朱樂平 浙江省特級教師，中學高級教師?！稊?shù)學課程標準》（實驗稿）研制組核心成員，浙教版數(shù)學教材副主編，浙江省基礎教育課程改革專家工作組成員，浙江省小學數(shù)學教學研究會副會長，杭州市小學數(shù)學教學研究會會長，杭州師范大學兼職碩士研究生導師。

當通向目標的路只有一條時，人們無法比較路的近遠。當有人提供一條新路后，才有了比較的機會。我們可以不認同那條新的路，但對于提供新路的人，應該永遠心懷感激。同樣，成為一名好的數(shù)學教師，可以是人生的一個目標，或許這個目標不能與生命同生，但可以追求與生命共存！

香港自從1997年回歸祖國后，與大陸的交流越來越多，使得我們有機會更多地了解香港，了解香港的小學數(shù)學教學。香港比較早就開始實施“一綱多本”，多種不同版本的教材為香港的學校選擇提供了方便。本文試圖對香港的小學數(shù)學教材中“圓的認識”部分進行縱向比較。

一、選取哪些教材進行比較

本文選取兩種教材進行比較。它們分別是現(xiàn)代教育研究社有限公司出版的《現(xiàn)代數(shù)學》，1985年初版，1988年第二版（以下簡稱1985年教材）；新亞洲出版社有限公司出版的《小學數(shù)學》，2003年初版，2006年修訂（以下簡稱2003年教材）。兩種教材都是六年制教材。（特別說明，這是兩種不同的出版社在不同時期的教材，所以，下面的比較不反映教材編者與出版社的水平，而是客觀地就這兩套教材的編寫作比較研究。）筆者充分相信《現(xiàn)代數(shù)學》的最新版本也一定會有很多變化，遺憾的是筆者沒有這套教材在新世紀的版本。

二、兩種不同時期的教材把“圓的認識”的教學，安排在哪一年級

1985年的教材把“圓的認識”這一教學內(nèi)容安排在五年級下學期，即第十冊進行教學；2003年的教材是在六年級上學期學習“圓的認識”。1985年的教材是根據(jù)1983年頒布的《小學數(shù)學課程綱要》編寫的，2003年的教材是根據(jù)2000年頒布的香港課程發(fā)展議會的《小學數(shù)學教育學習領域——數(shù)學課程指引（小一至小六）》編寫的。

三、“圓的認識”這一內(nèi)容兩種教材分別是按照怎樣的順序進行編寫的，即教材的結(jié)構(gòu)是怎樣的

對“圓的認識”這一內(nèi)容進行編寫時，會涉及畫圓、圓的各部分名稱、圓的特征等內(nèi)容，教材的編者認為怎樣的學習順序?qū)W生是有利的，就會有怎樣的編寫結(jié)構(gòu)。

1985年的教材的編寫順序如下：（1）畫圓，分為用其他的物體畫圓和用圓規(guī)畫圓。（2）先剪一個圓并對折，然后給出圓心、圓周、直徑、半徑等概念。（3）練習鞏固圓心、半徑與直徑的概念，并給出半徑與直徑的關系。（4）度量圓內(nèi)的線段，并給出直徑是圓內(nèi)最長的線段。（5）模仿畫圖。教材給出圖案，讓學生模仿畫圖，畫四個同心圓和三個半徑相等的圓。（6）給圖形涂色并設計圖案。（7）練習題。

2003年的教材把“圓的認識”分成兩部分編寫，分別是“圓的認識（一）”與“圓的認識（二）”。兩部分各有側(cè)重點。

“圓的認識（一）”的編寫順序如下：（1）認識圓的特性。給出六個實物圖，讓學生根據(jù)圖回答問題（有判斷是不是圓形的）。（2）認識圓周、圓心、半徑和直徑。出示小文與小玲用圓形紙片對折后的圖，介紹圓的各部分名稱。（3）認識圓心、半徑和直徑的特性。①出示圓，讓學生明確直徑的特性：過圓心，兩個端點在圓上，在同一個圓中所有的直徑都相等。②出示圓，讓學生明確半徑的特性：在同一個圓中，所有的半徑都相等。③明確直徑與半徑的關系。④進一步明確直徑的特性：直徑是圓內(nèi)最長的線段。（4）給出弦的概念；畫一組平行的弦，研究它們長度的變化規(guī)律。直徑與弦的關系。（5）練習題。

“圓的認識（二）”的編寫順序為：（1）一個拴住野馬的情境圖，讓學生直觀認識圓的本質(zhì)屬性（平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點集）。（2）用不同的工具作圓。給出了四種工具作圓的圖示。（3）用圓規(guī)作圓。（4）要求畫指定半徑與直徑的圓。（5）探索一些由圓形構(gòu)成的圖案的特性。（6）欣賞一些由圓形構(gòu)成的圖案，并自己設計圖案。（7）練習題。（8）探索與發(fā)現(xiàn)。

四、兩種教材各是如何開頭并引導教師與學生對“圓的認識”進行研究的

1985年的教材在編寫“圓的認識”時，先是利用多種不同的工具作圓，然后討論用這些工具作圓的特點，再引入用圓規(guī)作圓。

從上面的兩個引入過程，我們可以看到以下共同的特點。

（1）注重與學生生活實際的聯(lián)系。

無論是1985年的教材，還是2003年的教材，兩種教材都考慮到了圓是學生生活中比較常見的圖形，引入過程關注學生的生活實際。在1985年的教材中，通過畫圓，如用一元硬幣畫圓，讓學生感受到：生活中有圓。2003年的教材，則更是貼近學生的生活實際，一開始出示的實物圖都是學生常見的，是學生書桌上的物品。這樣會讓學生感受到這些物品很親切，感受到圓就在我們身邊。

（2）強調(diào)學生主動參與，展開數(shù)學活動。

從上面的教材中我們可以看到，1985年的教材一開始就是學生的活動，學生要運用各種工具來畫圓。由于圓的概念是用發(fā)生式方式定義的，所以讓學生畫圓有利于對圓概念的理解與掌握。2003年的教材出示了六個實物的圖片后，讓學生觀察、思考，并給出了許多問題讓學生回答，如要求回答：給出的這些實物圖片是直線型的，還是曲線型的？回答這樣的思考題，從事這樣的數(shù)學活動，無疑對于研究圓的特征會有很好的幫助。

兩種教材除了具有以上共同特點外，各自的個性也是十分明顯的。兩種教材主要存在以下的差異：

（1）1985年的教材是讓學生動態(tài)地畫出圓，而2003年的教材是讓學生靜態(tài)地觀察圓。

動態(tài)地畫出圓要求學生動手操作，肢體與思想要同時活動，具有一定的難度。靜態(tài)地觀察物體，思考并解決問題，從判別一個圖形是不是圓的角度說，難度要低一些。但由于教材給出的問題是要為進一步認識圓的特征服務的，所以，要思考的這些問題也有一定的難度。如要回答下面的問題：

這個問題就涉及球與圓的差異，對于小學生來說，有一定難度。

（2）2003年的教材比1985的教材更注重與學生已有數(shù)學知識相結(jié)合，更突出對圓的特征的研究。

1985年的教材只是畫圓，畫圓的過程雖然也與研究圓的特征密切相關，但與學生已有的數(shù)學知識關系不大。2003年的教材出示了六個實物圖，并通過五個問題引導學生思考。如：哪些物品的外形是由直線組成的？哪些物品的外形是由曲線組成的？這樣的問題，會啟發(fā)學生思考以前學過的一些平面圖形與今天要學的圓形的差異，可以在對比中突出圓的本質(zhì)屬性。通過像“2元硬幣的外形是不是圓形的？為什么”這樣的問題，一方面貼近學生的生活實際，硬幣是學生十分熟悉的東西；另一方面，也引導學生進一步思考，不是所有用曲線形成的圖形都是圓形。這樣的問題貼近學生生活，靠近學生已有的知識結(jié)構(gòu)，又突出圓的本質(zhì)屬性。事實上，推動數(shù)學發(fā)展有兩個最重要的動力，一是數(shù)學內(nèi)部的矛盾沖突要求有新的數(shù)學知識；二是生產(chǎn)和生活實際上有問題，需要運用新的數(shù)學知識去解決。這也要求有新的數(shù)學知識。從2003年的教材中的五個問題，我們可以看到，這兩個方面的內(nèi)容都有了，即既有數(shù)學知識內(nèi)容的需求：有直線型與曲線型，以前研究直線型，現(xiàn)在需要研究曲線型；又有生活實際的需要：熟悉的許多物品中，存在著圓形，需要研究?？梢姡瑥臄?shù)學知識產(chǎn)生的角度來編寫教材，是一種很好的編寫思路。

五、兩種教材各是如何給出“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個概念的

與我們的教材相比，香港的教材不但給出了“圓心、半徑與直徑”這三個概念，還給出了“圓周”的概念。這些概念是“圓的認識”這節(jié)課中的重要概念?！皬娬{(diào)概念的發(fā)生過程”是現(xiàn)代數(shù)學教育的重要觀念。兩種教材如何引入這四個概念，將反映出編者對概念發(fā)生的觀念。

1985年的教材是先教學畫圓，在畫圓的基礎上，出示下面這段文字，定義圓周、圓心、半徑和直徑這四個概念。

從上面兩種教材對“圓周、圓心、直徑與半徑”概念的得出，我們可以看到它們有以下共同點與不同點。

（1）兩種教材都是在學生的操作活動后，再給出“圓周、圓心、半徑與直徑”這四個概念。比較有意思的是相隔近三十年的教材，在給出這四個概念前，都用了同一個活動——學生折圓形紙片?？梢?，兩種教材的編者不但認為數(shù)學概念的產(chǎn)生要重視過程，要讓學生在活動中、在感性認識的基礎上、在初步認識了概念的本質(zhì)特征后，再給出概念名稱，而且都認為讓學生去折圓形紙片是一種既經(jīng)濟實用、操作方便，又有很強數(shù)學思考的活動。

（2）兩種教材在設計學生學習“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個概念的過程上存在著較大差異，在這四個概念的定義上也有著許多不同。兩種教材的差異主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

①在兩種教材中，一種教材要求學生剪一個圓形紙片，另一種教材則不要求學生剪圓形紙片。

1985年的教材是先讓學生剪一個圓形紙片，然后再折這個圓形紙片。而2003年的教材是直接用手工紙中的圓形紙片對折。筆者認為，讓學生剪一個圓形的紙片，在剪的過程中，可以讓學生體會到“圓是由‘曲線圍成的圖形”這一特征，有利于學生理解圓的概念。

②在兩種教材中，一種教材對“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個概念的學習活動設計仔細，步子小，過程相對較長。

2003年的教材對“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個概念的發(fā)生過程做得十分仔細：先闡述“小文把圓形紙片對折一次后再打開”，然后結(jié)合圖示定義圓周概念，最后用直觀的、舉例的方法，定義“什么叫作點在圓周上”。

在定義了“什么叫圓周”和“什么叫點在圓周上”的含義后，先闡述：“小玲將圓形的紙對折兩次，然后打開”，再給合圖示定義圓心、直徑與半徑的概念。從教材的篇幅來看，1985年的教材給出這個概念的定義只用了半面內(nèi)容，而2003年的教材用了一頁內(nèi)容。

③在兩種教材中，一種教材的數(shù)學邏輯性更強、更嚴密。

與1985年的教材相比，2003年的教材更具有數(shù)學的邏輯性，更嚴密。大家知道，直徑是通過圓心，兩端在圓周上的線段?！笆裁唇芯€段的兩端在圓周上”，這也是需要定義的概念。2003年的教材在定義直徑與半徑之前，先定義了“什么叫點在圓周上”，這樣邏輯線索就很清晰。

④在兩種教材中，對“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個概念下定義的精確程度不一樣。

1985年的教材對“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個概念都下了比較精確的定義。如直徑的概念：通過圓心，畫一直線相交于圓周上兩點，這兩點間的線段稱為直徑。這樣表達的直徑概念已經(jīng)把直徑的本質(zhì)屬性揭示了出來。2003年的教材對這四個概念就沒有用“種+類征”的方式來定義，而是只對這些概念作描述性的定義。2003年的教材是結(jié)合具體的、特殊的例子給出了概念的名稱的。如直徑的概念：（結(jié)合圖示）CD和EF都是通過圓心O的線段，稱為直徑。這種舉例的方式給出的描述性定義，實質(zhì)上沒有用文字的方式把直徑的本質(zhì)屬性揭示出來?？梢姡谶@四個概念的表達上，1985年的教材精確、嚴密的程度要比2003年的教材高。

從上面的兩種教材中，我們可以看到，兩種教材都是先給出直徑概念再給出半徑概念的。筆者認為，如果從折紙活動中引出這些概念，那么“折痕”就是“直徑”，從這個意義上說，先出直徑的概念可能更為直觀，更有利于學生掌握?？梢?，先表述直徑概念有一定的道理。