李 昕

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

一個(gè)古老的問(wèn)題：“數(shù)學(xué)究竟屬于藝術(shù)還是科學(xué)？”目前無(wú)人能給出二選一的答案。因?yàn)閿?shù)學(xué)本身既是科學(xué)也是藝術(shù)。美學(xué)的四大構(gòu)件是史詩(shī)、音樂(lè)、造型（繪畫(huà)，建筑等）和數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)固有的優(yōu)美——柏拉圖固體的正五面體和美麗的分形圖等，并不遜色于金字塔、莫扎特、達(dá)·芬奇的著作[1]。然而最近，國(guó)內(nèi)某知名娛樂(lè)節(jié)目做了一項(xiàng)大學(xué)生推薦“禁書(shū)”調(diào)查問(wèn)卷，結(jié)果出人意料，80%的被調(diào)查學(xué)生竟選擇了《高等數(shù)學(xué)》。這雖屬娛樂(lè)，但也不禁令人深思，為什么會(huì)有那么多人對(duì)高等數(shù)學(xué)存在誤解。現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材版本很多，但內(nèi)容基本一致。教材內(nèi)容缺乏數(shù)學(xué)文化，更別提趣味知識(shí)了，這是目前教材存在的不可回避的問(wèn)題，這也導(dǎo)致很多學(xué)生覺(jué)得高等數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味、高不可攀。針對(duì)這種狀況，筆者認(rèn)為高校教師要挖掘高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美，這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量的重要途徑，同時(shí)也是啟迪悟性、挖掘潛能、創(chuàng)造新知的有效途徑。

極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，高等數(shù)學(xué)中提到兩個(gè)重要極限應(yīng)用非常廣泛，分別為第一個(gè)重要極限在各個(gè)版本的教材中都有充分的敘述，本文從第二個(gè)重要極限入手，闡述高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美。

一、重要極限的由來(lái)、內(nèi)容

第二個(gè)重要極限的由來(lái)，要從金融問(wèn)題連續(xù)復(fù)利說(shuō)起[2]。假設(shè)某銀行年利率r（為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取r=1），實(shí)行復(fù)利計(jì)算存款利息（即每個(gè)存款周期的利潤(rùn)自動(dòng)計(jì)入下次存入的本金計(jì)算利息）。某顧客在該銀 行 存 入 P0元 ，一 年 后 的 收 益 為

如果將一年平均分成n個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段計(jì)一次利息，那么一年后該顧客的收益為

事實(shí)上沒(méi)有哪家銀行會(huì)這樣做，但它卻給數(shù)學(xué)家們提供了研究思路。數(shù)學(xué)家將其抽象出來(lái)，并給出嚴(yán)格的證明，這為以后的應(yīng)用提供了完美的保障。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家Don Zagier所提到的，數(shù)學(xué)思想其實(shí)是對(duì)結(jié)構(gòu)的一般性研究，而不是對(duì)預(yù)先指定的對(duì)象的個(gè)別研究。這些對(duì)象究竟位于何處，是內(nèi)在的還是外在的，主觀的還是客觀的，僅僅出現(xiàn)在我們的腦海中還是存在于現(xiàn)實(shí)世界的某個(gè)地方？換句話說(shuō)，數(shù)學(xué)思想本身已經(jīng)很美妙，數(shù)學(xué)家們?cè)诎l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的同時(shí)，也在創(chuàng)造數(shù)學(xué)。

二、高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美

從第二個(gè)重要極限體現(xiàn)的數(shù)學(xué)美來(lái)看，高等數(shù)學(xué)的美是內(nèi)斂的、隱蔽的、深邃的，需要我們悉心挖掘和細(xì)細(xì)品味。

（一）嚴(yán)謹(jǐn)美、抽象美

美國(guó)學(xué)者懷爾德把抽象作為11種數(shù)學(xué)發(fā)展動(dòng)力中的一個(gè)。生活中許多事情經(jīng)過(guò)有限次的實(shí)驗(yàn)，我們也能得到接近真理的結(jié)論，正如上述重要極限一樣。當(dāng)n取足夠多、足夠大的值時(shí)，我們能直觀地看到數(shù)列無(wú)限趨于無(wú)理數(shù)e。然而數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不會(huì)滿足于此。將這一金融問(wèn)題抽象為數(shù)列極限問(wèn)題，利用單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則，并結(jié)合二項(xiàng)式定理，數(shù)學(xué)家給出了完美的證明過(guò)程，證明的過(guò)程都是言必有據(jù)，一步緊扣一步，嚴(yán)密準(zhǔn)確的。從中我們不難看到，數(shù)學(xué)源于生活、生產(chǎn)實(shí)踐，是從生活、生產(chǎn)中抽象出來(lái)的，任何一個(gè)數(shù)學(xué)的定義、定理都是經(jīng)過(guò)不斷被補(bǔ)充、完善和總結(jié)而得到的，是人類(lèi)智慧的結(jié)晶。同樣，牛頓和萊布尼茨把幾何中平面曲線的斜率、曲邊梯形的表面積、曲頂柱體的體積以及物理學(xué)中的變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等具體問(wèn)題抽象為導(dǎo)數(shù)與定積分的概念，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，通過(guò)純粹的數(shù)學(xué)量與量的變化關(guān)系進(jìn)行了一系列推導(dǎo)和驗(yàn)算，得到了工業(yè)革命不可缺少的奠基性的理論基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中，人們依靠抽象和想象建立起一個(gè)宏偉無(wú)比而又十分精巧的“數(shù)學(xué)世界”。在抽象的世界里，點(diǎn)沒(méi)有大小，線沒(méi)有寬度，而沒(méi)有厚度堆積的石子和成捆的樹(shù)枝都可以表示數(shù)量關(guān)系。通過(guò)抽象和概括后的分析推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有客觀事物的任何本質(zhì)屬性，也正因此所得到的結(jié)果適用于一切具有共同前提的所有問(wèn)題中，這正是高等數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)美、抽象美的特點(diǎn)。

（二）簡(jiǎn)潔美、符號(hào)美

數(shù)學(xué)家狄德羅曾指出“數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題是指一個(gè)難以解決的問(wèn)題，所謂美的解答則是指一個(gè)困難、復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單回答”[3]。利用第二個(gè)重要極限解決那個(gè)令人充滿無(wú)限想象力的金融問(wèn)題，正體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。在數(shù)學(xué)中，我們總希望一個(gè)公式的表達(dá)式盡可能簡(jiǎn)單扼要，命題的證明盡可能簡(jiǎn)潔。而數(shù)學(xué)符號(hào)能節(jié)省人們的思維，因此人們?cè)诎l(fā)明數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程中也是用心良苦。表達(dá)式用最簡(jiǎn)單的方式提示連續(xù)復(fù)利的儲(chǔ)蓄問(wèn)題的量及其關(guān)系，這種簡(jiǎn)潔不是貧乏和膚淺，而是充實(shí)和深?yuàn)W。有了它，我們可以脫離客觀事物本身去研究單純的數(shù)量關(guān)系。極限的定義（ε-δ語(yǔ)言）只有簡(jiǎn)短的四句話，卻深刻、準(zhǔn)確地表達(dá)出極限的內(nèi)涵；定積分符號(hào)∫a

bf(x)dx將和式極限表述完美簡(jiǎn)單，將曲邊梯形的面積、曲線弧長(zhǎng)等冗長(zhǎng)的問(wèn)題表述明了化。高等數(shù)學(xué)中處處顯示出數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，不禁讓人想起歐幾里得的《幾何原本》這樣一部具有偉大意義的巨著，僅從5個(gè)公式和5個(gè)定理出發(fā)，可以證明出一些簡(jiǎn)單的定理，而這些簡(jiǎn)單的定理就是那些更深?yuàn)W的定理的基石。這樣，一個(gè)精密的幾何體系就一點(diǎn)點(diǎn)建立起來(lái)了。雖然深?yuàn)W的定理不能立刻得到很簡(jiǎn)單的證明，但是無(wú)論如何復(fù)雜的定理，都不過(guò)是由一系列簡(jiǎn)單的演繹論證組成的。數(shù)學(xué)正是用這最簡(jiǎn)單的形式表示出最復(fù)雜的理論，簡(jiǎn)潔卻不簡(jiǎn)單，給我們心靈帶來(lái)很大的震撼。

（三）統(tǒng)一美、應(yīng)用美

畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)過(guò)：凡是美的東西都有一個(gè)共同特征，即部分與部分之間，以及部分與整體間固有的協(xié)調(diào)一致。這種協(xié)調(diào)一致就是統(tǒng)一性，它給人一種整體和諧的美感。之所以稱為重要極限，是因?yàn)槠湓诟叩葦?shù)學(xué)求極限問(wèn)題中有重要應(yīng)用，且應(yīng)用靈活、廣泛。不失一般性，將n用一般的數(shù)學(xué)變量 x來(lái)代替，這一公式的應(yīng)用范圍更加廣泛。遵循其內(nèi)在的邏輯性，重要極限也可以寫(xiě)成無(wú)論形式如何變換，確定自變量變化趨勢(shì)后，若被求極限的函數(shù)是(1)∞型，都可利用這一重要極限的結(jié)論來(lái)計(jì)算。如求極限借用重要極限結(jié)論可得=e2。我們所俗稱的(1)∞型函數(shù)極限都可以利用第二個(gè)重要極限統(tǒng)一求得結(jié)論。無(wú)論是曲邊梯形面積，還是旋轉(zhuǎn)體的體積，無(wú)論是變力做功路程問(wèn)題，還是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題，我們都可以統(tǒng)一應(yīng)用定積分來(lái)解決。而這些知識(shí)帶給我們的美妙感覺(jué)也只是高等數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美的一角。高等數(shù)學(xué)中處處充滿著統(tǒng)一美，它為人們展示了富有哲理的思維美，一些表面上看起來(lái)不相同的概念定理、法則，在一定的條件下可以處于統(tǒng)一體中[4]。這種美讓我們想起素?cái)?shù)理論，想起拉東變換，想起“模糊數(shù)學(xué)”：素?cái)?shù)理論為電子銀行的密碼學(xué)提供了新方法，拉東變換為X線斷層攝影術(shù)提供了基礎(chǔ)，而所謂“模糊數(shù)學(xué)”可以讓洗衣機(jī)變得沒(méi)有噪音，也可以使坐在高速列車(chē)上的乘客在列車(chē)拐彎時(shí)喝咖啡不會(huì)溢出。

總之，數(shù)學(xué)這門(mén)藝術(shù)中所涉及到的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)并不一定是視覺(jué)上的漂亮，但也確是客觀存在的，且具有無(wú)窮的魅力。它將雜亂整理為有序、經(jīng)驗(yàn)升華為規(guī)律，它所表現(xiàn)出來(lái)的那種抽象、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美是絢麗多彩、美不勝收的。有些學(xué)生之所以認(rèn)為高等數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，也只是對(duì)數(shù)學(xué)美缺乏體驗(yàn)的緣故。作為數(shù)學(xué)教師不僅要考慮教什么、教多少，更應(yīng)該不斷提高自己的學(xué)術(shù)水平，增強(qiáng)自身對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞能力，悉心挖掘高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美。并在教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地揭示這種美，并更好的理解教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)并欣賞這種美，從而化被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)求知，身心愉悅地學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)。

[1]林開(kāi)亮.數(shù)學(xué)之戀[J].數(shù)學(xué)文化，2014，5（4）：99-104.

[2]郭鏡明，韓云端，章棟恩，等.美國(guó)微積分教材精粹選編[M].北京：高等教育出版社，2012：2-8.

[3]臧運(yùn)華.探討在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)美的教育[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，27（5）：137-138.

[4]李輝來(lái)，袁緣.關(guān)于高等學(xué)校數(shù)學(xué)文化教育的若干思考[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33（1）：20-23.