◎福建省福州市潘墩中心小學(xué) 陳 嚴(yán)

方程才露尖尖角 早有思想立上頭
——新人教版五年級數(shù)學(xué)滲透方程思想的思考

◎福建省福州市潘墩中心小學(xué) 陳 嚴(yán)

小學(xué)五年級即兒童進(jìn)入形式運(yùn)算階段的轉(zhuǎn)折期，滲透方程思想符合兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。新人教版《簡易方程》單元的改版著眼于化解難點(diǎn)，滲透方程思想。在課堂教學(xué)實(shí)踐中采用比喻生動(dòng)教學(xué)、圖示法、引導(dǎo)順向思維等策略，幫助學(xué)生構(gòu)建方程模型，提高學(xué)生解決問題的能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)；方程思想；改版思考；實(shí)踐策略

史寧中教授曾在一次訪談中指出方程思想的核心體現(xiàn)在建模思想和化歸思想。方程思想是對方程概念本質(zhì)的認(rèn)識，是對方程解決問題的應(yīng)用，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系來構(gòu)建方程或方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題的重要數(shù)學(xué)思想方法。心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，兒童進(jìn)入十一二歲之后即進(jìn)入形式運(yùn)算階段，與具體運(yùn)算階段相比，該時(shí)期的思維更具靈活性、系統(tǒng)性和抽象性。小學(xué)五年級即兒童進(jìn)入形式運(yùn)算階段的轉(zhuǎn)折期，學(xué)生具備從直觀具體的四則運(yùn)算抽象出符號運(yùn)算的能力，從形象思維過渡到抽象思維，能夠理解并應(yīng)用方程來表示數(shù)與數(shù)量關(guān)系。

新人教版數(shù)學(xué)第九冊第五單元《簡易方程》的改版，注重滲透方程思想，遵循兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。我們需要重新認(rèn)識教材，用好教材，滲透方程思想，以提高學(xué)生解決問題的能力。

一、對于《簡易方程》單元改版的思考

1.滲透方程思想新增內(nèi)容

（1）例題出現(xiàn)字母式的運(yùn)算

新人教版數(shù)學(xué)第九冊第59頁例5用小棒擺圖形的例題中，新增加了字母式的運(yùn)算。通過計(jì)算x個(gè)三角形和x個(gè)正方形一共需要多少根小棒的問題，思考如何表示小棒總數(shù)。用代數(shù)式表示某種量是方程解決問題的基本能力。將三角形和正方形的未知數(shù)量x當(dāng)作一個(gè)已知數(shù)，則3x+4x表示小棒總數(shù)，也可將一個(gè)三角形和一個(gè)正方形看成一組，表達(dá)式為（3+4）x。教師先肯定學(xué)生的兩種思考，進(jìn)一步追問兩個(gè)表達(dá)式都表示小棒總數(shù)，它們有什么聯(lián)系？學(xué)生通過觀察得出乘法分配率同樣適用于代數(shù)式的計(jì)算化簡，并意識到化簡后的代數(shù)式更簡便。在后續(xù)的代數(shù)學(xué)習(xí)中，遇到類似的字母表達(dá)式，學(xué)生能主動(dòng)運(yùn)用同類項(xiàng)合并的方法化簡代數(shù)式。

（2）等式性質(zhì)為依據(jù)的解方程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提到“第二學(xué)段目標(biāo)掌握用方程表示簡單的數(shù)量關(guān)系、解簡單方程的方法。”教材中解方程章節(jié)最突出的主線是以等式的基本性質(zhì)為解方程的依據(jù)，以往運(yùn)用四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系去解方程屬逆運(yùn)算范疇，根據(jù)等式性質(zhì)解方程屬于順向思維，學(xué)生容易理解、懂得應(yīng)用，該方法與中學(xué)學(xué)習(xí)的解方程一致，有利于中小銜接。

在解方程部分，區(qū)別于舊版教材的是第68頁例3“20-x=9”，“做一做”中“2.1÷x=3”出現(xiàn)減數(shù)、除數(shù)為未知數(shù)的解方程。看似比運(yùn)用四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系解方程在步驟上更繁雜些，但順向思維解方程有利于幫助學(xué)生構(gòu)建順向思維的方程模型。

2.例題練習(xí)中隱含的數(shù)學(xué)思想方法

新人教版數(shù)學(xué)第九冊第五單元《簡易方程》例題呈現(xiàn)時(shí)配合大量情境圖，有利于學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。學(xué)生可以借助例題和練習(xí)中配備的實(shí)物圖形與幾何直觀，找到圖示中的等量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來列方程。

教材提供豐富的例題幫助學(xué)生構(gòu)建多種數(shù)學(xué)模型，并在應(yīng)用過程中體會(huì)方程思想的優(yōu)越性。如和倍差倍問題在以往屬于較難解決的數(shù)學(xué)問題，將一倍量設(shè)為未知數(shù)x，則另一個(gè)多倍量為含有x的字母表達(dá)式，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程求解。學(xué)生認(rèn)識到順向思維容易把文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言來表達(dá)。

二、課堂實(shí)踐滲透方程思想的策略

1.善用比喻助于理解方程思想

比喻手法不僅用于寫作的修辭中，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常用到，且拉進(jìn)學(xué)生與知識的距離。在《用字母表示數(shù)》的第一課時(shí)，如何幫助學(xué)生從數(shù)抽象到字母和符號。在教學(xué)例1出示“小紅的爸爸比小紅大30歲”這一已知條件時(shí)，學(xué)生猜想小紅和爸爸的年齡并舉例，發(fā)現(xiàn)逐一表示有困難，引發(fā)簡便表達(dá)的需求。把小紅的年齡比喻成一個(gè)變化的魔方，那么爸爸的年齡就是這個(gè)魔方+30的結(jié)果。學(xué)生可以用喜歡的方式來表示這個(gè)魔方。魔方具有替代任意數(shù)的魔力，字母就是這個(gè)魔方。學(xué)生在快樂學(xué)習(xí)中理解用字母表示數(shù)的意義與內(nèi)涵。

稍復(fù)雜的方程如何運(yùn)用等式性質(zhì)求解，對于部分學(xué)習(xí)困難的學(xué)生容易造成混淆。課堂上教師善用比喻，幫助學(xué)生理清解方程的步驟，把誰看作整體。如“3x+4=40”的方程中，把x比喻成自己，包裹著襯衫和外套，要睡覺了怎樣脫衣就寢呢？“乘3”緊貼著自己，比喻成襯衫，“加4”看成外套，明確先脫外套再脫襯衫的順序解方程。同理在“2（x-16）=8”的方程中，括號里的“減16”看成襯衫，括號外的“乘2”看成外套，這個(gè)方程就迎刃而解了，學(xué)生按照由外到內(nèi)“脫衣服”的辦法解決許多復(fù)雜的方程。

2.善用圖示助于挖掘等量關(guān)系

在教材例題練習(xí)中隨處可見的圖例圖示，提示教與學(xué)要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來幫助構(gòu)建方程模型。引導(dǎo)學(xué)生讀懂題意，并將題意轉(zhuǎn)化為直觀的線段圖幫助分析。如第79頁“做一做”中“果園里杏樹的棵樹是桃樹的3倍，①桃樹和杏樹一共有180棵，它們各有多少棵？②杏樹比桃樹多90棵，它們各有多少棵？”，利用線段圖表示出桃樹和杏樹的倍數(shù)關(guān)系，不論解決和倍還是差倍的問題，都能在線段圖中一目了然。又如相遇問題，可以讓學(xué)生自主畫圖理解題意，從自己畫的圖中找等量關(guān)系，再與教材中的圖示作對比，分析優(yōu)劣。學(xué)生不斷經(jīng)歷數(shù)到形、形到數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，感悟方程思想的優(yōu)勢，學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用方程解決問題也就水到渠成了。

3.順向思維助于建構(gòu)方程模型

學(xué)生在建構(gòu)方程模型的過程中，算術(shù)解的經(jīng)驗(yàn)在一定程度上阻礙著學(xué)生對方程思想方法的理解和應(yīng)用。如已知總價(jià)與數(shù)量求單價(jià)時(shí)，部分學(xué)生條件反射般地想到“總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)”，發(fā)現(xiàn)單價(jià)是未知數(shù)x不能這樣列方程時(shí)，草率地列出“總價(jià)÷x=數(shù)量”。在方程解決問題時(shí)應(yīng)優(yōu)先順向思考，運(yùn)用“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”的數(shù)量關(guān)系模型列方程，幫助學(xué)生從以往的算術(shù)解思維轉(zhuǎn)變?yōu)樵O(shè)未知為已知的順向思維。

為了更好地幫助學(xué)生感受方程順向思維的特點(diǎn)，還可以進(jìn)行順逆問題的對比練習(xí)。如：“下面各組題你覺得哪一題適合用方程解答？A1：長方形墊板長是20厘米，寬是15厘米，面積是多少平方厘米？A2：長方形墊板面積是300平方厘米，長是20厘米，寬是多少厘米？B1：學(xué)校采購白色粉筆100盒，是彩色粉筆的2倍，彩色粉筆有多少盒？B2：學(xué)校采購白色粉筆100盒，彩色粉筆是白色粉筆的2倍，彩色粉筆有多少盒？”學(xué)生感悟到應(yīng)用基本的數(shù)量關(guān)系模型列方程來解決逆向問題更簡便。

運(yùn)用方程思想解決問題是動(dòng)中求靜，通過設(shè)元，化未知為已知，在變化的數(shù)量關(guān)系中尋找不變的等量關(guān)系。滲透方程思想培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力首先要培養(yǎng)學(xué)生正確列方程的能力，要善于分析題中的已知條件，尋找等量關(guān)系。其次要培養(yǎng)學(xué)生用方程解決問題的意識，要靠平時(shí)學(xué)習(xí)中不斷積累用方程思想解題的方法，樹立迎難而上的精神。再者要善于舉一反三，同一類型的問題利用知識遷移幫助分析思考。滲透方程思想就是滲透函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)方程組、函數(shù)、不等式的關(guān)系等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)，能自覺運(yùn)用方程思想。

總之，用好新人教版教材，要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，《簡易方程》單元的教學(xué)并不僅是引導(dǎo)學(xué)生解決問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，更重要的是學(xué)生領(lǐng)悟到方程思想的意義和優(yōu)勢，內(nèi)化為將來解決問題的策略和途徑。

陳志華）