胡余建

【摘要】 “學(xué)生說題”是學(xué)生個(gè)體根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過說數(shù)學(xué)材料來表達(dá)解題的技巧和方法，從而使學(xué)生主動(dòng)獲取信息，汲取知識(shí)，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力. 在“學(xué)生說題”過程中，學(xué)生獲得的不僅只是分析問題和解決問題的能力，還獲得了數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)表達(dá)能力以及嚴(yán)密的邏輯思維能力、推理能力和積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)品質(zhì). “學(xué)生說題”可以讓學(xué)生在互相交流中各抒己見，互獻(xiàn)智慧，在磨煉中探索、嘗試、驗(yàn)證，進(jìn)行思想方法的溝通，以達(dá)到集思廣益和突破創(chuàng)新的目的，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、創(chuàng)造性乃至批判性，開發(fā)學(xué)生的腦力資源，挖掘?qū)W生的潛在能力.

【關(guān)鍵詞】 學(xué)生說題；數(shù)學(xué)語言；思維方法；生成數(shù)學(xué)思想

在課程改革的大環(huán)境下，發(fā)揮學(xué)生的主體作用是每一位初中數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù). 發(fā)揮學(xué)生主體作用的方式有多種渠道，“學(xué)生說題”便是其中一種.

一、“學(xué)生說題”的含義及提出背景

美國(guó)著名心理學(xué)家布龍菲說過：“數(shù)學(xué)是一種語言”；“以前，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)只是自然科學(xué)的語言和工具，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已成了所有科學(xué)——自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、管理科學(xué)等的工具和語言”. 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)因受應(yīng)試教育的影響，重視學(xué)生書面表達(dá)，輕視學(xué)生口頭表達(dá). 教師們普遍注重學(xué)生“怎樣解題”，而對(duì)“如何說題”卻有不同程度的忽略. 不論是隨堂練習(xí)，還是課后作業(yè)，總是一種模式：學(xué)生書面筆練，教師口頭評(píng)講. 通過這種常規(guī)方法，固然可以復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，掌握一些解題方法，但是筆練往往不能反映學(xué)生對(duì)題目中知識(shí)點(diǎn)、題型結(jié)構(gòu)、條件問題關(guān)聯(lián)等等的認(rèn)知情況；同時(shí)，解題時(shí)，學(xué)生一般都獨(dú)立思考，缺少相互間討論、交流和提高的機(jī)會(huì)，不少學(xué)生往往會(huì)因某一處卡殼而使思維中斷.

這一傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式和新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”這一理念相悖. 因此，“學(xué)生說題”這種教學(xué)方式，作為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)輔助手段，就顯得尤為重要.

學(xué)生說題，是一種學(xué)習(xí)方法，通過說題，學(xué)會(huì)解這道題，舉一反三，學(xué)會(huì)解一類題，而且從中知道這道題所包含的理論層面的知識(shí). 通過說題，能培養(yǎng)學(xué)生解題的思維習(xí)慣、思維品質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力，讓學(xué)生養(yǎng)成“說題、想題、做題、反思”的學(xué)習(xí)習(xí)慣，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、學(xué)生說題，有利于轉(zhuǎn)變教師教育教學(xué)觀念，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生敢于探索和創(chuàng)新的精神，有利于促進(jìn)教師提高教育教學(xué)水平.

二、學(xué)生說題的教學(xué)實(shí)施

1. 組織與指導(dǎo)

為了讓“學(xué)生說題”能有序常態(tài)地開展，先期的組織和指導(dǎo)就顯得尤為重要. 我們可以把學(xué)生分成5～7人的小組，選好組長(zhǎng)，再讓組長(zhǎng)去安排成員從不同的方面去進(jìn)行分析，然后匯總呈現(xiàn)，逐步讓每個(gè)成員都有單獨(dú)分析呈現(xiàn)的能力. 然后，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行說題示范，教師當(dāng)場(chǎng)給學(xué)生說題示范和學(xué)生通過觀察模仿積累階段，其主要任務(wù)是向?qū)W生傳授說題思想和教會(huì)學(xué)生獲取知識(shí)的方法，并在局部范圍內(nèi)培養(yǎng)學(xué)生初步的說題能力. 通過精設(shè)遷移訓(xùn)練，學(xué)生模仿說題，提高學(xué)生的交流意識(shí)和培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力.

2. 學(xué)生說題的內(nèi)容

合理選擇說題內(nèi)容是使“學(xué)生說題”發(fā)揮良好效果的重要保障. 說題材料的選擇一般以作業(yè)或考試中反映出來比較普遍的、容易錯(cuò)誤的內(nèi)容為主. 那么，對(duì)這些題目，我們可以從以下幾個(gè)方面來實(shí)行.

3. 學(xué)生說題的實(shí)施策略

學(xué)生說題的實(shí)施方案或過程可用以下流程圖表示：

4. 學(xué)生說題的操作實(shí)例

雖然“學(xué)生說題”的內(nèi)容和實(shí)施步驟是一致的，但對(duì)于不同類型的題目，說的側(cè)重點(diǎn)還是有所區(qū)別的，下面就“基礎(chǔ)性題目”的說題和“綜合性題目”的說題兩種不同側(cè)重點(diǎn)的說題模式來進(jìn)行舉例說明.

基礎(chǔ)性題目，由于其題目的條件和結(jié)論比較簡(jiǎn)潔，學(xué)生很少出現(xiàn)審題上的錯(cuò)誤，所以，這類題目的說題重點(diǎn)是解法的優(yōu)化及拓展變式，以達(dá)到發(fā)散思維，舉一反三的效果.

例題呈現(xiàn) 如圖1，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，已知△ABC的邊BC長(zhǎng)為60厘米，高為40厘米，求正方形DEFG的邊長(zhǎng).

說題過程如下：

（1）說題目的條件、涉及知識(shí)點(diǎn)及題目結(jié)構(gòu)

將題目的條件、所涉及的知識(shí)點(diǎn)及其聯(lián)系，題目的條件和問題之間的相互關(guān)系說清楚. 這是審題分析的重點(diǎn)，也是解決問題的關(guān)鍵. 在這個(gè)過程中，教師也可適時(shí)介入，挖掘隱含條件. 就上題而言，不難看出條件是已知一個(gè)正方形和三角形的一邊長(zhǎng)及該邊上的高的長(zhǎng)，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及方程求解等方面的知識(shí).

（2）說解題思路

解題思路的形成，需要通觀全局，局部入手，整體思維，即在掌握通性通法的同時(shí)，形成一個(gè)解題套路. 說題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生由表及里進(jìn)行分析，去偽存真加以改造，盡快找到解題思路.

根據(jù)前述分析，本題解法如下：

簡(jiǎn)解1 設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x cm，∵ DG∥BC，∴ = ，∴ = ，解得x = 24. ∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為24cm.

（3）說解法優(yōu)化

對(duì)于同一道題，從不同的角度去分析研究，長(zhǎng)此以往，當(dāng)學(xué)生遇到能用多種方法解答時(shí)，就會(huì)對(duì)各種解法的前景、計(jì)算繁簡(jiǎn)程度，作出正確的預(yù)測(cè)和判斷，進(jìn)而學(xué)會(huì)選擇“優(yōu)秀”的解法.

如本題可引導(dǎo)學(xué)生歸納出利用“合成法”建立方程求解，解法如下：

簡(jiǎn)解2 設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x cm，∵ DG∥BC，DE∥AH，∴ = ， = . ∴ + = + = 1，即 + = 1，解得x = 24. ∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為24 cm.

本題還可以引導(dǎo)學(xué)生利用“面積法”建立方程求解，解法如下：

簡(jiǎn)解3 設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x cm，則有DG = DE = x，AP = 40 - x. ∵ S△ABC = S△ADG + S梯形BCGD，∴ × 60 × 40 = x（40 - x） + x（60 - x），解得x = 24. ∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為24cm.

（4）說拓展延伸

對(duì)題目的條件、結(jié)論進(jìn)行一些變化，比如弱化某個(gè)條件、結(jié)論歸納出類型題，或改變某個(gè)條件、結(jié)論，或橫向、縱向拓展引申出一般規(guī)律等，那么，學(xué)生就不是解決一個(gè)問題，而是一串問題. 通過長(zhǎng)期的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力.

就上述例題而言，學(xué)生會(huì)得出以下變式：

① 由“一般圖形”向“特殊圖形”演變

變式1 如圖2，若把“△ABC”改為“Rt△ABC，∠C = 90°”，“高AH為40厘米”改為“AC = 40厘米”，其余條件和結(jié)論都不變，該題如何解？

這樣，除了用上述解法外，還能用“銳角三角比”來解，具體解法略.

變式2 已知△ABC是邊長(zhǎng)為60厘米的正三角形，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，求正方形DEFG的邊長(zhǎng).

② 由“特殊圖形”向“一般圖形”演變

該題中“△ABC”為一般圖形，因此，只能對(duì)“正方形DEFG”作一般化處理，將其改成其他多邊形.

變式3 如圖3，把“正方形DEFG”換成“矩形DEFG”，并增加條件“矩形DEFG的周長(zhǎng)為100厘米”，結(jié)論改為“求矩形DEFG的長(zhǎng)和寬”，該題又該如何解答？

解法同解法1.

也可把正方形變成滿足一定條件的直角梯形，或者正六邊形等.

而綜合性題目，由于條件和結(jié)論相對(duì)比較復(fù)雜，學(xué)生在審題上就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，解題的思路也較難得出，而這類題目的拓展延伸就顯得相當(dāng)困難. 因此，對(duì)于這類題目，重點(diǎn)讓學(xué)生說審題要點(diǎn)、解題思路和如何避免出錯(cuò).

例題呈現(xiàn) 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（，0），B（3，2），C（0，2），動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)E作EF上AB，交BC于點(diǎn)F，連接DA、DF.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AB∥DF？

（3）設(shè)四邊形AEFD的面積為S.

① 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

② 若一拋物線y = -x2 + mx經(jīng)過動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)S < 2時(shí)，求m的取值范圍（寫出答案即可）.

說題過程如下：

（1）說失分原因

① 大容量計(jì)算的嫻熟程度. 本小題的第（2）小題及第（3）小題的第①問的解析式，都涉及大容量計(jì)算.

② 考試中每一個(gè)細(xì)節(jié)的應(yīng)對(duì)速度. 平日多算者勝，少算者不勝是事實(shí).

③ 第（3）小題的第②問跳出了考前的常規(guī)操練，使思緒無法正確定位，在無法“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”時(shí)，對(duì)心理素質(zhì)也是一種考驗(yàn).

（2）說對(duì)策及解題策略

①加強(qiáng)“識(shí)圖”能力的培養(yǎng).

把圖形放入坐標(biāo)平面，典型的數(shù)形結(jié)合，如本題中，“識(shí)圖”能力強(qiáng)的話，能直接看出BC∥x軸，DE∥x軸，這樣，對(duì)整個(gè)解題方向的確立及減少運(yùn)算量都有極大的幫助.

② 加強(qiáng)大容量計(jì)算的訓(xùn)練.

特別是涉及變量多的計(jì)算、變形，平時(shí)不做大量練習(xí)的話，考試時(shí)，由于緊張，極容易造成“動(dòng)作”變形，犯低級(jí)錯(cuò)誤.

③ 加強(qiáng)特殊三角形中的邊角關(guān)系的計(jì)算及轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練.

如本題中的第（2）小題，多次涉及30°角的直角三角形，熟練這類三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，也能減少一定的運(yùn)算量.

④ 加強(qiáng)整體思想的培養(yǎng).

如本題第（3）小題的第1問，如圖5.

解法一 S = S△ADE + S△FDE

即S = DE·h2 + DE·h1

……

解法二 S = S梯形OABC - S△OAD - S△EBF - S△DFC

即S = 4 - t - BF·h3 - CF·CD.

……

無論用哪種解法，用整體思想后，運(yùn)算量都可減少.

⑤ 加強(qiáng)函數(shù)圖像與性質(zhì)的直觀理解.

本題第（3）題的第②問，在學(xué)生層面，由S < 2，可得0 < t < 1，拋物線y = - x2 + mx與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），（m，0），隨著t的增加，（m，0）點(diǎn)向右移動(dòng)，即m隨著t的增大而增大. 得出這個(gè)結(jié)論后，可用端點(diǎn)值代入得解.

另一種思路，把E（t + ，t）代入y = -x2 + mx，得-3（t + 1）2 + （t + 1）m = t，化簡(jiǎn)得：m = + （t + 1），當(dāng)t增大時(shí)，（t + 1）顯然增大， = ，顯然也是增大的，所以，m隨著t的增大而增大.

得出m = + （t + 1）后，還可這樣考慮的：

設(shè)0 < t1 < t2 < 1，

則m2 - m1 = + （t2 + 1） - - （t1 + 1） = + （t2 + 1） - （t1 + 1） = + （t2 - t1） > 0.

所以，m隨著t的增大而增大.

上述兩例說題實(shí)例，看似并沒有按完整的條理進(jìn)行，其實(shí)本質(zhì)是一樣的，按不同的題目，把需要討論交流的重點(diǎn)讓學(xué)生展現(xiàn)出來，收效頗豐.

三、學(xué)生說題的價(jià)值分析

“學(xué)生說題”，學(xué)生真正成了學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者. “學(xué)生說題”能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和自主獲取知識(shí)的能力，能充分挖掘出學(xué)生潛力. “學(xué)生說題”可以讓學(xué)生在相互交流中各抒己見，互獻(xiàn)智慧，在磨煉中探索、嘗試、驗(yàn)證，進(jìn)行思想方法的溝通，以達(dá)到集思廣益和突破創(chuàng)新的目的，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、創(chuàng)造性乃至批判性，開發(fā)學(xué)生的腦力資源，挖掘?qū)W生的潛在能力.

1. 突顯學(xué)生的主體作用. 民主、寬松的課堂氛圍是提高教學(xué)成效的關(guān)鍵. 在說題過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者，要讓學(xué)生在課堂教學(xué)中敢于表達(dá)自己的想法，說出對(duì)問題的理解與體驗(yàn)，營(yíng)造出了一個(gè)和諧的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生在寬松、融洽的氛圍中積極參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，從而激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)要求.

2. 豐富了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng). 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是人在先天生理基礎(chǔ)上通過后天嚴(yán)格的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)獲得的、融于身心中的一種比較穩(wěn)定的心理品質(zhì)，是對(duì)人當(dāng)前和未來生活有著重要影響的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì). 其發(fā)展性的特征要求我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，不能把目光僅僅著眼于學(xué)生機(jī)械記憶一些定理、法則，而是要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，發(fā)揮數(shù)學(xué)的價(jià)值，使學(xué)生具有識(shí)別問題、分析問題及其數(shù)學(xué)地解決問題的能力. 讓學(xué)生說題，正好使學(xué)生從機(jī)械的讀題解題中得到升華，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 教學(xué)效率的大幅提升. 通過學(xué)生說題這一模式，能在一定程度上改善以前“講一題，會(huì)一題”，甚至講了還不透徹的尷尬局面，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀性，以達(dá)到“講一題，會(huì)一串”的效果，極大地提高了教學(xué)效率.

4. 教師業(yè)務(wù)水平日益提高. 教學(xué)是一對(duì)矛盾，教和學(xué)是一對(duì)矛盾的兩個(gè)方面，它們是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系. 在教與學(xué)的矛盾關(guān)系中，學(xué)生是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主人，教學(xué)過程中教師的教只有以學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，才能取得預(yù)期的效果. 偉大教育家陶行知先生認(rèn)為，“教育是創(chuàng)造的事業(yè)，先生創(chuàng)造學(xué)生，學(xué)生創(chuàng)造老師，學(xué)生先生合作而創(chuàng)造出值得彼此崇拜的活人. 倘若創(chuàng)造出丑惡的活人，不但是所塑之像失敗，亦是合作塑像者之失敗”.

而“學(xué)生說題”這種開放式的教學(xué)不但有利于學(xué)生的成長(zhǎng)，同時(shí)也有利于老師的發(fā)展，因?yàn)楹美蠋熞彩菍W(xué)生教會(huì)的，好老師能從學(xué)生的不斷生成中獲得豐富的“營(yíng)養(yǎng)”.

總之，“學(xué)生說題”是教學(xué)實(shí)踐中提煉出來的一種新型的雙邊教學(xué)模式，它是學(xué)生擺脫題海、減負(fù)增效的有效手段，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和思維品質(zhì)大有益處. 通過學(xué)生說題，能更好地發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性、獨(dú)立性和創(chuàng)造性，讓數(shù)學(xué)課堂成為教師樂教、學(xué)生樂學(xué)的舞臺(tái).

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