朱安風(fēng) 徐曉兵

【摘要】“一題多解”是日常教學(xué)中常用的方法，通過(guò)不同的方法來(lái)解答問(wèn)題，拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);比較法;不等式;數(shù)學(xué)歸納法;構(gòu)造函數(shù);一題多解

2014年安徽省高考數(shù)學(xué)（理科）第21題.

已知實(shí)數(shù)c>0，整數(shù)p>1，n∈N*.

（Ⅰ）證明：當(dāng)x>-1且x≠0時(shí)，（1+x）p>1+px;

（Ⅱ）數(shù)列{an}滿足a1>c1p，an+1=p-1pan+cpa1-pn，證明：an>an+1>c1p.

解題分析

①第（Ⅰ）問(wèn)解題分析

解法1：（數(shù)學(xué)歸納法）

【人教版數(shù)學(xué)選修4-5第51頁(yè)例3（貝努利（Bernoulli））不等式 如果x是實(shí)數(shù)，且x>-1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）n>1+nx.】

（?。┊?dāng)p=2時(shí)，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2>1+2x，不等式（1+x）p>1+px成立.

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)p=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即有（1+x）k>1+kx.

當(dāng)p=k+1時(shí)，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k>（1+x）（1+kx）=1+x+kx+kx2>1+（k+1）x.

所以當(dāng)p=k+1時(shí)不等式（1+x）p>1+px成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可知，不等式（1+x）p>1+px任意大于1的整數(shù)p都成立.

解法2：（構(gòu)造函數(shù)）

設(shè)f（x）=（1+x）p-1-px，x∈（-1，0）∪（0，+∞），

f′（x）=p（1+x）p-1-p=p（（1+x）p-1-1），（p>1，p∈N*）.

當(dāng)f′（x）=0時(shí)，x=0;當(dāng)f′（x）<0時(shí)，x∈（-1，0）;當(dāng)f′（x）>0時(shí)x∈（0，+∞）.

∴f（x）在x∈（-1，0）上遞減，在x∈（0，+∞）上遞增.

∴f（x）>f（0）=0.故不等式（1+x）p>1+px成立.

2.第（Ⅱ）問(wèn)解題分析

（1）先證數(shù)列{an}的有界性，即證an>c1p.

利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（?。┯梢阎猲=1，由已知a1>c1p，即不等式an>c1p成立.

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（n≥1）時(shí)不等式成立，即有ak>c1p>0.

當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=p-1pak+cpa1-pk.

由-1<-1p<1p（capk-1）=1p c-apkapk<0及（Ⅰ）得

apk+1apk=p-1p+cpa-pkp=1+1p（capk-1）p>1+p·1p·（capk-1）=capk.

所以ak+1>c1p.

注：也可以利用以下方法來(lái)證明.

①apk+1=apkp-1p+cpa-pkp=apk1+1pcapk-1p>apk1+p·1p·capk-1=c.

②由ak>c1p，即ak≠ca1-pk，那么

ak+1=p-1pak+cpa1-pk=ak+…+ak+c·a1-pkp>pakp-1·c·a1-pk=pc.

③令φ（x）=p-1px+cpx1-p，x∈（c1p，+∞）

φ′（x）=p-1p+cp·（1-p）·x-p=p-1p（1-c·x-p）>0.

故φ（x）在x∈（c1p，+∞）上遞增，φ（x）>φ（c1p）=c1p，則an+1=φ（an）>φ（c1p）=c1p.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.由（ⅰ）（ⅱ）可知，不等式an>c1p成立.

（2）再證單調(diào)性.

由an>c1p，則an+1-an=-1pan+cpa1-pn=anp-1+capn<0，故an+1

注：也可以利用以下方法來(lái)證明.

① an+1an=p-1p+cpa-pn=1p（p-1+capn）<1，故an+1

②F（x）=p-1px+cpx1-p，x∈（c1p，+∞）.

令G（x）=F（x）-x=-1px+cp·x1-p，x∈（c1p，+∞），

由p為大于1的整數(shù)，G′（x）=-1p+cp·（1-p）·1xp<0，

所以G（x）在x∈c1p，+∞上遞減，G（x）

又an+1-an=F（an）-an=G（an）<0，故an+1

綜上所述，由有界性和單調(diào)性的證明可知，不等式成立.

在日常教學(xué)中，采用“一題多解”的教學(xué)方法，多角度地分析問(wèn)題，探究解題方法和解題技巧，提高邏輯思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修4-5[M].安徽：人民教育出版社，2005.

[2]周遠(yuǎn).高考數(shù)學(xué)命題的理論與實(shí)踐[M].武漢：湖北人民出版社，2011.

[3]徐曉兵.從2013年高考數(shù)學(xué)卷理科20題所想到的[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（3）：115-116.