杜巖巖

（首都師范大學初等教育學院，北京100048）

小學數(shù)學教科書中的概念研究

杜巖巖

（首都師范大學初等教育學院，北京100048）

概念是思維的基本形式之一，也是判斷和推理的基礎(chǔ)。對小學數(shù)學教科書中概念的有效理解能夠促進學生思維能力的發(fā)展。運用內(nèi)容分析法梳理小學教科書中的重要概念，總結(jié)出概念的結(jié)構(gòu)、分類、定義類型、呈現(xiàn)方式等方面的現(xiàn)狀。從邏輯學、心理學的視角分析小學教科書中概念教學中存在的問題，依據(jù)相關(guān)理論，并運用案例分析法對不同方面的問題提出針對性的策略，從而促進數(shù)學概念的有效學習，這對于學生的思維發(fā)展大有裨益。

小學；數(shù)學；教科書；概念

數(shù)學概念是一類數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的反映［1］，同時它也是數(shù)學基礎(chǔ)知識的基石?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準》（2011年版）［2］（以下簡稱《數(shù)學課程標準》）的前言部分強調(diào)：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學學習過程中?！蓖评砟芰Πl(fā)展的基礎(chǔ)是概念，所以，概念的學習對于學生來說至關(guān)重要。然而在小學實際教學中，學生對于數(shù)學概念的理解和掌握存在許多困難，而教科書作為學生學習數(shù)學概念的主要資源，是如何呈現(xiàn)概念的呢？它對概念的學習有怎樣的影響呢？

一、概念在教科書中的呈現(xiàn)

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，因此數(shù)學概念是數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的反映。對于數(shù)學來說，只有掌握了數(shù)學基礎(chǔ)知識，實現(xiàn)知識之間聯(lián)系，才能在活動中提高基本技能，發(fā)展基本思想。下面以北京師范大學出版社出版的《新世紀（版）義務(wù)教育課程標準數(shù)學實驗教科書·數(shù)學》（1～12冊）（以下簡稱北師版教科書）為對象，從概念的結(jié)構(gòu)、概念的分類、概念的定義類型、概念的呈現(xiàn)方式方面來具體分析。

1．概念的結(jié)構(gòu)

概念的結(jié)構(gòu)是指概念由哪些部分組成，一般來說，概念是由名稱、屬性、定義和例證組成的（如表1所示）。概念的名稱一般由詞匯構(gòu)成，例如三角形、四邊形等。概念的形成并不一定必須用一個特定的詞說出來，例如嬰兒無法使用語言表達概念，但能夠從許多人中辨認出媽媽，說明“媽媽”的概念已經(jīng)形成。實際教學中有的學生說不出“周長”的概念是什么，但他能夠清晰地指出物體中的邊界的長，這表明學生對于“周長”的概念已經(jīng)形成。概念的屬性指的是概念的關(guān)鍵特征，例如物體的顏色、氣味、材料、大小、形狀、位置等。數(shù)學概念只研究物體的大小、形狀、位置、數(shù)量關(guān)系等屬性。邏輯學中，概念的定義就是以簡短的形式揭示概念、命題的內(nèi)涵或外延，使人們明確它們的意義及其使用范圍的邏輯方法。［3］概念的例證大致分為兩種：一種是正例（positive instances），即與概念要求相符，例如，4是正數(shù)的正例，等腰三角形是三角形的正例；另一種是反例（negative instances），即與概念要求不符合或違背要求的，例如，－2是正數(shù)的反例，平行四邊形是三角形的反例。

表1 概念結(jié)構(gòu)分析表

2．概念的分類

根據(jù)不同的分類標準可以將概念分為不同的類型，例如，奧蘇貝爾根據(jù)是否經(jīng)過觀察正反例子揭示概念的特征把概念分為初級概念和二級概念（如表2所示）。［4］例如，三角形是初級概念，等腰三角形是二級概念。

表2 概念分類舉例表

《數(shù)學課程標準》將義務(wù)教育階段數(shù)學課程內(nèi)容劃分為四大部分：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。其中的前三部分包括許多數(shù)學基本概念，綜合與實踐是對概念的應(yīng)用。依據(jù)前三部分內(nèi)容的分類，對北京師范大學出版社出版的《義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》1～12冊中的數(shù)學概念進行梳理，結(jié)果如表3所示。

表3 概念分類表

3．概念的定義類型

對概念的不同定義類型進行分析，不僅能夠促進學習者對概念的更好理解，更重要的是能夠讓學習者領(lǐng)會概念定義的不同種類及含義。北師版教科書中的有些概念沒有明確定義，而是采用直接給出的形式，這在低年級教科書中比較普遍。通過梳理教科書中明確定義的概念并從邏輯學角度對概念的定義類型進行分析，可以將北師版教科書中數(shù)學概念的定義概括為：發(fā)生定義、關(guān)系定義、語境定義、列舉定義、實指定義、描述性定義。

發(fā)生定義是指從被定義的詞項所指稱的事物的發(fā)生、來源方面揭示種差定義的形式。例如最小公倍數(shù)，通過從公倍數(shù)中選擇最小的倍數(shù)來定義；關(guān)系定義是指以事物之間的特殊關(guān)系作為種差的定義，例如，倒數(shù)是以兩個數(shù)的乘積為1的特殊關(guān)系來定義的；語境定義是指將定義項放在一定的語言環(huán)境之中，然后用一個意義相同但被定義項在其中不出現(xiàn)的語句來給被定義項下定義，這種定義強調(diào)具體的上下文語境；列舉定義屬于一個概念的外延的對象數(shù)目很大，或者種類很多，無法窮盡地列舉，于是就舉出一些例證，以幫助人們獲得關(guān)于該概念所指稱對象的一些了解；實指定義通過用手指指著某個對象，從而教會兒童去認識事物和使用語言，這種定義能夠通過具體事物來幫助學生理解概念；描述性定義是指對被定義語詞既有用法的報道或描述（如表4所示）。［4］

我不知道，在這個世界上，關(guān)于愛，一共有多少種表達方式，但我知道，最樸素最深情的一種，就是——養(yǎng)一只羊，等你回家。

表4 概念的定義類型

4．概念的呈現(xiàn)方式

這里所講的概念的呈現(xiàn)方式是指教科書中以什么材料來呈現(xiàn)概念：有些概念只用文字語言來呈現(xiàn)，例如長方體的表面積；有些概念的呈現(xiàn)可能既有文字又包括圖形，在不同的概念呈現(xiàn)中二者的比重不同。通過總結(jié)，可以把呈現(xiàn)方式大致分為三種：圖形主導(dǎo)文字輔助型、圖文并茂型和文字描述型。

圖形主導(dǎo)文字輔助的這種呈現(xiàn)方式主要分布在北師版低年級教科書中，這個階段的兒童具有皮亞杰關(guān)于兒童的發(fā)展理論中的具體運算階段的特點，抽象思維能力薄弱，對于文字的認識、理解、使用等方面的能力尚處于較低水平，不能在頭腦中很好地實現(xiàn)文字與其所代表的具體事物的轉(zhuǎn)化。采用直觀圖形為主，文字輔助的方式（如圖1所示）［5］有利于學生從直觀的圖形獲得對于概念的有效理解。這種呈現(xiàn)方式的概念有：長方體、正方體、球、圓柱、圓錐、圓、線段、射線、直線、角、平角、周角等。

圖1 認識物體

圖文并茂呈現(xiàn)方式（如圖2）［6］指的是圖形與文字在呈現(xiàn)概念時不分主次，處于同等的地位，這種呈現(xiàn)方式大多分布在中、高年級的教科書中。隨著學生年齡的增長，對于文字的理解力也逐漸增強，從圖形和文字不同方面對概念進行理解，有利于對概念的不同角度的理解，實現(xiàn)文字與圖形之間的聯(lián)系，這有利于發(fā)展學生的圖形語言和文字語言。這種呈現(xiàn)方式的概念有：銳角、直角、鈍角、等腰三角形、等邊三角形、梯形、平行四邊形、垂直、周長、面積等。

圖2 周長的定義

文字描述的呈現(xiàn)方式［7］是指僅采用文字語言來描述概念，沒有搭配對應(yīng)的圖形。這種概念呈現(xiàn)方式一般分布在高年級的教科書中，這個階段的學生的思維水平和使用文字的能力進一步提升，這為理解文字奠定了基礎(chǔ)。文字描述的概念呈現(xiàn)方式能夠幫助學生實現(xiàn)文字與概念對應(yīng)的原型之間的轉(zhuǎn)換，從而發(fā)展學生的抽象思維能力。這種呈現(xiàn)方式的概念有：表面積、體積、容積、小數(shù)、分數(shù)、速度、正數(shù)、負數(shù)、循環(huán)小數(shù)、自然數(shù)、整數(shù)、倍數(shù)、因數(shù)、最小公倍數(shù)、最大公因數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、倒數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、約分、通分、方程、比、正比例、反比例、比例尺等。

二、對概念呈現(xiàn)現(xiàn)狀的分析及建議

根據(jù)小學生的年齡特征和認知水平，教科書中的概念有些僅給出了概念的名稱，有的只是描述了概念外延的一部分，有的則是采取了定義的方式，這些不同的形式，有利于學生從不同角度去理解概念；同時，北師版教科書概念的呈現(xiàn)情況中也存在一些問題，對問題進行分析從而更好地促進概念的學習。

1．概念的結(jié)構(gòu)方面

對北師版教科書中呈現(xiàn)的概念的結(jié)構(gòu)進行分析后發(fā)現(xiàn)，書中對于概念的反例的呈現(xiàn)數(shù)量明顯少于正例，甚至很多概念沒有呈現(xiàn)反例。例如，在方程的概念結(jié)構(gòu)中，只給出了像x＋5＝10，4y＝380這樣的正例，對于不是方程的反例卻沒有給出。又如，在最簡分數(shù)的概念結(jié)構(gòu)中僅呈現(xiàn)了像這樣的正例，同樣也沒有給出不是最簡分數(shù)的反例。這說明北師版教科書對數(shù)學概念結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)并不全是完整的，存在缺少反例的現(xiàn)象，而反例對于概念的學習至關(guān)重要，正如Markle所說，反例在概念的學習中應(yīng)該處于主導(dǎo)地位。

概念學習本質(zhì)是對概念屬性的辨認，而例子則是概念屬性的具體化和形象化，對概念的學習有著重要的輔助作用。［8］每個人回憶自己的學習過程就會理解例子的重要性，正如有關(guān)研究表明，核心概念教學時，如果沒有后繼的樣例學習和練習，兒童數(shù)學問題解決水平較低。［9］正例讓學習者明白概念是什么，反例讓學習者曉得概念不是什么，這種對比的方法，可以讓學生明確概念的關(guān)鍵特征，從而加深對概念的理解。在學校教育中，教科書對教學有重要的影響。然而，正如McKinney等人所指出一樣，大部分的教科書中都沒有呈現(xiàn)概念的反例。［10］因此，適當增加教科書中概念的反例數(shù)量，以符合學生思維特征的方式呈現(xiàn)它們，并且合理組織正反例，讓學生在正例、反例的對比中去重新認識、理解概念。

2．概念的分類方面

對概念進行分類，有利于學生弄清楚概念的含義及概念之間的關(guān)系。教科書中按數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率分為三部分內(nèi)容，在每個單元里介紹其中一部分內(nèi)容中的概念，這樣有利于學生系統(tǒng)地掌握概念，但是同時不利于學生溝通其他部分內(nèi)容里的知識的聯(lián)系。因為學生在學習概念時，頭腦里的知識不是孤立的，而是相互聯(lián)系的。概念教學不能只滿足于告訴學生“是什么”或“什么是”，還應(yīng)讓學生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在建立、發(fā)展理論或解決問題中的作用。［11］所以教科書不僅要讓學生知道按照數(shù)學課程內(nèi)容分類的概念是什么，還要讓學生明白為什么這樣分類。例如，面積的概念屬于圖形與幾何的內(nèi)容，但學生頭腦中有時把面積看成數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，因為在用數(shù)格子法求面積時學生僅僅關(guān)心面積的大小是多少，而忽略了圖形的形狀。由此可見，教科書應(yīng)該鼓勵學生按照不同的標準給概念分類，這有利于從不同角度看概念，從而溝通概念之間的聯(lián)系。

3．概念的定義方面

定義在概念學習中是十分有用的，通過定義學生更好地辨別概念相關(guān)屬性，從而減少不必要的麻煩。從教科書中的概念定義可以看出，幾乎所有概念的定義方式只有一種，這說明概念的定義方式比較單一，不利于學生從多角度理解概念。而且，概念的定義在教科書中出現(xiàn)的次數(shù)較少，有的概念在小學階段只出現(xiàn)一次。

針對教科書中定義方式單一，建議采用兩種或多種定義方式結(jié)合的方法定義概念。例如，可以先給出分數(shù)概念的發(fā)生定義，再利用列舉定義給出該概念的一些外延。另外，定義方式要與年齡特點相符合，低年級階段要多采用實指定義，再逐步發(fā)展到用文字敘述的其他定義，例如低年級定義正方形，可以指著圖形說像這樣的圖形叫正方形，高年級可以定義它為四邊都相等的長方形叫正方形。同時，在概念學習的不同階段，用不同形式的語言去定義概念，讓不同形式的概念定義多次出現(xiàn)，這使得學生能夠循序漸進地理解概念。

4．概念的呈現(xiàn)方面

整體來說，北師版教科書中概念的呈現(xiàn)運用了大量生動活潑的情景、直觀形象的圖形、簡明易懂的文字。但梳理后從中也發(fā)現(xiàn)了一些問題，例如在圖形主導(dǎo)的呈現(xiàn)中多數(shù)圖形都是從現(xiàn)實物體抽象而來，沒有把圖形與現(xiàn)實物體聯(lián)系起來。文字描述的概念對應(yīng)的圖形有些不是概念的最佳實例，例如，樹葉和簡易鴿子的圖形不是學生日后學習周長中常用例子，且鴿子的圖形相對復(fù)雜，有些學生借助它理解周長的概念可能會遇到許多障礙。因此，第一次出現(xiàn)某種圖形時，圖形要與實例一起呈現(xiàn)，同時實例最好是符合概念的最佳實例。文字的力量是巨大的，但這種力量必須在文字被理解的情況下發(fā)生。而教科書中存在一些呈現(xiàn)概念的文字較難理解的現(xiàn)象，這不利于學生對新概念的理解。因此，教科書中不能用學生難懂的文字去定義概念，盡量在定義中避免學生不明白的語言。例如體積定義中的“空間”對于學生來說很難理解，而美國加州版教材中關(guān)于體積定義“物體所能容納的單位立方體的數(shù)目”［12］給了我們定義體積的另一種角度。

三、結(jié)語

學校里的學習通常被認為包括概念學習、技能學習和問題解決三部分。［13］例如斯坦福數(shù)學學業(yè)成就測驗的內(nèi)容由概念、計算和應(yīng)用組成。由此看出，概念的學習已經(jīng)成為各個學科課程內(nèi)容中不可分割的一部分。教科書作為概念呈現(xiàn)的主要載體，其中概念的呈現(xiàn)方式對于概念的學習有重要影響。數(shù)學課程內(nèi)容中的概念是幫助學生和教師理解數(shù)學的基礎(chǔ)，而一本具有合理組織概念、準確定義概念、清晰呈現(xiàn)概念的教科書無疑對教與學都有很大幫助。因此加強概念教學，可以從教科書開始，通過增加教科書中正反例的對比學習等方式提升教科書的質(zhì)量，使之成為學生進行概念學習的重要資源、教師進行概念教學的有力工具。

［1］李善良．現(xiàn)代教學觀下的數(shù)學概念學習與教學理論研究［D］．南京：南京師范大學，2002．

［2］教育部．義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2011．

［3］陳波．邏輯學十五講［M］．北京：北京大學出版社，2008：79．

［4］陳琦，劉儒德．當代教育心理學［M］．北京：北京師范大學出版社，2007：270．

［5］義務(wù)教育數(shù)學課程標準研制組．義務(wù)教育課程標準數(shù)學實驗教科書：第一冊［M］．北京：北京師范大學出版社，2005：64．

［6］義務(wù)教育數(shù)學課程標準研制組．義務(wù)教育課程標準數(shù)學實驗教科書：第五冊［M］．北京：北京師范大學出版社，2006：44．

［7］義務(wù)教育數(shù)學課程標準研制組．義務(wù)教育課程標準數(shù)學實驗教科書：第十冊［M］．北京：北京師范大學出版社，2005：18．

［8］郭建鵬，彭明輝，楊凌燕．正反例在概念教學中的研究與應(yīng)用［J］．教育學報，2007，3（6）：21-27．

［9］李運華．核心概念教學思維對兒童數(shù)學問題解決的影響［J］．重慶師范大學學報：自然科學版，2013，31（2）：117．

［10］McKinney C W，Larkins A G，F(xiàn)ord M J，et al．The Effectiveness of Three Methods of Teaching Social Studies Concepts to Fourth-grade Students：An Aptitude-treatment Interaction Study［J］．American Educational Research Journal，1983，20：663-670．

［11］邵光華，章建躍．數(shù)學概念的分類特征及其教學探討［J］．課程·教材·教法，2009，29（07）：49．

［12］Altieri．California Mathematics Grade 3［M］．New York：The McGraw－Hill Companies，2007：487．

［13］Richard J Shumway，Arthur L White，Patricia Wilson and Bruce Brombacher．Feature Frequency and Negative Instances in Concept Learning［J］．American Educational Research Journal，1983，20（3）：451-459．

［責任編輯：陳學濤］

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1002-1477（2015）03-0076-05

10．16165／j．cnki．22-1096／g4．2015．03．018

2014-07-04

杜巖巖（1989－），女，安徽亳州人，碩士研究生。