楊存基 李佳庚

【摘要】本文對(duì)幾類數(shù)學(xué)探索性問題進(jìn)行探討，歸納總結(jié)了各類數(shù)學(xué)探索性問題的特征及解決各類探索性問題的數(shù)學(xué)思想方法和基本策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)探索性問題;特征;數(shù)學(xué)思想方法;解題策略

隨著學(xué)校教育由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)德、智、體、美、勞全面發(fā)展的開拓型、創(chuàng)造型人才已成為社會(huì)對(duì)學(xué)校教育的要求.數(shù)學(xué)中探索性問題隨之應(yīng)運(yùn)而生，并成為數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)問題.這既是中學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具有開拓創(chuàng)造能力的要求，也是高等院校選拔高素質(zhì)人才的需要.探索性問題是問題本身具有開放性，解題思維具有發(fā)散性的問題，它的結(jié)論不明確或條件不完備，要求學(xué)生通過探索、研究并總結(jié)出正確結(jié)論.因此，探索性問題立意具有新穎性，解法具有探索性，思維具有發(fā)散性，結(jié)論具有多元性等特征.探索性問題以問題為中心，融數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法于一體，要求解題者根據(jù)給出的某種題設(shè)，歸納猜想結(jié)論，最后證明其正確性.探索性問題從較高層次上考查學(xué)生創(chuàng)造性思維能力，需要解題者有更多的創(chuàng)造性.正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是解決這類問題的橋梁和向?qū)?，引?dǎo)學(xué)生選擇合理有效的方法和手段進(jìn)行思考、探索和研究，最后提出解決問題的思路和方法，創(chuàng)造性地解決問題.多年來，許多作者從不同的角度對(duì)探索性問題進(jìn)行了一些研究，但由于探索性問題相對(duì)開放，解決起來沒有特定解決問題的方法，這給探索性問題的教學(xué)和解題帶來了困難.本文針對(duì)數(shù)學(xué)中的幾類探索性問題進(jìn)行歸納，總結(jié)了各類探索性問題的特征及解決各類探索性問題的數(shù)學(xué)思想方法和基本策略.

一、條件探索型探索性問題

條件探索型探索性問題是指結(jié)論已知，反過來探求使結(jié)論成立的充分條件的一類探索性問題.解決此類問題的基本策略是：先探尋結(jié)論成立的必要條件，再進(jìn)一步尋找到結(jié)論成立的充分條件.在此過程中，應(yīng)注意推理過程的可逆性，不能將必要條件當(dāng)作充分條件.因此，可設(shè)出題目中指定的探索條件， 結(jié)合題設(shè)條件列出滿足結(jié)論的等量或者不等量關(guān)系，通過解方程或解不等式等運(yùn)算，求得所需尋找的條件.故條件探索型探索性問題的解法改變了傳統(tǒng)的思維模式，有利于開拓和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

例1 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a（a為常數(shù)），an=2an-1+n2-4n+2（n∈N，

n≥2）.

（1）{an}是否可能是等差數(shù)列？若可能，求出{an}的通項(xiàng)公式;若不可能，說明理由;

（2）設(shè)b1=b，bn=an+n2n∈N，n≥2，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且{Sn}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a，b滿足的條件.

解 （1）由已知條件 a1=a，an=2an-1+n2-4n+2（n=2，3，…）得

a2=2a1+4-8+2=2a-2，a3=2a2+9-12+2=4a-5，a4=2a3+2=8a-8.

所以 a2-a1=2a-2-a=a-2，a3-a2=2a-3，a4-a3=4a-3.

假若{an}成等差數(shù)列，則a2-a1=a3-a2，得a=1.又由a3-a2=a4-a3，得a=0，矛盾.故{an}不可能成等差數(shù)列.

（2）由bn=an+n2得bn+1=an+1+（n+1）2

=2an+（n+1）2-4（n+1）+2+（n+1）2

=2an+2n2=2bn（n≥2）.

又因?yàn)閎2=a2+4=2a+2，當(dāng)a≠-1時(shí)，bn≠0.故{bn}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列.前n項(xiàng)和為

Sn=b1+（2a+2）2n-1-12-1

=b+（2a+2）2n-1-1.

當(dāng)n≥2時(shí)，

SnSn-1=（a+1）·2n+b-2a-2（a+1）·2n-1+b-2a-2

=2-b-2a-2（a+1）·2n-1+b-2a-2.

又因?yàn)閧Sn}是等比數(shù)列，所以SnSn-1（n≥2）為常數(shù).

由a≠-1得b-2a-2=0， 故b=2a+2.

當(dāng)a=-1時(shí)，b2=0，bn=2bn-1（n≥3），得

bn=0（n≥2）.

Sn=b1+b2+…+bn=b.又因?yàn)閧Sn}是等比數(shù)列，故b≠0.

綜上所述，{Sn}是等比數(shù)列，實(shí)數(shù)a，b滿足條件為a≠-1

b=2a+2 或a=-1

b≠0.

評(píng)析 本題第（2）小題是條件探索型探索性問題，在第（2）小題的解答中，必須注意到a≠-1時(shí)，b1=b，bn+1bn=2（n≥2），僅表示數(shù)列{bn}從第2項(xiàng)起成等比數(shù)列;另一方面，SnSn-1（n≥2）為常數(shù)，也可理解為（a+1）·2n+b-2a-2（a+1）·2n-1+b-2a-2=t（t與n無關(guān)），對(duì)n≥2恒成立.解方程（a+1）t-2×2n-1+t-1b-2a-2=0，對(duì)n≥2恒成立.在a≠-1條件下，同樣可得b-2a-2=0（此時(shí)t必等于2）.這里應(yīng)用了方程思想，在處理數(shù)列問題時(shí)常應(yīng)用函數(shù)與方程的思想方法.

小結(jié) 在解決條件探索型探索性問題時(shí)，由于其結(jié)論明確，可將結(jié)論和題設(shè)都視為已知條件，借助演繹、推理的手段探求出所需尋求的條件是否存在，或是否合理.在探索的過程中，從正、逆兩個(gè)方向不斷變換思維角度，努力向目標(biāo)靠近.

二、結(jié)論探索型探索性問題

結(jié)論探索型探索性問題是指僅給出了條件，由所給的條件探求結(jié)論的探索性問題.解決此類探索性問題要充分利用已知條件，經(jīng)過觀察、分析、歸納、猜想，探索結(jié)論，其基本的解題策略是：通過聯(lián)想、類比、估計(jì)應(yīng)用定義和定理，由條件直接導(dǎo)出結(jié)論.可采用特殊到一般、具體到抽象的歸納過程獲得結(jié)論，最后給出一般性證明.此類探索性問題著力培養(yǎng)了學(xué)生的分析、歸納、綜合、推理等方面的能力.

例2 （2010年福建卷）已知函數(shù)f（x）=axsinx-32a∈R，且在0，π2上的最大值為π-32.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式;

（2）判斷函數(shù)f（x）在0，π內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.

解 （1）對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）=asinx+xcosx.

由于當(dāng)x∈0，π2時(shí)，sinx+xcosx>0，所以

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-32，不合題意;

當(dāng)a<0時(shí)，f′（x）<0，x∈0，π2，所以f（x）在0，π2內(nèi)單調(diào)遞減，

f（x）max=f0=-32，不合題意;

當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）>0，x∈0，π2，所以f（x）在0，π2內(nèi)單調(diào)遞增，

f（x）max=fπ2=π2a-32.

依題意得π2a-32=π-32，故a=1.

所以f（x）=xsinx-32.

（2）由（1）得f（x）=xsinx-32，令h（x）=f′（x）=sinx+xcosx.

Ⅰ） 當(dāng)x∈0，π2時(shí)，f′（x）≥0，所以y=f（x）在0，π2上單調(diào)遞增，則f0×fπ2=-32×π-32<0， 故y=f（x）在0，π2上有唯一零點(diǎn).

Ⅱ） 當(dāng)x∈π2，π時(shí)，則h′（x）=2cosx-xsinx<0，所以f′（x）在x∈π2，π上單調(diào)遞減，則f′π×f′π2=-π<0，故存在唯一x0∈π2，π使得f′x0=0.

當(dāng)π2≤x0，所以f（x）在π2，x0上單調(diào)遞增.由fπ2>0得，當(dāng)x∈π2，x0時(shí)，f（x）>0;

當(dāng)x0≤x<π時(shí)，f′（x）<0，所以f（x）在x0，π上單調(diào)遞減.又因?yàn)閤∈x0，π時(shí)，fx0×fπ<0，所以y=f（x）在x0，π上有唯一零點(diǎn).

由Ⅰ）和Ⅱ）得函數(shù)f（x）在0，π內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

評(píng)析 本題第（2）小題是結(jié)論探索型探索性問題，結(jié)論不明確，需要學(xué)生從已知條件出發(fā)，應(yīng)用所學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行推理，探索得出結(jié)論.

小結(jié) 結(jié)論探索型探索性問題的解答需要綜合應(yīng)用多種數(shù)學(xué)思想和方法，將所求的問題與熟知的問題相類比，進(jìn)行多方位的聯(lián)想，將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法、問題的結(jié)論等引申、推廣或遷移，即可取得舉一反三、觸類旁通的奇妙效果.

三、條件結(jié)論重組型探索性問題

條件結(jié)論重組型探索性問題是給出了一些相關(guān)命題，需要對(duì)這些命題進(jìn)行重新組合構(gòu)成新命題，或只給出了題設(shè)和結(jié)論的一些探求的方向，需要去探求條件和結(jié)論的探索性問題.解決此類問題的基本策略是：對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行多種重組，逐一探求，以排除不合理、不符合條件或錯(cuò)誤的命題.解決此類探索性問題要善于應(yīng)用觀察、分析、類比、聯(lián)想等方法，需要有更強(qiáng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，要求學(xué)生能夠綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí).因此對(duì)條件結(jié)論重組型探索性問題的學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力.

例3 （2004年北京卷） 已知三個(gè)不等式：ab>0，bc-ad>0，ca-db>0（其中a，b，c，d均為實(shí)數(shù)），用其中兩個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是（ ?）.

A.0 ? ?B.1 ? ?C.2 ? ?D.3

分析 題設(shè)中的三個(gè)不等式存在三種組合關(guān)系，可以構(gòu)造三個(gè)命題，需要對(duì)構(gòu)造的三個(gè)命題的正確性逐一加以判斷.

（1）若ab>0，bc-ad>0， 則ca-db=bc-adab>0.所以由ab>0，bc-ad>0可以得到ca-db>0.

（2）若ab>0，ca-db>0，則bc-adab>0，進(jìn)而bc-ad>0.所以由ab>0，

ca-db>0可以得到bc-ad>0.

（3）若bc-ad>0，ca-db>0，則bc-adab>0，ab>0.所以由bc-ad>0，

ca-db>0可以得到ab>0.

由上所述三個(gè)命題均為真命題，答案為D.

評(píng)析 本題就是一個(gè)條件結(jié)論重組型探索性問題，題目沒有給出明確的條件與結(jié)論，需要學(xué)生通過自己觀察、推理、演繹來重組條件和結(jié)論，最后根據(jù)重組條件結(jié)論得到的命題的真假確定答案.

小結(jié) 條件結(jié)論重組型探索性問題綜合性較強(qiáng)，具有很強(qiáng)的開放性，解答思路靈活，特別是往往需要進(jìn)行分類探索，對(duì)每種情況都加以細(xì)致分析，對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性要求很高，需要解題者具有很強(qiáng)的綜合能力.因此說條件結(jié)論重組型探索性問題是真正意義上的開放性問題.

四、是否存在型探索性問題

是否存在型探索性問題是指在一定條件下判斷某種對(duì)象或結(jié)論是否存在，是一類結(jié)論不確定的探索性問題.這類問題對(duì)象或結(jié)論存在與否有待判斷，常常為“對(duì)象或結(jié)論是否存在或可能？若或可能則求出（或證明），若不存在或不可能，請(qǐng)說明理由”.它是一類綜合性強(qiáng)、覆蓋面廣的探索性問題.解決此類問題的基本策略是：首先假設(shè)需要判斷的對(duì)象存在（或不存在），其次依據(jù)假設(shè)及題目已給出條件運(yùn)用已有的知識(shí)和方法進(jìn)行正確的邏輯推理，若能求出結(jié)果，則可以肯定假設(shè)，進(jìn)一步給出相應(yīng)的證明;若通過合理正確的推導(dǎo)推出矛盾，則可以否定假設(shè).此類問題有利于培養(yǎng)學(xué)生分析、猜想、推理等方面的能力.

例4 （2011年湖南卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x-1x-alnx（a∈R）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

解 （1）由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)得

f′（x）=1+1x2-ax=x2-ax+1x2.

令g（x）=x2-ax+1，其判別式Δ=a2-4.

當(dāng)|a|≤2時(shí)，Δ≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<-2時(shí)，Δ>0，g（x）=0的兩根

x1=a-a2-42，x2=a+a2-42

都小于0，在（0，+∞）上f′（x）>0，故f（x） 在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>2時(shí)，Δ>0，g（x）=0的兩根為

x1=a-a2-42，x2=a+a2-42，

x1x2=1.（4.1）

當(dāng)00;當(dāng)x1x2時(shí)，f′（x）>0.

所以f（x）分別在0，x1，x2，+∞上單調(diào)遞增，在x1，x2上單調(diào)遞減.

（2）假設(shè)存在滿足條件的a.由（1）的上述求解過程知，a>2.又因?yàn)?/p>

f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+x1-x2x1x2-a（lnx1-lnx2），

k=f（x1）-f（x2）x1-x2=1+1x1x2-a·lnx1-lnx2x1-x2.

由（4.1）得k=2-a·lnx1-lnx2x1-x2.

若存在a，使得k=2-a，則lnx1-lnx2x1-x2=1，即lnx1-lnx2=x1-x2.

又由（4.1）得

x2-1x2-2lnx2=0，x2>1.（4.2）再由（1）知，函數(shù)ht=t-1t-2lnt在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而x2>1，所以

x2-1x2-2lnx2>1-11-ln1=0.

這與（4.2）式矛盾.故不存在a，使得k=2-a.

評(píng)析 例1的第（1）小題和本例題第（2）小題都是是否存在型探索性問題.通過假設(shè)a存在，根據(jù)題設(shè)的已知條件及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及斜率公式等知識(shí)，通過正確的推理推證出結(jié)論與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的，即a不存在，從而否定假設(shè).

小結(jié) 是否存在型探索性問題是高考試題中比較常見的一類探索性題型.“存在”即有，因此如果能實(shí)實(shí)在在地找出一個(gè)即可;“不存在”就是沒有，不可能找到，這就需要說明理由，這時(shí)往往可在假設(shè)存在的情況下采用反證法加以證明.

五、探索規(guī)律型探索性問題

探索規(guī)律型探索性問題是指未給出問題的結(jié)論，需要由特殊情況入手，探索、猜想，最后得出一般結(jié)論并證明的探索性問題.解決此類問題的基本策略是：通常需要研究簡(jiǎn)化形式但保持本質(zhì)的特殊情形，從條件出發(fā)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、猜測(cè)、聯(lián)想來探路，概括出一般規(guī)律，然后再應(yīng)用演繹、推理給出嚴(yán)格的證明.探索規(guī)律型探索性問題解題過程中要求比較高的創(chuàng)新性，學(xué)生在尋找規(guī)律的過程中培養(yǎng)了抓住事物本質(zhì)特征的能力.

例5 設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為Sn，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).

（1）寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng);

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（寫出推證過程）.

解 （1）由題設(shè)知

a1+22=2S1=2a1，

可得a1=2.同理，由

a2+22=2S2=2a1+a2=22+a2

可得a2=6.由

a3+22=2S3=2a1+a2+a3=22+6+a3

得a3=10.故所求數(shù)列{an}的前3項(xiàng)依次為2，6，10.

（2）由數(shù)列{an}的前3項(xiàng)依次為2，6，10，猜想該數(shù)列通項(xiàng)公式是an=4n-2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=4-2=2，通項(xiàng)公式成立;

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即有ak=4k-2.由題意有ak+22=2Sk，

將ak=4k-2代入得到Sk=2k2;

當(dāng)n=k+1時(shí)，由題意有

ak+1+22=2Sk+1=2Sk+ak+1，

ak+1+222=2ak+1+2k2.

即a2k+1-4ak+1+4-16k2=0.由ak+1>0，解得ak+1=2+4k=4（k+1）-2.

所以當(dāng)n=k+1 時(shí)，結(jié)論也成立.

綜上所述，上述結(jié)論對(duì)所有自然數(shù)n都成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=4n-2.

評(píng)析 本題第（2）小題是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由于直接不好求，所以先探索通項(xiàng)公式再嚴(yán)格證明，是典型探索規(guī)律型探索性問題.根據(jù)第（1）問中求出數(shù)列的前3項(xiàng)，然后對(duì)其前3項(xiàng)進(jìn)行觀察、分析、猜想結(jié)論，并證明結(jié)論的正確性.

小結(jié) 探索規(guī)律型探索性問題是對(duì)綜合能力的考查比較全面的，要求學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)自主探索規(guī)律，就此來解決問題.這類問題與結(jié)論探索性問題相似之處在于均是對(duì)結(jié)論進(jìn)行探索，不同之處在于結(jié)論探索性問題的結(jié)論已經(jīng)有了可供研究的明確基礎(chǔ)，而探索規(guī)律型探索性問題的結(jié)論通常更具有隱蔽性，需要借助多種方法去尋求研究的方向，要求解題者從問題情景中自主地探索，提取有價(jià)值的信息，獲取規(guī)律，這類問題的學(xué)習(xí)與研究培養(yǎng)了學(xué)生探索未知世界的能力.

最后需要指出的是探索性問題雖然存在基本的解題策略，但對(duì)具體問題時(shí)往往并不能遵循常規(guī)程序和現(xiàn)成的套路，需要學(xué)生綜合應(yīng)用較多的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括等手段探索解決問題.古人云“授人以魚，不如授人以漁”，在教學(xué)中讓學(xué)生了解知識(shí)形成的過程，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)加強(qiáng)探索性問題的教學(xué)與實(shí)踐，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的綜合的系統(tǒng)過程，這對(duì)學(xué)生的各種能力的培養(yǎng)是一種很好的鍛煉，也是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和發(fā)現(xiàn)能力的重要途徑.通過長(zhǎng)期足夠的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練以后，學(xué)生就能夠積極主動(dòng)地創(chuàng)造性地解決更多的問題.

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