嚴(yán)紅芳

[摘 要] 數(shù)形結(jié)合的基本思想就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化. 筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從“概念教學(xué)”“解題教學(xué)”中剖析了“以形建數(shù)”“用形輔數(shù)”對(duì)學(xué)生掌握概念、理解題意的作用.

[關(guān)鍵詞] 思想方法；數(shù)形結(jié)合；圖象

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果. 幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”. 數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以互相轉(zhuǎn)化，互相滲透.

“以形建數(shù)”滲透概念教學(xué)

初中數(shù)學(xué)中真正引入“形”，應(yīng)該是從數(shù)軸開(kāi)始的. 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸. 在原點(diǎn)的右邊標(biāo)上正數(shù)，原點(diǎn)的左邊標(biāo)上負(fù)數(shù)，從而初步建立了有理數(shù)和數(shù)軸的關(guān)聯(lián)，在學(xué)生頭腦中初步形成“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如圖1）. 隨著知識(shí)的擴(kuò)充，會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)也能在數(shù)軸上找到它的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

例如：在數(shù)軸上找出表示“”的點(diǎn)（如圖2）

以一個(gè)單位為邊長(zhǎng)畫(huà)一個(gè)正方形，以原點(diǎn)為圓心，以正方形對(duì)角線為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)即為. 直觀地讓學(xué)生體會(huì)到無(wú)理數(shù)也能在數(shù)軸上找到它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而把實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

在數(shù)軸的基礎(chǔ)上引入了平面直角坐標(biāo)系：在平面上畫(huà)兩條原點(diǎn)重合、互相垂直且具有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸. 建立了平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 完善了學(xué)生頭腦中的知識(shí)體系，讓學(xué)生在形中更好地掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的含義. 例如P（3，2）和Q（2，3）是不同的兩個(gè)點(diǎn)，它們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中位的置是完全不同的（如圖3）.

“用形輔數(shù)”融入解題教學(xué)

（一）“用形輔數(shù)”加深理解題意，輕松舉一反三

例1 （2012甘肅蘭州） 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖4所示. 若ax2+bx+c=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）

A. k<-3 B. k>-3

C. k<3 D. k>3

此題限于已知條件的有限，若從方程角度考慮會(huì)感到無(wú)從入手，從函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)考慮就豁然開(kāi)朗. 首先畫(huà)出y=ax2+bx+c的圖象（如圖5）

根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且k≠0的條件，只要找到y(tǒng)=ax2+bx+c的圖象與y=k的交點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)對(duì)應(yīng)的k的取值范圍，即k>3. 用這樣的“形”來(lái)幫助學(xué)生理解“數(shù)”，更能起到“事半功倍”的效果. 約60%的學(xué)生是可以理解并能做一定的延伸與遷移的，這時(shí)教師可繼續(xù)深化：寫(xiě)出ax2+bx+c=k（k≠0）的根的情況和k的取值范圍. 經(jīng)過(guò)師生交流，生生討論可以總結(jié)出：①當(dāng)k>3或k=0時(shí)，y=ax2+bx+c的圖象與y=k有2個(gè)交點(diǎn)，故ax2+bx+c=k有2個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)k<0時(shí)，y=ax2+bx+c的圖象與y=k沒(méi)有交點(diǎn)，故ax2+bx+c=k沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)0

④當(dāng)k=3時(shí)，y=ax2+bx+c的圖象與y=k有3個(gè)交點(diǎn)，故ax2+bx+c=k有3個(gè)實(shí)數(shù)根。

通過(guò)這樣的總結(jié)，學(xué)生對(duì)本題有了全面透徹的理解，會(huì)覺(jué)得很有成就感，很想小試牛刀一下，成功提高了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，長(zhǎng)此以往會(huì)進(jìn)入一個(gè)良性循環(huán)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中讓學(xué)生形成一種善于思考問(wèn)題本質(zhì)的意識(shí)，而不是就事論事，淺嘗輒止.

遷移延伸：二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖象如圖6所示，將其在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，結(jié)合圖象寫(xiě)出當(dāng)直線y=x+n與這個(gè)新圖象恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍為_(kāi)_____.

按照題意得到的新圖象為（圖7），把y=x作平移得y=x+1與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，y=x-4與新圖象有1個(gè)公共點(diǎn)，在這個(gè)范圍之間滿足2個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足條件的一個(gè)范圍是-45. 通過(guò)這樣分析圖象來(lái)找答案學(xué)生還是比較能夠接受、理解并掌握的，多次有意識(shí)地訓(xùn)練后學(xué)生是能夠?qū)⒋朔椒ㄟw移到其他類似的問(wèn)題中去的.

（二）“用形輔數(shù)”拓展解題思路，發(fā)展求異思維

例2 一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0） ，B（0，2） ，求不等式kx+b>0的解集.

方法一（數(shù)的方法）：用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式為y=x+2，計(jì)算不等式x+2>0，解得x>-2即為所求解集.

方法二（形的方法）：根據(jù)A，B兩點(diǎn)畫(huà)出直線y=kx+b的圖象，根據(jù)圖象找出 x軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即為所求解集.

例3 （2013淄博）若m為任意實(shí)數(shù)，則點(diǎn)P（m-4，m+1）一定不在第________象限.

方法一（推理分析）：因?yàn)闊o(wú)論m取何值m-4總比m+1小即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)總比縱坐標(biāo)小，所以一定不會(huì)在第四象限.

方法二（利用圖象）：通過(guò)m的不同取值可以發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大5，因此若橫坐標(biāo)設(shè)為x，則縱坐標(biāo)為x+5，所以點(diǎn)P在直線y=x+5上（如圖9）. 顯然點(diǎn)P一定不在第四象限，掌握此方法，這類看似棘手的問(wèn)題就迎刃而解了.