張安慶（新疆教學(xué)研究室）徐小莉（新疆烏魯木齊市沙依巴克區(qū)教研室）

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“三角形的中位線”一課評(píng)課稿

張安慶（新疆教學(xué)研究室）
徐小莉（新疆烏魯木齊市沙依巴克區(qū)教研室）

摘要：何廣民老師“三角形的中位線”一課是以探究三角形中位線的性質(zhì)及證明為主線，思路清晰，線索明確，環(huán)節(jié)緊扣．教師創(chuàng)造性地使用教材，演繹教材．問題的設(shè)置合理，教師能面向全體學(xué)生，為學(xué)生提供個(gè)性化學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，激發(fā)學(xué)生的深層思考和情感投入，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑、獨(dú)立思考、闡明觀點(diǎn)．值得思考和商榷的地方，如如何處理好課堂生成和備課預(yù)設(shè)問題之間的關(guān)系等．

關(guān)鍵詞：三角形中位線；探究性質(zhì)；關(guān)注學(xué)生；創(chuàng)造性；課堂生成

“三角形的中位線”一課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形、平行四邊形的性質(zhì)與判定的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)三角形中位線的概念和性質(zhì)；三角形中位線是繼三角形的角平分線、中線、高線后的第四種重要線段．三角形中位線定理為證明直線的平行和線段的倍分關(guān)系提供了新的方法和依據(jù)．三角形中位線定理所顯示的特點(diǎn)既有線段的位置關(guān)系，又有線段的數(shù)量關(guān)系，因此對(duì)實(shí)際問題可進(jìn)行定性和定量的描述，在生活中有著廣泛的應(yīng)用．現(xiàn)從以下幾方面談?wù)劰P者對(duì)何老師這節(jié)課的看法．

一、亮點(diǎn)透視

1.思路清晰，線索明確

何老師這節(jié)課，是以探究三角形中位線的性質(zhì)及證明為主線開展教學(xué)活動(dòng)的．在教學(xué)過程中，思路十分清晰，環(huán)環(huán)相扣，內(nèi)容層層遞進(jìn)，思維步步高深．

何老師按照研究幾何圖形的一般步驟和方法展開，開門見山點(diǎn)明課題，干脆利落展示課標(biāo)，利用白板結(jié)合圖形，直觀得出三角形中位線的定義；把握圖形屬性，辨析概念；再從定義出發(fā)探究其性質(zhì)，回到現(xiàn)實(shí)，解決問題，學(xué)以致用，這也是對(duì)幾何圖形進(jìn)行研究的主題思路．

2.演繹教材，但又尊重、回歸教材

教材中三角形中位線定理是單刀直入地以一道例題的形式進(jìn)行探究，歸納出三角形中位線的定義和性質(zhì)．定理以這種方式出現(xiàn)，過多地關(guān)注了結(jié)論的形成．何老師創(chuàng)造性地使用教材，巧妙地采用了“三畫”：一畫（教師在白板上畫出了三角形中位線DE）概括出三角形中位線的定義；二畫（學(xué)生可以畫幾條三角形的中位線）得出三角形中位線的數(shù)量為三條；三畫（在三角形中繼續(xù)畫出中線）辨析出了三角形中位線與中線的區(qū)別．此環(huán)節(jié)的設(shè)置，符合教育規(guī)律，從學(xué)生認(rèn)為簡單的知識(shí)點(diǎn)和行為入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和樂于參與的熱情，此環(huán)節(jié)全班學(xué)生積極參與，達(dá)到了良好的效果．概念的認(rèn)知在很輕松的環(huán)境中完成．最難的概念不是教師教會(huì)的，是學(xué)生自己悟出來的．證明猜想的過程，學(xué)生給出了四種方法，教師對(duì)提出和教材中方法一致的學(xué)生表示肯定，評(píng)價(jià)說“這個(gè)方法不錯(cuò)”，是尊重教材的表現(xiàn)；在練習(xí)題的選擇上，緊扣教材，創(chuàng)設(shè)情境，將教材中的練習(xí)“求位于池塘兩端AB間的距離”作為應(yīng)用三角形中位線定理解決實(shí)際問題的例題，補(bǔ)充了教材中沒有的應(yīng)用例題，將教材后續(xù)學(xué)習(xí)中的習(xí)題“四邊形中的中點(diǎn)四邊形”內(nèi)容放在本節(jié)，作為定理應(yīng)用的練習(xí)，難度適中，又是三角形和平行四邊形相互轉(zhuǎn)化的典型案例，選題很好．

3.滿足學(xué)生需求，提供探究空間

滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求，為學(xué)生提供個(gè)性化學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間．例如，探究DE和BC的關(guān)系，教師提問：現(xiàn)在你們就用所有你手中的工具來驗(yàn)證一下DE和BC到底有怎樣的關(guān)系？學(xué)生回答：測量，平移．問題的有效性考查學(xué)生多方面的能力，不是簡單的答是或否，而是對(duì)思維提出了一個(gè)訓(xùn)練的契機(jī)，方式是開放的：用你手中的工具，可以是度量，可以是剪拼，結(jié)論也是開放的（DE和BC到底有怎樣的關(guān)系），思維是發(fā)散的，小組討論，合作交流．學(xué)生的發(fā)現(xiàn)是意外的：不僅可以通過度量，還可以選擇平移．在這個(gè)活動(dòng)中，通過剪一剪，拼一拼，化解了教材中直接證明性質(zhì)呈現(xiàn)知識(shí)的單一方式．直觀判斷很難猜出線段的倍分關(guān)系，尤其在前期一直接受等量關(guān)系的探究，此環(huán)節(jié)為線段倍分關(guān)系又做了一次鋪墊——如何將倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化成等量關(guān)系．猜想結(jié)論水到渠成，因?yàn)閷W(xué)生在測量過程中不精準(zhǔn)，導(dǎo)致最終的結(jié)論不是平行四邊形，然后師生利用幾何畫板軟件的測量和動(dòng)態(tài)演示功能驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性．同時(shí)充分利用學(xué)生小學(xué)學(xué)過三角形的面積公式的推導(dǎo)，是“正方形—長方形—平行四邊形—三角形”，已建立的三角形和平行四邊形之間轉(zhuǎn)化的關(guān)系和熟悉的活動(dòng)形式，培養(yǎng)了學(xué)生良好的學(xué)習(xí)情緒，為后續(xù)難點(diǎn)的突破構(gòu)建平行四邊形做知識(shí)和積極情感的鋪墊．利用直觀感知、動(dòng)手操作等學(xué)習(xí)方式，是培養(yǎng)空間觀念的好載體．

4.問題設(shè)置合理，解決方式豐富

問題的設(shè)置既關(guān)注到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，又體現(xiàn)了問題承載情境的完整性，教師解決方式豐富化，問題嚴(yán)謹(jǐn)有效．三角形中位線性質(zhì)定理的證明，原本是學(xué)生比較懼怕的枯燥的推理，但是隨著何老師一個(gè)簡單問題的拋出：你知道什么是三角形的中位線嗎？因?yàn)閱栴}比較簡單，采取整體回答，人人樂于參與；借著學(xué)生情緒被調(diào)動(dòng)起來，教師緊跟著又給出了一個(gè)問題：畫出三角形中位線，看看一個(gè)三角形有幾條中位線？這是一個(gè)小探究問題，獨(dú)立完成還是可以的，因此教師給了一分鐘時(shí)間，關(guān)注到該知識(shí)點(diǎn)和以往學(xué)過的知識(shí)的聯(lián)系，避免結(jié)果一致，但過程不一致，所以此題的回答需要呈現(xiàn)過程，請學(xué)生獨(dú)立回答；為了達(dá)到區(qū)分，提出問題：三角形中位線和中線一樣嗎？故意從問題上設(shè)置陷阱，加深學(xué)生對(duì)新生成概念的鞏固；根據(jù)以往學(xué)習(xí)圖形的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)了定義，接著就要解決什么問題？銜接自然，順理成章引出本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)．將準(zhǔn)備好的三角形硬紙片沿著中位線剪成兩部分，你能拼成什么圖形？將探究結(jié)論問題的難度分解為：先拼出平行四邊形，讓學(xué)生在活動(dòng)過程中感受三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，加深轉(zhuǎn)化思想的理解．繼而提出問題：三角形的中位線與三角形的第三邊有什么關(guān)系？通過剪拼出平行四邊形、測量出線段的長度，平移三角形、幾何畫板軟件演示、實(shí)物投影等方式、手段，幫助學(xué)生得出猜想，驗(yàn)證猜想的正確性，將本節(jié)課推向高潮.你能證明上面的猜想嗎？將問題深化，教師適時(shí)又給出鋪墊：證明兩條線段平行的方法有哪些？如何證明兩條線段的倍分關(guān)系？提示可以將較短的線段延長一倍后，將證明倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等．何老師給出了圖形提示．關(guān)注學(xué)生，關(guān)注學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，一個(gè)個(gè)問題的提出、解決，逐漸深入，使得本節(jié)的難點(diǎn)得以有效突破，重點(diǎn)得到很好的解決，潛移默化，潤物無聲．在這個(gè)基礎(chǔ)上，學(xué)生就很容易想到解決問題的途徑．

根據(jù)問題的難易程度，教師采用了獨(dú)立思考回答，小組合作完成，動(dòng)手操作探究，直接觀察發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用舊知啟發(fā)新思路等手段，靈活多樣，處理科學(xué)有效．提出推理論證，讓學(xué)生合作討論，思辨論證，引導(dǎo)學(xué)生更加注重用推理方法發(fā)現(xiàn)和證明結(jié)論，鼓勵(lì)思維的發(fā)散．

既關(guān)注知識(shí)形成的結(jié)果，又關(guān)注學(xué)生知識(shí)形成的過程，重視數(shù)學(xué)思想和方法在學(xué)生學(xué)習(xí)中的滲透．重視讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、論證的過程．鞏固與提高科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用化歸思想去解決問題．

5.激發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑

教師能面向全體學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的深層思考和情感投入，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑、獨(dú)立思考，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言闡明自己的觀點(diǎn)和想法．例如，在學(xué)生回答三角形中位線有幾條時(shí)，一名學(xué)生回答有兩條，教師請他繼續(xù)回答，哪兩條，學(xué)生在表述時(shí)，發(fā)現(xiàn)了還有一條．教師給學(xué)生充分的時(shí)間和空間，允許學(xué)生有深層次的思考，鼓勵(lì)學(xué)生大膽闡明自己的觀點(diǎn)；在探究線段倍分關(guān)系時(shí)，一名學(xué)生上臺(tái)利用實(shí)物投影儀講解，當(dāng)思路出現(xiàn)問題時(shí)，教師還是鼓勵(lì)他繼續(xù)將自己的思考說完整，然后請其他學(xué)生幫助他修訂，并沒有為了趕時(shí)間而倉促點(diǎn)到就結(jié)束，而是讓這名學(xué)生當(dāng)時(shí)就改正問題．扎實(shí)的態(tài)度，寬容的心態(tài)，為學(xué)生贏得了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的被尊重感，是對(duì)學(xué)生最大的鼓勵(lì)和認(rèn)可．整堂課，教師注意加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的啟發(fā)和引導(dǎo)，鼓勵(lì)培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的科學(xué)研究的思想，并鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的證明方法．例如，得出猜想的方法度量和平移；證明猜想的正確性，學(xué)生采取了四種不同作輔助線的方法．同時(shí)本節(jié)課學(xué)生參與的交流是多邊而豐富多樣的，有師生交流、生生交流．交流過程中，教師態(tài)度和藹，有親和力，師生間不僅有知識(shí)的交流，也有情感的交流，使課堂智慧閃爍、充滿生命活力．

二、建議與意見

筆者對(duì)本節(jié)課也有一些思考，與同行商榷．

1.要有課程觀，準(zhǔn)確把握教材編寫的意圖

再讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》），要有課程觀，教學(xué)內(nèi)容的整體觀，準(zhǔn)確把握教材編寫的意圖，深刻領(lǐng)悟教材呈現(xiàn)的文本，認(rèn)真解讀．《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第三部分課程內(nèi)容中，三角形涵蓋了所有和三角形有關(guān)的內(nèi)容，但沒有本節(jié)內(nèi)容，“探索并證明三角形的中位線定理”放到哪里去了呢？放在了四邊形中．為什么？值得我們思考．說明三角形中位線與四邊形密切相關(guān)，學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，其目的是讓學(xué)生感受到本節(jié)內(nèi)容是對(duì)平行四邊形性質(zhì)和判定內(nèi)容的一個(gè)深化和轉(zhuǎn)化，證明角相等、線段相等不僅可以用全等，還可以用平行四邊形性質(zhì)，使得我們的證明更加簡潔，思路更加靈活，方法更加多樣．在證明線段二倍關(guān)系時(shí)，學(xué)生提出了四種方法，但對(duì)四種方法的評(píng)價(jià)，何老師沒有明確評(píng)析，對(duì)用平行四邊形的“判定—性質(zhì)—判定—性質(zhì)”證明的學(xué)生，只是說這個(gè)方法很好，至于為什么好，好在哪里，何老師沒有進(jìn)一步說明，有些遺憾，這應(yīng)該是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生良好證明習(xí)慣的契機(jī)和凸顯學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的體現(xiàn)．在學(xué)習(xí)過程中要引導(dǎo)學(xué)生知其然，更要知其所以然．

2.合理應(yīng)用多媒體，為高效課堂服務(wù)

合理利用教材、課件、板書，優(yōu)化它們之間的關(guān)系，科學(xué)應(yīng)用．多媒體在課堂中的應(yīng)用，如何使之合理化，能否替代教材．例如，教材中有的練習(xí)題，是讓學(xué)生看書還是看課件，教材中有的概念的表述，是讓看課件記憶理解還是閱讀教材．學(xué)生再給出的證明中都是比較煩瑣冗長的，是否可以提示學(xué)生看教材，教材的思路很清晰，如何把理說清楚，如何說得簡潔，這也是數(shù)學(xué)證明的要求之一，只有真正清楚了，說的理才完全符合邏輯．在教學(xué)中，教材是我們無聲的教師，不應(yīng)該忽視．本節(jié)課沒有用到教材，教材中有的，課件是否可以沒有，黑板能夠展示的，課件是否可以沒有，課件只是輔助作用，不是完全替代．白板演示測量，就很有效，黑板和教材都做不到．

3.處理好課堂生成和備課預(yù)設(shè)之間的關(guān)系

如何關(guān)注，一是關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知程度，減少自問自答的無效提問．例如，對(duì)中位線的定義，本節(jié)課中教師自己提出問題，自己回答，直接給出．學(xué)生完全有能力回答，并且關(guān)于概念，也是本節(jié)課的重點(diǎn).教師在備課時(shí)，只是認(rèn)為概念比較簡單，但是忽略了學(xué)生對(duì)新知識(shí)點(diǎn)的形成要有一個(gè)過程.三角形中位線的定義，需要讓學(xué)生掌握三種表達(dá)方式：幾何語言、文字描述、圖形語言，何老師只是給出了文字描述，沒有給學(xué)生留出思考的時(shí)間和空間．二是學(xué)會(huì)傾聽，傾聽學(xué)生說什么，知道學(xué)生為什么這么說，評(píng)價(jià)要明確對(duì)與錯(cuò)，不可不回應(yīng)或模棱兩可．在本節(jié)課中，學(xué)生回答中位線和中線的區(qū)別時(shí)說：中位線是兩邊中點(diǎn)，中線是一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)中點(diǎn)．教師和學(xué)生一致同意，這種表述顯然不完整，教師沒有指出和矯正．這就是在備課時(shí)過多地關(guān)注知識(shí)性，而忽略學(xué)情，八年級(jí)學(xué)生的語言表述能力還比較弱．當(dāng)有的學(xué)生拼不出平行四邊形時(shí)，教師說：有些學(xué)生隨便就畫出了一條中位線，行嗎？這句話表述有邏輯性錯(cuò)誤，中位線怎么能是隨便就畫出來呢？針對(duì)教師發(fā)現(xiàn)的這個(gè)現(xiàn)象，只是描述了一下，也沒有進(jìn)一步說明．導(dǎo)致在黑板前展示作品的學(xué)生拼出來的圖形也不標(biāo)準(zhǔn)．由于概念不扎實(shí)，沒有真正領(lǐng)悟中點(diǎn)的作用．教師強(qiáng)調(diào)不到位．三是將學(xué)生的互動(dòng)落到實(shí)處，學(xué)生互動(dòng)是學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師三方面的互動(dòng)，不僅僅是回答問題的學(xué)生和教師的互動(dòng)．在證明線段二倍分關(guān)系時(shí)，第一位上臺(tái)展示的學(xué)生，通過全等證明給出結(jié)論．應(yīng)該是DF=BC，寫成了DE=BC，其中有一個(gè)地方寫錯(cuò)了，也讀錯(cuò)了，沒有人指出，這樣的回答形同虛設(shè)，造成課堂教學(xué)的低效．四是關(guān)注學(xué)生聽的效果，教師在描述三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)，沒有按照嚴(yán)格的幾何語言敘述，表述為：將三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到如下圖形．教師是言傳身教，要想學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)，教師更要細(xì)致、完整．

4.承載授課模式的信息化，提升教師運(yùn)用多媒體技術(shù)

在“互聯(lián)網(wǎng)+信息”的時(shí)代，開發(fā)信息資源很有必要，提升多媒體制作技術(shù)也是時(shí)代發(fā)展的需要．在錄制課、微課等進(jìn)行創(chuàng)作時(shí)，選擇安靜的環(huán)境是必須的，何老師在錄制這節(jié)課時(shí)，如果關(guān)閉門窗，街面上的車鳴人喧聲可能干擾就少些，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的干擾也會(huì)少些．

5.關(guān)注過程性的生成和學(xué)生思維的發(fā)展

概念的學(xué)習(xí)，不但要關(guān)注過程性的生成，也要關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展．本節(jié)課展示給學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一是識(shí)別三角形中位線．概念的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)是經(jīng)歷概念的形成，歸納圖形的性質(zhì)，識(shí)別是學(xué)習(xí)概念的應(yīng)用之一，但不是全部，因此該目標(biāo)的設(shè)定一是不準(zhǔn)確，二是不全面．本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)定位三角形中位線定理的探究．三角形中位線的概念不因概念的得出比較直觀、簡單而忽視對(duì)它的教學(xué)，任何一個(gè)概念都應(yīng)該認(rèn)真分析，讓學(xué)生充分感受到概念的形成和特點(diǎn)．重點(diǎn)定位不全面．本節(jié)課沒有預(yù)設(shè)難點(diǎn)，欠缺對(duì)教材的分析．平行四邊形的性質(zhì)和判定定理的探究過程中，學(xué)生深刻體會(huì)到四邊形問題通常轉(zhuǎn)化為三角形問題進(jìn)行研究，而三角形中位線定理是將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題進(jìn)行研究的，學(xué)生以前未曾接觸，所以獨(dú)立證明三角形中位線定理會(huì)出現(xiàn)很大的困難，如何添加輔助線構(gòu)建已知與未知的橋梁是學(xué)生認(rèn)知的一個(gè)難點(diǎn)．因此，三角形中位線定理的證明是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

收稿日期：2015—12—03

作者簡介：張安慶（1957—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.