李順勇　張曉琴　史峻平

(1.山西大學(xué)　數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西　太原　030006；2.Department of Mathematics　College of William & Mary，USA　Williamsburg　VA 23187)

威廉瑪麗學(xué)院生物數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)及其啟示*1

李順勇1張曉琴1史峻平2

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西太原030006；2.Department of MathematicsCollege of William & Mary，USAWilliamsburgVA 23187)

摘要生物數(shù)學(xué)是一門(mén)綜合性較強(qiáng)的學(xué)科。文章研究了美國(guó)威廉瑪麗學(xué)院生物數(shù)學(xué)課程設(shè)置概況、課程特色以及考核方式等內(nèi)容，以此為引領(lǐng)，為我國(guó)生物數(shù)學(xué)課程及其相關(guān)課程的開(kāi)設(shè)和教學(xué)提供借鑒，以達(dá)到消化吸收，為我所用的目的。

關(guān)鍵詞生物數(shù)學(xué)；威廉瑪麗學(xué)院；課程特點(diǎn)；數(shù)學(xué)建模

馬克思說(shuō)過(guò)：“一門(mén)學(xué)科真正地發(fā)展了是它成功地運(yùn)用了數(shù)學(xué)?！鄙飻?shù)學(xué)是完全應(yīng)驗(yàn)這樣一句話而發(fā)展起來(lái)的一門(mén)學(xué)科。

生物數(shù)學(xué)，是一門(mén)生物學(xué)與數(shù)學(xué)相關(guān)聯(lián)、相互滲透的邊緣學(xué)科。研究人員運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，對(duì)影響生物現(xiàn)象的多因素關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)分析、抽象歸納、建立數(shù)學(xué)模型、理論推斷并借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬，以期對(duì)某些生命現(xiàn)象得到較為嚴(yán)密的詮釋?zhuān)瑥亩笇?dǎo)實(shí)踐，為人類(lèi)所用[1]。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的生命現(xiàn)象，如果能用一個(gè)“好”的數(shù)學(xué)模型定量化，而且能夠用數(shù)值模擬刻畫(huà)出其客觀性狀，那無(wú)疑會(huì)給人類(lèi)解釋生命現(xiàn)象帶來(lái)深遠(yuǎn)的影響。生物數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，極大地豐富了這一課題。

生物數(shù)學(xué)這一學(xué)科，始于“生物統(tǒng)計(jì)學(xué)”(Biometrika，1901年)的創(chuàng)辦。隨著計(jì)算機(jī)功能的日新月異以及人類(lèi)對(duì)生命科學(xué)研究深度和廣度的不斷探究，使得這一學(xué)科的應(yīng)用前景呈現(xiàn)出一片繁榮。隨后，生物學(xué)又與DNA計(jì)算相結(jié)合[2-3]，為生物數(shù)學(xué)的發(fā)展譜寫(xiě)了新的篇章。

生物數(shù)學(xué)不僅僅著重于對(duì)生命現(xiàn)象的研究，出于應(yīng)用的需要，還側(cè)重從以下幾方面對(duì)其進(jìn)行探究：生命現(xiàn)象的數(shù)量化、建立數(shù)學(xué)模型、多元統(tǒng)計(jì)分析法、概率與統(tǒng)計(jì)法等。以上方法常常不是絕對(duì)孤立的，往往以交叉混合的形式出現(xiàn)，這使得生物數(shù)學(xué)不斷出現(xiàn)新的知識(shí)點(diǎn)。目前，一些生物數(shù)學(xué)中的方法和技術(shù)盡管還處于探索階段，但已取得的一些顯著成果還是值得研究人員為之振奮。

創(chuàng)立于1693年的威廉瑪麗學(xué)院為全美第二歷史悠久的高等學(xué)府(第一為哈佛大學(xué)，第三為耶魯大學(xué))。學(xué)校的軟、硬件設(shè)施超一流。校園環(huán)境典雅、優(yōu)美，令人心馳神往。學(xué)院一度被評(píng)為全美公立大學(xué)中最注重本科教育的學(xué)校。幾乎無(wú)可挑剔的文理學(xué)院式的本科精英教育使得學(xué)生格外嚴(yán)謹(jǐn)而務(wù)實(shí)，學(xué)術(shù)表現(xiàn)非常出色。威廉瑪麗學(xué)院的許多本科專(zhuān)業(yè)均處于世界領(lǐng)先水平，如國(guó)際關(guān)系、歷史、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)與行政管理等，學(xué)校享有“公立常春藤”的美譽(yù)。優(yōu)質(zhì)的本科教育，嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的精神，卓越的學(xué)術(shù)表現(xiàn)，讓學(xué)生們走向社會(huì)時(shí)熠熠生輝。威廉瑪麗學(xué)院匯集了一批國(guó)際知名的生物數(shù)學(xué)學(xué)者和專(zhuān)家，并開(kāi)設(shè)有相關(guān)的數(shù)學(xué)課程。生物數(shù)學(xué)課程不僅涉及微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)理論知識(shí)，而且一些近代的學(xué)科也不斷出現(xiàn)在這一領(lǐng)域，如控制論、圖論、信息論和模糊數(shù)學(xué)等，同時(shí)還需要了解一些生命現(xiàn)象方面的知識(shí)。因此，對(duì)該門(mén)課程的教學(xué)探索具有較好的研究?jī)r(jià)值。

本文針對(duì)威廉瑪麗學(xué)院生物數(shù)學(xué)課程的教學(xué)特點(diǎn)進(jìn)行了研究，以期對(duì)我國(guó)相應(yīng)課程的教學(xué)環(huán)節(jié)提供一些借鑒和啟示。

一、課程描述

研究生物數(shù)學(xué)為人類(lèi)解決了眾多的困惑和難題。面對(duì)日益增長(zhǎng)的需求，美國(guó)許多著名大學(xué)也開(kāi)設(shè)了生物數(shù)學(xué)課程，如麻省理工學(xué)院、杜克大學(xué)、布朗大學(xué)以及威廉瑪麗學(xué)院等。

威廉瑪麗學(xué)院開(kāi)設(shè)的生物數(shù)學(xué)課程名稱(chēng)為“Introduction to Mathematical Biology”，使用的是由Leah Edelstein-Keshe編寫(xiě)的經(jīng)典教材Mathematical Models in Biology(SIAM (2005))。該課程通常在三年級(jí)開(kāi)設(shè)。在修習(xí)本課程前需要學(xué)習(xí)微積分和了解一些生物學(xué)知識(shí)。學(xué)生要想掌握好本門(mén)課程和將來(lái)進(jìn)行更深入的研究，還要求熟悉Matlab軟件。由于后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中部分課后作業(yè)要求進(jìn)行數(shù)值模擬，Matlab的使用可以更直觀、形象地展示其中的數(shù)學(xué)模型。為了讓學(xué)生更好地了解和掌握所學(xué)知識(shí)，教師還列出了10本經(jīng)典的生物數(shù)學(xué)方面的書(shū)籍作為參考書(shū)目供學(xué)生參閱。由于這些經(jīng)典教材編排各具特色，學(xué)生可以借鑒其中的內(nèi)容進(jìn)行輔助性學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，進(jìn)而有效地掌握和研習(xí)本門(mén)課程。

課程主要內(nèi)容包含生物學(xué)中離散過(guò)程的線性和非線性差分方程模型、連續(xù)過(guò)程的常微分方程模型以及空間分布系統(tǒng)的偏微分方程模型。離散模型涉及植物增長(zhǎng)遺傳、logistic差分方程及混沌現(xiàn)象等；連續(xù)模型涉及微生物增長(zhǎng)模型、恒化器模型、捕食和被捕食模型、競(jìng)爭(zhēng)模型、化學(xué)反應(yīng)模型、神經(jīng)傳導(dǎo)FitzHugh-Nagumo模型以及Hodgkin-Huxley模型等；空間分布模型涉及反應(yīng)擴(kuò)散模型等。理論實(shí)證中涵蓋了線性差分求解；非線性差分方程穩(wěn)定性分析；一元、二元常微分方程解析解、定性分析以及分歧理論；極限環(huán)、Hopf分歧理論等內(nèi)容。

作為一門(mén)應(yīng)用性的課程，該課程非常注重理論聯(lián)系實(shí)際。一方面，詮釋了數(shù)學(xué)具有較好的應(yīng)用前景；另一方面，開(kāi)拓了學(xué)生的視野，為將來(lái)有志于該學(xué)科的學(xué)生打下較好的基礎(chǔ)。通過(guò)學(xué)習(xí)該課程，學(xué)生可以較好地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在生命科學(xué)中的深遠(yuǎn)意義。

二、課程特色

威廉瑪麗學(xué)院的生物數(shù)學(xué)課程以偏微分方程中的反應(yīng)擴(kuò)散方程為引領(lǐng)。課堂教學(xué)中，教師主要進(jìn)行理論詮釋和相應(yīng)的演算。同時(shí)，多媒體的使用可以形象生動(dòng)地展示一些應(yīng)用性的問(wèn)題，使學(xué)生直觀地看到數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用，達(dá)到學(xué)以致用的教學(xué)目標(biāo)。由于威廉瑪麗學(xué)院采用的是小班教學(xué)，在課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生可以隨時(shí)就不理解的問(wèn)題提出詢(xún)問(wèn)，這樣的互動(dòng)可以有效地增進(jìn)教師掌握學(xué)生對(duì)這門(mén)課程的理解程度，從而及時(shí)有效地改進(jìn)教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的狀況，使學(xué)生更加有效地掌握本門(mén)課程的內(nèi)容。

威廉瑪麗學(xué)院的網(wǎng)絡(luò)覆蓋全校，學(xué)生可以隨時(shí)隨地上網(wǎng)查閱相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容。本門(mén)課程的主要內(nèi)容在任課教師的主頁(yè)上可以瀏覽，課后的作業(yè)也是教師發(fā)布在個(gè)人主頁(yè)上，對(duì)于較難的題目，教師會(huì)在課堂上精講。

任課教師在授課過(guò)程中通過(guò)講解理論知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，較好地實(shí)現(xiàn)了從理論學(xué)習(xí)到實(shí)踐應(yīng)用的跨越。教學(xué)過(guò)程中，既用到了板書(shū)，同時(shí)也適時(shí)地利用了多媒體。有效利用板書(shū)，可以使學(xué)生明晰一些方程問(wèn)題的邏輯推理過(guò)程；適時(shí)地使用多媒體，不僅可以使學(xué)生獲得大量的生物學(xué)信息，而且便于學(xué)生直觀、形象地理解圖形，再現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的意義。課前、課堂中和課后網(wǎng)絡(luò)的使用，一方面可以使學(xué)生做到課前有針對(duì)性的預(yù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，直接瀏覽任課老師的主頁(yè)，在課堂上也可實(shí)時(shí)地查找到遇到的問(wèn)題；另一方面，可以課后及時(shí)聯(lián)系教師解決相關(guān)問(wèn)題，這樣可以有效地掌握所學(xué)知識(shí)。課后作業(yè)中有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生參看和研讀一些生物數(shù)學(xué)中的經(jīng)典論文，有助于學(xué)生進(jìn)一步深化和提升所學(xué)知識(shí)，為將來(lái)的研究夯實(shí)基礎(chǔ)。

教學(xué)環(huán)節(jié)中實(shí)施了“啟發(fā)式”和“參與式”等多種教學(xué)方法。這些方法可以有效地增強(qiáng)學(xué)生的能動(dòng)性，提高師生的互動(dòng)性，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑。為了拓展學(xué)生的視野和了解生物數(shù)學(xué)的應(yīng)用性及增進(jìn)學(xué)生的動(dòng)手能力，學(xué)期末還要求學(xué)生提交一份自己感興趣并和生物數(shù)學(xué)有關(guān)的小論文，并進(jìn)行答辯。這樣做，既可促使學(xué)生進(jìn)一步掌握課程所學(xué)內(nèi)容，也可及早地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)查閱資料，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，更能有效地挖掘出有科研潛力的學(xué)生，為他們將來(lái)走向?qū)W術(shù)研究道路做了很好的鋪墊。

由于威廉瑪麗學(xué)院的任課教師大都是教授直接給學(xué)生上課，因此，教師在授課過(guò)程中，既能把教學(xué)和教師自身的科研相結(jié)合，把現(xiàn)實(shí)生活中的生物問(wèn)題和理論相結(jié)合，也能把生活中遇到的一些生物學(xué)問(wèn)題加以釋疑。由于該課程既注重基礎(chǔ)理論的講解，也注重課程的前瞻性，能有效地把當(dāng)前學(xué)術(shù)前沿的問(wèn)題展示給學(xué)生，吸引學(xué)生帶著問(wèn)題、想解決問(wèn)題的迫切心情去上課，可以較好地達(dá)到傳道、授業(yè)、解惑的效果。教師寓研于教，教研相合的思想通常會(huì)引領(lǐng)學(xué)生走向嶄新的領(lǐng)域。

三、考核方式

威廉瑪麗學(xué)院生物數(shù)學(xué)課程結(jié)束后沒(méi)有期末考試，其最終成績(jī)由三部分構(gòu)成：

總成績(jī)(100%)=理論部分測(cè)試(40%)+ 家庭作業(yè)(40%)+項(xiàng)目(20%)。

共分為五個(gè)等級(jí)(A、B、C、D和F)，其中，有兩次要求期中獨(dú)立完成的開(kāi)卷理論測(cè)試，可以使用各種書(shū)籍、資料、課堂筆記以及借助于計(jì)算機(jī)，要求學(xué)生在一周之內(nèi)完成；任課教師每周在網(wǎng)上布置家庭作業(yè)，學(xué)生登陸任課教師的主頁(yè)下載題目，期間學(xué)生間可以自由討論或者請(qǐng)教教師；學(xué)期末要提交小論文，其中內(nèi)容包括定性分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)值計(jì)算等，最后要進(jìn)行答辯，所有同學(xué)都可以參加討論該學(xué)生的研究?jī)?nèi)容并提出質(zhì)疑。終極目的是全方位地了解學(xué)生掌握本門(mén)課程的程度。

四、借鑒與啟示

威廉瑪麗學(xué)院生物數(shù)學(xué)課程的教學(xué)特點(diǎn)有許多我們值得借鑒的地方，這為我國(guó)開(kāi)設(shè)相應(yīng)的課程提供了較好的參考價(jià)值和實(shí)踐指導(dǎo)意義，從而達(dá)到引進(jìn)、消化、吸收和提高的目的。

我國(guó)生物數(shù)學(xué)起源于20世紀(jì)70年代，1985年初正式成立。我國(guó)開(kāi)設(shè)生物數(shù)學(xué)課程的高校有北京大學(xué)、清華大學(xué)、南京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、中國(guó)科技大學(xué)、南開(kāi)大學(xué)、中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)以及山西大學(xué)等多所高校。

生物數(shù)學(xué)課程的開(kāi)設(shè)，一方面讓學(xué)生學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)；另一方面，極大地拓展了數(shù)學(xué)的應(yīng)用前景。近年來(lái)，生物數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中得到了較好的應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽集應(yīng)用與能力培養(yǎng)為一體，是一門(mén)有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用實(shí)踐能力的賽事[4]。在美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，1984、1997、2002、2012及2015年都有有關(guān)生物學(xué)的試題；在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，1996、2000、2003和2007年也都有有關(guān)生物數(shù)學(xué)的試題。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，生物數(shù)學(xué)知識(shí)以如此高的頻率出現(xiàn)，無(wú)不體現(xiàn)這一課程的重要性[5]。讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何從實(shí)踐中提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，逐步從模仿向獨(dú)立思考過(guò)渡，從學(xué)習(xí)向創(chuàng)新過(guò)渡[6]，是數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的目標(biāo)之一，也是讓學(xué)生掌握一門(mén)課程的關(guān)鍵所在。

五、結(jié)束語(yǔ)

學(xué)生能較好地掌握一門(mén)課程并達(dá)到“學(xué)以致用”是和教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”相輔相成的。教師“教”的成效，一方面和教師多年的教學(xué)風(fēng)格息息相關(guān)，另一方面也與教師的教法休戚相關(guān)。優(yōu)秀的教師通常能在授課過(guò)程中結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和日積月累的知識(shí)結(jié)構(gòu)，條理清晰地從學(xué)生的認(rèn)知角度把該門(mén)課程的內(nèi)容展示給學(xué)生。學(xué)生積極主動(dòng)地“學(xué)”，也將最終決定這門(mén)課程的成敗[7]。教師的循循善誘和諄諄教導(dǎo)以及教師個(gè)人獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格和教學(xué)方法也會(huì)時(shí)刻影響學(xué)生掌握本門(mén)課程的程度。

數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國(guó)家實(shí)力，世界強(qiáng)國(guó)必然是數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)[8]。科技要發(fā)展，國(guó)家要強(qiáng)盛，數(shù)學(xué)必將是首當(dāng)其沖的。數(shù)學(xué)作為一種普遍認(rèn)可的資源，它賦予了人類(lèi)科技創(chuàng)新的能力。大學(xué)教育是引領(lǐng)社會(huì)發(fā)展的潮流，因此，有效地改善大學(xué)的數(shù)學(xué)水平和培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，必將提高我國(guó)的科技創(chuàng)新能力并促進(jìn)社會(huì)的和諧發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐克學(xué).試論生物數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與展望[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1986，1(2)：151-154.

[2]KARL L.DNA computing：arrival of biological mathematics[J].

The Mathematical Intelligencer，1997，19(2)：9-22.

[3]孟大志，曹海萍.DNA 計(jì)算與生物數(shù)學(xué)[J].生物物理學(xué)報(bào)，2002，18(2)：163-174.

[4]蔣利平，董玉成.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的獨(dú)特魅力[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2002，32(2)：351-352.

[5]李順勇，閆衛(wèi)平，張曉琴.如何在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模中勝出[J].高等理科教育，2012，106(6)：121-125.

[6]郝江浩，張亞靜，劉壯一.美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)偏微分方程基礎(chǔ)課程的教學(xué)特點(diǎn)及其啟示[J].高等理科教育，2012，104(4)：94-97.

[7]李順勇，閆衛(wèi)平，張曉琴.大學(xué)文科高等數(shù)學(xué)教學(xué)的問(wèn)題及對(duì)策[J].教育理論與實(shí)踐，2011(30)：46-48.

[8]張恭慶.數(shù)學(xué)與國(guó)家實(shí)力(下)[J].紫光閣，2014(9)：69-71.

(責(zé)任編輯李世萍)

*收稿日期2015-09-24

資助項(xiàng)目國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：61573229)；山西省國(guó)際科技合作項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：2015081020)；山西省自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：2015011044)；山西省高等學(xué)校教學(xué)改革項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：010952901018).

作者簡(jiǎn)介李順勇(1975-)男，山西大同人，副教授，主要從事統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘研究.

中圖分類(lèi)號(hào)G649.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Teaching Characteristics and Enlightenment of Mathematical Biology Curriculum in the College of William and Mary

LI Shun-yong1，ZHANG Xiao-qin1，SHI Jun-ping2

(1.School of Mathematical Sciences，Shanxi University，Taiyuan，030006，China；2.Department of Mathematics，College of William & Mary，Williamsburg，VA 23187，USA)

Abstract：Mathematical biology is a more comprehensive discipline.This paper is aiming at studying the mathematical biology curriculum，teaching characteristics，methods of assessment and other contents in the College of William & Mary.The research can provide the references for the mathematical biology curriculum and related courses in our teaching.The purpose of this paper is to digest and absorb these methods，which can be applied to the domestic curriculum.

Keywords：mathematical biology；College of William & Mary；course characteristics；mathematical modeling