰。

2.注重?cái)?shù)與形的結(jié)合，有效理解

借助幾何直觀可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的理解， 優(yōu)化解題過程。學(xué)生的幾何直觀能力增強(qiáng)了， 對(duì)其提高數(shù)學(xué)理解能力有很大的幫助。

本題可以設(shè)計(jì)三個(gè)教學(xué)層次：第一層次，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試自主解答，學(xué)生一般會(huì)先通分，然后相加；第二層次，不斷添加分?jǐn)?shù)，制造學(xué)生認(rèn)知沖突，尋找解決問題的數(shù)學(xué)規(guī)律；第三層次，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，通過引導(dǎo)學(xué)生看圖，發(fā)現(xiàn)算式與圖形之間的聯(lián)系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。計(jì)算題和圖形看似沒有任何關(guān)系，但將分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成圖形表示后，不僅避開了復(fù)雜旳運(yùn)箅，還提升了學(xué)生思維的深度，將數(shù)與形更好地結(jié)合了起來。

3.強(qiáng)化數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)，提升思維

幾何直觀不僅是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，也是一種技能與能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維方式。在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，我們常常發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生遇到數(shù)學(xué)問題的時(shí)候?qū)幙赏兄掳挖に伎嘞?，也不肯用草稿紙畫一畫，嘗試算一算，試探地尋找解題的規(guī)律。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，幾何直觀首先表現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)意識(shí)——面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)的一種本能式的思考；其次是，表現(xiàn)為掌握一定的幾何直觀的畫圖技巧，不僅能將數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言用圖形等方式畫出來，而且還能借助數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行思考，有一種數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累和經(jīng)歷，更是一種數(shù)學(xué)能力；其三，學(xué)生形成一定的用圖、畫圖來解決數(shù)學(xué)問題的正定向之后，逐步會(huì)形成一種遇到抽象性的數(shù)學(xué)問題之后，會(huì)主動(dòng)地運(yùn)用幾何直觀的思維方式展開數(shù)學(xué)思考?？傊瑤缀沃庇^不僅是一種技能，更是一種能運(yùn)用圖形等直觀手段進(jìn)行思考的能力，是一種思維方式。

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”?？v觀我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，可以發(fā)現(xiàn)幾何直觀無處不在，若我們教師在教學(xué)中能有效挖掘幾何直觀因素，使用好這“助力器”，就可以大大提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

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