楊茸

摘 要：高等數(shù)學(xué)中的部分定義與定理具有高度抽象性，并且有很強的邏輯關(guān)系，教師不易教，學(xué)生不易學(xué)，以至于在教學(xué)中出現(xiàn)了教師對其進行大量的刪減，讓學(xué)生陷入了不明原理，只會“計算”的錯誤現(xiàn)象中。本文針對這種現(xiàn)象，對教學(xué)過程中抽象的定義與定理知識講解的處理進行了研究，提出了具體的方法與建議，讓學(xué)生體會真正數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 定義與定理 教學(xué) 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)能力

在現(xiàn)今很多領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)的身影無處不在，高等數(shù)學(xué)作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，有著極其重要的作用與地位。而在高職教育中，因為生源大多是來自技校或高考落榜的學(xué)生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，但高等數(shù)學(xué)中部分定義與定理內(nèi)容較抽象，不好理解，這對于授課的教師來講，是一個不好處理的難點，以至于在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，出現(xiàn)了“教師難教，學(xué)生難學(xué)”的現(xiàn)象。針對這一難點，很多數(shù)學(xué)教師在對這些抽象、不好理解內(nèi)容的處理時，進行了刪減，把大量的抽象的理論知識一句話帶過，甚至直接刪除，而把教學(xué)的重心完全放在了高等數(shù)學(xué)的計算方法與計算技巧上，以直接教會學(xué)生數(shù)學(xué)的計算為目的。這樣一種教學(xué)方法承接了一些中學(xué)的“應(yīng)試”教育，數(shù)學(xué)的潛在價值沒有真正體現(xiàn)出來，同時也違背了開設(shè)高等數(shù)學(xué)這門課程的初衷。

一、學(xué)習(xí)定義定理的重要性

1.教學(xué)大綱需要抽象的定義定理

高職高專的高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，明確地說明了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的：培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)來分析、解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和抽象的邏輯思維能力，訓(xùn)練他們用數(shù)學(xué)思想、概念、方法并結(jié)合自己的專業(yè)把所學(xué)理論和方法運用于實踐，為后續(xù)各課程的學(xué)習(xí)奠定較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，形成一定的數(shù)學(xué)思想。

從大綱可以看出，該課程除了使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識以外，更重要的是讓學(xué)生收獲能終生受益的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維，從而提高應(yīng)變能力與創(chuàng)新能力。由于很多數(shù)學(xué)思想都在這些抽象的定義與定理中有所體現(xiàn)，所以大量地刪減這些內(nèi)容，只注重于學(xué)生的解題方法的教學(xué)，不能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的真正價值，使學(xué)數(shù)學(xué)成了應(yīng)付期末考試的一種途徑。并且，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一旦結(jié)束，學(xué)生也將會把這門知識拋到九霄云外，這樣完全沒有形成教學(xué)大綱里提到的應(yīng)有的數(shù)學(xué)思想，也就更談不上應(yīng)變能力與創(chuàng)新能力的提高了。所以要滿足大綱的要求，學(xué)習(xí)抽象的定義定理必不可少。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力需要抽象的定義定理

雖然定義與定理知識較為抽象，但它對于學(xué)生數(shù)學(xué)意識的形成和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)起著舉足輕重的作用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的無外乎是要把現(xiàn)實中的問題抽絲剝繭，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)知識解決，也就是所謂的數(shù)學(xué)能力。關(guān)于抽象定義定理的學(xué)習(xí)，例如定理的證明，都有其具體的推理過程，對于這些推理過程的理解，可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴謹性，進而形成思考問題時思維的縝密性，以利于在對現(xiàn)實問題進行分析時，能準確無誤地將其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題；而對于這些定義定理知識的掌握，在一定程度上又培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，這也是在分析問題時必不可少的一種思維能力。正如一位大學(xué)老師所說：“學(xué)數(shù)學(xué)其真正目的是為了驅(qū)逐大腦中愚蠢的想法，讓我們的大腦真正地聰明起來?！?/p>

3.實際生活需要抽象的定義定理

很多抽象的定義定理知識，它的出發(fā)點就是實際生活的典型例子，例如常見的某一個變速物體的速度，學(xué)生覺得求這個隨時都在變化的速度成了一個不容易解決的難點，但從高等數(shù)學(xué)的角度來看，就是求變化率，也就是抽象的導(dǎo)數(shù)定義學(xué)習(xí)的切入點。所以對抽象定義定理知識的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生更加深刻地了解數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，并讓學(xué)生對現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象和過程進行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的思想，培養(yǎng)學(xué)生的實際應(yīng)用能力。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中定義定理知識的處理方法

不少數(shù)學(xué)教師反映，不是不想授課時強調(diào)這些定義與定理，只是因為它們太過抽象，講解的過程花費的時間長、精力多，但學(xué)生理解的效果還是不好，典型的“吃力不討好”。筆者多年擔(dān)任高級班高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，對于這些抽象的定義定理的處理有一些個人的看法，總的歸納為以下四個關(guān)鍵詞：引—化—啟—控。

1.“引”——引數(shù)學(xué)史，豐富內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)中很多定義定理知識抽象，讓學(xué)習(xí)的人容易身陷迷津，而數(shù)學(xué)史卻如指引方向的“路標(biāo)”，給人以啟迪。在課堂上教師適時適當(dāng)?shù)匾脭?shù)學(xué)史的知識作為補充和指導(dǎo)，能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，讓課堂內(nèi)容豐富起來。

例如在學(xué)習(xí)解析幾何時，教師給學(xué)生介紹解析幾何之父笛卡爾，以及他的經(jīng)典心形線的相關(guān)軼事，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)可以神奇地讓單調(diào)的式子變成美麗的圖形，并且體會到數(shù)學(xué)不是枯燥的，它也可以創(chuàng)造浪漫。這樣激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更好地理解了數(shù)學(xué)中的代數(shù)與幾何的緊密關(guān)系，為后續(xù)的解析幾何的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生了解知識的邏輯源頭，體會數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造思想，這為緊接著數(shù)學(xué)概念及定理的學(xué)習(xí)提供了必要的準備。

另一方面，數(shù)學(xué)史里記錄了很多數(shù)學(xué)家為了得出正確的定義與定理，如何排除萬難、歷盡艱辛的。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，除了了解定義與定理得出的過程，還會為數(shù)學(xué)家不畏艱辛、執(zhí)著追求真理的精神而感動，這將讓學(xué)生在精神層面上得到一次提升。

我們讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的歷史，能使那些看似抽象的定義、定理變得豐富生動起來。

2.“化”——化繁為簡，重視直觀

對于抽象、繁瑣的定義定理知識，為了能讓學(xué)生易于接受，教師只有把知識直觀化、簡單化。

如在講解微分這一概念時，可以從其字面意思上下工夫，舉例地球本是一個球體，其表面應(yīng)該是曲面的，可為什么我們站在地球上看到的大多卻是平面呢？答案是人肉眼看到的范圍同地球的表面相比，簡直是微不足道，也就是微分概念中的以直代曲的思想：曲面上微小的局部可以認為是一平面，一條曲線微小的部分也可以認為是直線。這樣就給學(xué)生提供了一個可以具體的想象的空間，使他們懂得用無數(shù)個簡單的平面代替復(fù)雜的曲面，利用微分這一數(shù)學(xué)概念解釋生活中的現(xiàn)象，加深了學(xué)生對這一概念的理解。又如對數(shù)列、函數(shù)極限概念的處理，教師可改變教材中的定義方式，注重直觀，采用通過畫數(shù)列或函數(shù)的幾何圖形，利用圖形直觀性的特點來解釋定義，從圖形中得到極限定義的本質(zhì)，讓學(xué)生對極限定義有了更準確的認識。

此外，我們通過多觀察實際生活中與數(shù)學(xué)有聯(lián)系的例子，把數(shù)學(xué)概念盡量與周圍實事聯(lián)系起來，讓學(xué)生能感覺數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，也便于理解。比如在講解定積分定義時，介紹美國著名麻省理工學(xué)院的圓形大禮堂，從外形看它的屋頂是一個巨大的不規(guī)則的半球，但實際上仔細看是由一個個近似矩形（曲邊梯形）的小玻璃窗構(gòu)成的，這個看似不容易求的表面面積，實際上就是定積分的基本概念——求曲線下面積的辦法，即“分割、近似代替、求和、取極限”，同時也巧妙地表明了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用無處不在。這樣使學(xué)生對抽象的定積分的定義，即求曲線下面積的方法加深了理解。

3.“啟”——啟發(fā)引導(dǎo)，自主討論

對于很多知識的掌握，學(xué)生自主探索要比教師一味灌輸要來得好。在教學(xué)時，教師選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容來安排討論課，通過合理有針對性的引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生分組討論，讓學(xué)生各抒己見，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識。

例如，微分中值定理的內(nèi)容抽象、內(nèi)容理論性強，對初學(xué)的學(xué)生是一個不容易處理的難點，如果單憑教師的講授，教學(xué)效果一定不好，這時可以選取一些難度適當(dāng)?shù)牡湫土?xí)題，把學(xué)生分成幾個小組，通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生按組自由討論。在思考討論過后，學(xué)生對微分中值定理中的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法有了深刻的印象，以此加深了對這一抽象定理的理解。同時，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言的表達能力也得到了提高，主動參與課堂的意識和創(chuàng)新的意識也得到了增強。

又如，在學(xué)習(xí)洛必達法則時，很多學(xué)生都知道這個法則的作用是求無窮大比無窮大或無窮小比無窮小的極限，卻并不理解它為什么會與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，是利用分別求導(dǎo)來解題的，但如果引導(dǎo)學(xué)生從無窮大增長的趨勢來進行分析，同時得到導(dǎo)數(shù)的定義其實就是與增長趨勢密切相關(guān)，問題就可以解決了，這就是洛必達法則的本質(zhì)所在。

采用教師啟發(fā)引導(dǎo)和學(xué)生自主討論相結(jié)合的教學(xué)方法，可以讓學(xué)生在討論探索中發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，體會到發(fā)現(xiàn)的快樂，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也增加了學(xué)生克服困難的信心。

4.“控”——掌控有度，注重嚴謹

數(shù)學(xué)課不同于其他課程，其嚴謹性非常強，教師在支持學(xué)生發(fā)揮自己的想象力的同時，要注重掌控好想象的“度”。一些教師為了讓課堂更加活躍與生動，讓學(xué)生漫無邊際地發(fā)揮自己的想象力，對一些理論知識的理解學(xué)生想怎樣解釋就怎樣解釋，這樣的結(jié)果必定是歪曲了知識的本意。所以在課堂上，對于學(xué)生的思考學(xué)習(xí)，首先教師要有正確的引導(dǎo)方向，并且要適時糾正一些學(xué)生錯誤的偏離事實軌跡的想法。

比如學(xué)生在學(xué)習(xí)極限時，對于其中的一個零比零的極限類型，學(xué)生誤認為高等數(shù)學(xué)里的分式的分母是可以等于零的，這時應(yīng)強調(diào)此時出現(xiàn)的零是在某一條件下一個趨于接近的結(jié)果，并非真正等于零，強調(diào)出極限的定義，突出語言表達上的嚴謹性。

三、小結(jié)

大量的實踐證明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師的作用是十分重要的，我們不能為了追求教學(xué)上的所謂教學(xué)效果而忽視了數(shù)學(xué)教育的本來意義。數(shù)學(xué)的影響不是一蹴而就的，而是潛移默化的；數(shù)學(xué)的精神、思想和方法是數(shù)學(xué)教育的根本目的。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，真正理解教學(xué)大綱的具體要求和目的，注重各方面的理論知識的教學(xué)，把學(xué)生從做題、解題的“題海”中解放出來，讓數(shù)學(xué)的精神、思想和方法成為他們關(guān)注的對象，并且能努力提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成勤于思考的習(xí)慣，增強自身的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，真正體會到數(shù)學(xué)的實際價值，為今后的可持續(xù)發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)，這才是我們每一個數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)該做的事。

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（作者單位：廣東省江門市技師學(xué)院）