謝舒

摘 要：解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和核心知識(shí)，但是解析幾何中令人生畏的運(yùn)算使得學(xué)生往往在應(yīng)試中無(wú)法取得高分，難道解析幾何真的這么難嗎？讓我們從新的視角來(lái)看看如何進(jìn)行解析幾何教學(xué).

關(guān)鍵詞：解析幾何；數(shù)學(xué)；算法；優(yōu)化；定義

解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，從大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的情況來(lái)看，本章節(jié)的知識(shí)明顯與其他章節(jié)差別顯著. 從解析幾何初學(xué)到高三復(fù)習(xí)、到最后參加高考應(yīng)試，我們往往有這么一種感受，學(xué)生的解析幾何解答題能力并沒(méi)有大幅提升，其在初學(xué)時(shí)不會(huì)做的直線與圓錐曲線位置關(guān)系的熱點(diǎn)問(wèn)題，在歷經(jīng)一個(gè)學(xué)年的復(fù)習(xí)，依舊是原地踏步，沒(méi)有提升.從國(guó)內(nèi)較大的數(shù)學(xué)BBS中，我們常?？梢钥吹竭@樣的學(xué)生留言：橢圓大題直接放棄，反正做了這么多，從來(lái)也沒(méi)有做對(duì)過(guò)！圓錐曲線解答題還是算了，太繁了，這個(gè)分?jǐn)?shù)還是不要了，省出時(shí)間把其他的題目做好吧！

作為教師，看到這樣的話語(yǔ)的確感到無(wú)奈. 解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何的學(xué)科，大量的問(wèn)題首先需要從幾何的角度去分析、用坐標(biāo)的方式去闡述，這是一條基本的思路. 從大量研究和文獻(xiàn)表明，解析幾何對(duì)于學(xué)生而言難學(xué)的原因不外乎下列幾點(diǎn)：

1. 學(xué)生遇到一個(gè)解析幾何問(wèn)題，往往缺乏其幾何圖形的思考，為了追求應(yīng)試的得分，越來(lái)越多的學(xué)生將解析幾何問(wèn)題形成寧要百分之五十的套路分（諸如聯(lián)立、韋達(dá)定理等模式化的步驟），也不愿多思考更深層次考查的幾何背景.

2. 近年來(lái)圓錐曲線教學(xué)越來(lái)越功利化，這與高考應(yīng)試難度愈來(lái)愈大有一定關(guān)系. 幾何本是一大套定義、定理緊密結(jié)合的學(xué)科，但是其抽象度不言而喻，為了順應(yīng)應(yīng)試，教學(xué)中往往沒(méi)有更多的時(shí)間讓學(xué)生去感受、理解這些定義、定理產(chǎn)生的過(guò)程，因此只能靠背、模式化，這樣的方式應(yīng)對(duì)解析幾何教學(xué)實(shí)屬無(wú)奈，很多學(xué)生連橢圓、雙曲線、拋物線等為何稱之為圓錐曲線都不明了.

3. 一方面，算法的拙劣、運(yùn)算的復(fù)雜，這對(duì)于學(xué)生而言是最能感受到的實(shí)際困難. 解析幾何問(wèn)題動(dòng)輒都是二元二次方程，其對(duì)運(yùn)算的要求一下提高了很多，學(xué)生對(duì)于這方面的運(yùn)算積累是比較少的. 另一方面，不僅僅是運(yùn)算能解決的問(wèn)題，即還要關(guān)注算法的優(yōu)化，有些問(wèn)題都有典型的幾何背景、定義運(yùn)用，但是學(xué)生若不能找到合理的算法，往往在復(fù)雜的道路上越走越迷失，導(dǎo)致其學(xué)習(xí)解析幾何陷入無(wú)法提高的泥潭. 考慮到諸多因素的限制，本文從最后一方面，即算法優(yōu)化的視角，例談如何優(yōu)化解析幾何中的運(yùn)算.

[?] 定義運(yùn)用為本

定義是圓錐曲線最核心的知識(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)基本定義根本無(wú)法掌握和理解. 筆者就橢圓、雙曲線、拋物線為何稱之為圓錐曲線請(qǐng)學(xué)生回答，令筆者詫異的是全班五十余人沒(méi)有一個(gè)學(xué)生知道為何這么稱呼. 可見(jiàn)，解析幾何教學(xué)是如何的功利化.

分析：本題是某次測(cè)試時(shí)用的一道考查定義的問(wèn)題，令筆者詫異的是，有些學(xué)生在解決這樣的定義型問(wèn)題根本沒(méi)有基本頭緒，在距離公式等煩瑣的思路上浪費(fèi)時(shí)間，教師引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化問(wèn)題的算法，恰是以雙曲線定義出發(fā)的，本題考查雙曲線的定義及性質(zhì)：P是雙曲線C上一點(diǎn)，于是有

所以△PF1F2為直角三角形，易知最小角的正弦值為. 筆者以為，解析幾何小題在教學(xué)中要多多引導(dǎo)學(xué)生去思考橢圓、雙曲線、拋物線的定義，從定義去優(yōu)化問(wèn)題的解決，不失為小題解決的一大利器.

鞏固嘗試：1. 點(diǎn)P是雙曲線-=1（a>0，b>0） 上一點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，且△OPF是∠OFP=120°的等腰三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率是__________.

2. 設(shè)雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2=__________.

[?] 設(shè)而不求為主

解析幾何難的一個(gè)原因是其運(yùn)算難度，包括合理選擇優(yōu)秀算法，并不是每個(gè)學(xué)生能夠掌握的. 教師在問(wèn)題的指導(dǎo)教學(xué)中，要利用合理的引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生掌握合理優(yōu)秀的算法才能優(yōu)化解析幾何的運(yùn)算.

例2 過(guò)x軸上一動(dòng)點(diǎn)A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP，AQ，P，Q為切點(diǎn)，設(shè)切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4；

（2）試問(wèn)：直線PQ是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）解法1：設(shè)過(guò)A（a，0）與拋物線y=x2+1的相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為：y=k（x-a）. 由y=k（x-a），

y=x2+1得x2-kx+（ka+1）=0，所以Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，則k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4；

解法2：如上得：x2-kx+（ka+1）=0，所以Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，于是有

k=，即k1=2a+，k2=2a-，故k1k2=-4.

（2）解法1：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），故切線AP的方程是：=x1x+1，切線AQ的方程是：=x2x+1，又由于A點(diǎn)在AP、AQ上，則=x1a+1，=x2a+1，所以y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過(guò)定點(diǎn)（0，2）.

解法2：因?yàn)閗PQ==x1+x2，所以直線PQ：y-x-1=（x1+x2）（x-x1），

由（1）易得PQ：y=（x1+x2）x-x1x2+1=2ax+2，所以直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，2）.

說(shuō)明：本題在算法選擇上分別就各小題給出了兩種解法，但是從優(yōu)化算法合理性的角度來(lái)說(shuō)，第（1）小題法1是最為合理的使用方式，法2是很多學(xué)生選擇的方式，但是這種缺乏設(shè)而不求思想的解法自然是不合理的算法，教師要引導(dǎo)學(xué)生摒棄. 但是對(duì)于第（2）小題的解決有著極為合理的選擇，是一種通用的算法，也值得教師向?qū)W生滲透.

[?] 特殊性質(zhì)為輔

解析幾何有很多特殊使用的結(jié)論和性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)于問(wèn)題的解決有著極為方便、快捷的作用. 對(duì)于優(yōu)秀學(xué)生，掌握一些特殊的性質(zhì)和結(jié)論是熟練解決圓錐曲線難題的重要方式.

例3 如圖1，一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上的一點(diǎn)A1的正上方有一個(gè)光源A，AA1與球相切，AA1=6，球在桌面上的投影是一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的離心率等于__________.

解：如圖2，過(guò)A，O兩點(diǎn)的截面截球交底面于DE，AA1，AD與球切于C，C′，DE與A1A2交于F點(diǎn)，易知內(nèi)切球半徑為2，作截面AA1A2，觀測(cè)圖3，

在△ACO中，tanθ=tan∠CAO==，則：tan2θ===tan∠A1AA2，可得：A1A2=8，AF==3. 如圖4，△ACO≌△AC′O，△AC′O∽△AFD，得：=?DF=，以橢圓中心為原點(diǎn)，A1A2為x軸，B2B1為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖5所示，易知：F

-1，-

，代入橢圓方程+=1，得c=2，故橢圓離心率e=.

性質(zhì)1：平面α截圓錐得該曲線離心率e=.

證明：MF1與MN均為球切線，故MF1=MN，M到定直線l的距離為MQ，由圓錐曲線第二定義可知：e====為定值.

說(shuō)明：即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為定值，該定值與平面α與圓錐底面的二面角θ、圓錐母線與底面的線面角大小有關(guān).

（1）當(dāng)θ=0時(shí)，e=0，平面α截得曲線為圓；（2）當(dāng)θ=φ時(shí)，e=1，平面α截得曲線為拋物線；

（3）當(dāng)0<θ<φ時(shí)，01，平面α截得曲線為雙曲線.

性質(zhì)2：當(dāng)0<θ<φ時(shí)，平面α與兩球的切點(diǎn)F2、F1即為所截得橢圓的焦點(diǎn).

證明：由性質(zhì)1證明過(guò)程可知MF1=MN，同理：MF2=MP，故MF1+MF2=MN+MP=NP為定值，由橢圓第一定義可知F2、F1為兩焦點(diǎn).

運(yùn)用性質(zhì)1，我們可以優(yōu)化解答圖1中問(wèn)題. 如圖6，將A看成圓錐頂點(diǎn)，橢圓面A1B2A2B1看成圓錐截面，過(guò)切點(diǎn)C、D作與底面平行的截面α，截得的曲線為圓，易知此時(shí)圓錐母線AC與圓錐底面所成角即為∠ACM=φ，截面α與橢圓面A1B2A2B1所成二面角為∠MCO=θ，由性質(zhì)1，該橢圓離心率e=，Rt△ACM中，AC=4，CO=2，可得：AM=，MO=，因此e===.

總之，解析幾何中復(fù)雜問(wèn)題的算法選擇需要運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的積累的，本文筆者以自身對(duì)于解析幾何問(wèn)題的認(rèn)知做出了定義方式為本、設(shè)而不求為主、特殊性質(zhì)為輔的算法優(yōu)化方式，進(jìn)而優(yōu)化解析幾何中的運(yùn)算.