季近仁

【摘要】 在初中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中明確指出學(xué)生通過(guò)對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的反思，獲得解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).反思性學(xué)習(xí)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尤為重要，而解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，將反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)融入現(xiàn)今數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的解題教學(xué)，從而引導(dǎo)學(xué)生自我反思，養(yǎng)成反思習(xí)慣，提高反思能力.

【關(guān)鍵詞】 反思；解題；學(xué)習(xí)

一、反思及反思性學(xué)習(xí)的概述

在西方研究中，杜賓斯基（Dubinsky）強(qiáng)調(diào)了反思作為一種數(shù)學(xué)理解的有效性.基爾帕特里克 （Kilpatrick）表明反思活動(dòng)在客觀意義上是從元觀點(diǎn)演變而來(lái)的.在我國(guó)的研究中，反思在當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)中屬于元認(rèn)知范疇，它是指對(duì)自身的思維過(guò)程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)和檢驗(yàn)的過(guò)程.

反思性學(xué)習(xí)是一種以學(xué)習(xí)為中心的自主學(xué)習(xí)、自我監(jiān)控和自我評(píng)估的學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)者對(duì)自己的思維過(guò)程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的檢驗(yàn)過(guò)程，體現(xiàn)了以人為本的理念.反思性學(xué)習(xí)是一種有效的學(xué)習(xí)方式，它的基本特征是探究性，即在考查學(xué)習(xí)活動(dòng)的經(jīng)歷中探究其中的問(wèn)題和答案，重新建構(gòu)自己的理解，從而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，使學(xué)習(xí)活動(dòng)變成一種有目標(biāo)、有策略的主動(dòng)行為.

二、解題教學(xué)中的反思性學(xué)習(xí)

在課堂教學(xué)中，解題教學(xué)不僅能幫助學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象認(rèn)識(shí)本質(zhì)，而且有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣.解題過(guò)程的反思實(shí)際上是解題學(xué)習(xí)的信息反饋調(diào)控階段，通過(guò)反思，有利于提高學(xué)生深層次的構(gòu)建.課堂解題教學(xué)的反思性學(xué)習(xí)主要體現(xiàn)在解題的一般化、特殊化和類(lèi)比.

1. 一般化思想的反思性學(xué)習(xí)

一般化是從對(duì)象的一個(gè)給定集合進(jìn)而考慮到包含這個(gè)給定集合的更大的集合.例如在解答后的反思中將題目的已知條件替換成一般形式，進(jìn)行了更廣泛的推廣，得到了更一般的結(jié)論，使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

例1 （1）通過(guò)計(jì)算比較下列各式中兩數(shù)的大?。海ㄌ睢?”、“<”或“=”）

①12 21，②23 32，③34 43，

④45 54，⑤56 65，……

（2）由（1）可以猜測(cè)nn+1與（n+1）n（n為正整數(shù)）的大小關(guān)系：當(dāng)n 時(shí)，nn+1 < （n + 1）n；當(dāng)n 時(shí)，nn+1 > （n + 1）n.

解析 第一小問(wèn)通過(guò)具體的數(shù)字來(lái)進(jìn)行計(jì)算，答案是①< ②< ③> ④> ⑤>，第二小問(wèn)將第一小問(wèn)的具體數(shù)字用抽象的字母n來(lái)代替，體現(xiàn)了一般化的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)對(duì)第一小問(wèn)的反思，進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納和總結(jié)，我們得到當(dāng)n = 1或2時(shí)，nn+1 < （n + 1）n；當(dāng)n > 2時(shí)，nn+1 > （n + 1）n.

（2）特殊化思想的反思性學(xué)習(xí)

特殊化是從對(duì)象的一個(gè)給定集合，轉(zhuǎn)而考慮包含在這集合內(nèi)的較小的集合.例如從多邊形轉(zhuǎn)而考慮正n邊形，從正n邊形轉(zhuǎn)而特別考慮等邊三角形.

例2 觀察：1·2·3·4 + 1 = 52

2·3·4·5 + 1 = 112

3·4·5·6 + 1 = 192

…

（1）請(qǐng)你用含n的數(shù)學(xué)式子表示第n個(gè)等式；

（2）根據(jù)（1），計(jì)算2006·2007·2008·2009 + 1的結(jié)果.（用一個(gè)最簡(jiǎn)式子表示）

解析 本題給出了幾組等式，這幾組等式有相似的格式，從格式中抽象出一般的情況（第一小問(wèn)）體現(xiàn)了一般化的思想方法，答案是n（n + 1）（n + 2）（n + 3） + 1 = [n（n + 3） + 1]2.在第一小問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思，發(fā)現(xiàn)第二小問(wèn)是對(duì)第一小問(wèn)的特殊化，將數(shù)值帶入第一小問(wèn)，就可以得到答案（2006 × 2009 + 1）2.

（3）類(lèi)比思想的反思性學(xué)習(xí)

類(lèi)比源自希臘文“analogia”，原意之一為比例.類(lèi)比是某種類(lèi)型的相似性，兩個(gè)系統(tǒng)可作類(lèi)比，如果他們各自部分之間，在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致的話(huà).例如，在平面上的一個(gè)三角形可與空間的一個(gè)四面體作類(lèi)比，一個(gè)三角形和一個(gè)棱錐也可以看作類(lèi)比的圖形.類(lèi)比思想的本質(zhì)就是相似性，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，類(lèi)比思想的反思性學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生得到與題目對(duì)象相似的另一對(duì)象的對(duì)應(yīng)結(jié)論.

例3：（1）如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O.

a）若∠A = 60°，求∠BOC的度數(shù).

b）若∠A = n°，則∠BOC = .

解析：b）小題相對(duì)于a）小題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想中的一般化思想，將題目條件中具體的數(shù)值用抽象字母代替，解題思路沒(méi)有太大的變化. a）小題答案是120°， b）小題答案是（90 + n） °

（2）如圖（2），在△A′B′C′中的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O′，∠A′ = 40°，求∠B′O′C′的度數(shù).

解析：第二小問(wèn)本身是第一小題的類(lèi)比，從第一小問(wèn)中已知條件的內(nèi)角平分線(xiàn)，變成了外角平分線(xiàn)，但是所給的角度是一個(gè)具體值，方便學(xué)生計(jì)算，答案是70°.在解答完本小問(wèn)后，仿照第一小問(wèn)的模式，我們通過(guò)反思可以把題目類(lèi)比改成：如圖（2），在△A′B′C′中的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O′，∠A′=n°，求∠B′O′C′的度數(shù).從而將題目推到了一般化的情況.答案是（90 - n） °.

我們注意到，我們討論了三角形兩個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)相交，兩個(gè)外角的平分線(xiàn)相交，反思一下，一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)和一個(gè)外角平分線(xiàn)相交的情況是什么呢？

數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)都是有聯(lián)系的，相似的，運(yùn)用類(lèi)比思想有利于舉一反三，得到相似對(duì)象的對(duì)應(yīng)結(jié)論，幫助學(xué)生以不變應(yīng)萬(wàn)變，提高解題技巧.

三、小 結(jié)

通過(guò)上述分析，可以看出反思性學(xué)習(xí)在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的地位舉足輕重，反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充分體現(xiàn)了新課程的理念，符合新課程的要求，有利于發(fā)展學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的反思能力，提高學(xué)生的綜合能力.