李嶠

什么是“數(shù)學(xué)的基本思想”？史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)思想不僅包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)所涉及的思想，比如，等量代換、數(shù)形結(jié)合、遞歸、轉(zhuǎn)換等，還包括解數(shù)學(xué)題所涉及的合并同類項(xiàng)、配方法、換元法等?！盎舅枷搿敝饕侵秆堇[和歸納，在具體的問題中，會(huì)涉及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、等量代換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，但最上位的思想還是演繹和歸納。演繹推理是根據(jù)概念、定理等按照規(guī)則進(jìn)行的推理，是一種由一般到特殊的推理，它的主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論。歸納推理正好與演繹推理相反，它是一種從特殊到一般的推理，包括枚舉、歸納、類比、統(tǒng)計(jì)推斷、因果分析以及觀察實(shí)驗(yàn)、比較分類、綜合分析等，它的主要功能在于發(fā)現(xiàn)新的真理。

從筆者長期處于教學(xué)第一線的體會(huì)來看，教師往往更注重演繹推理的滲透，而忽略歸納推理（也叫合情推理）能力的培養(yǎng)。的確，在教學(xué)面積、體積公式的推導(dǎo)，運(yùn)算定律，比的基本性質(zhì)，等等內(nèi)容時(shí)，教師可能都會(huì)讓學(xué)生嘗試先猜測再驗(yàn)證。有些教師就認(rèn)為這已經(jīng)是向?qū)W生滲透猜測驗(yàn)證的思想方法，但是，從根本上講，歸納推理作為與演繹推理同等重要的基本數(shù)學(xué)思想，也僅僅是在學(xué)習(xí)新課的過程中給學(xué)生滲透而已，而一旦新課講完，開始練習(xí)，歸納推理就基本“拜拜”了。也就是說，不管是教學(xué)，還是作業(yè)考試，其實(shí)根本上還是清一色的演繹推理。因此筆者針對(duì)此現(xiàn)象做了思考與教學(xué)實(shí)踐。

一、學(xué)生與生俱來的歸納推理的“火苗”不應(yīng)該被扼殺

【案例1】數(shù)學(xué)興趣小組一共有15名同學(xué)，其中男生有9名，女生有多少名？

學(xué)生列式“9+6=15”，然后給出答案：女生有6名。面對(duì)這樣的算式，很多教師往往是粗暴地判錯(cuò)了事。

筆者認(rèn)為，我們應(yīng)該充分肯定和保護(hù)學(xué)生這樣的想法甚至?xí)鴮懛椒āＮ覀冇袝r(shí)為了追求一些外在的東西，而用格式、規(guī)定等去扼殺了很多有創(chuàng)意的東西，其實(shí)這樣寫又有何不可呢？從思維上講，是考慮9名男生和幾名女生才能湊成15人，這是多好的代數(shù)思想的萌芽呀！學(xué)生在頭腦中可能經(jīng)歷了9+4、9+5等過程，這又何嘗不可呢？有人要問：“15-9=6要不要教？”要教，但是兩者并不矛盾，因?yàn)檫@是兩種不同的想法和解題方法。

二、在練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生歸納推理的能力

有的教師注意在新課環(huán)節(jié)滲透歸納思想，但是一旦新課學(xué)完，練習(xí)就成為對(duì)知識(shí)點(diǎn)的反復(fù)鞏固，最后的落腳點(diǎn)仍然在知識(shí)點(diǎn)上。筆者認(rèn)為這樣是不夠的，事實(shí)上學(xué)生從練習(xí)中汲取的營養(yǎng)甚至?xí)噙^新課環(huán)節(jié)。練習(xí)時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷比較獨(dú)立的讀題審題、思考嘗試的過程，對(duì)于這個(gè)過程中所經(jīng)歷的東西會(huì)有更深刻的理解和感悟。所以，教師應(yīng)該在這個(gè)環(huán)節(jié)提供給他們感受歸納推理的平臺(tái)。

1.重視歸納的過程而非結(jié)果

在小學(xué)階段，很多練習(xí)題中可以總結(jié)歸納出一些規(guī)律性的東西，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生去歸納，但更多的是讓學(xué)生去記憶這些結(jié)論性的東西，以應(yīng)對(duì)考試。實(shí)際上死記硬背既費(fèi)力且沒什么效果，如果不能理解，就算背得好都不會(huì)用，而要想理解得更好，就應(yīng)該在歸納的過程下更多工夫。

例如人教版五年級(jí)上冊(cè)P24第3題和P25第8題：

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這兩題很顯然都是要讓學(xué)生總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師肯定也是這樣做的。但這里要強(qiáng)調(diào)的是，應(yīng)該給予學(xué)生足夠的時(shí)間，并在方法上指導(dǎo)他們，讓他們自己去嘗試歸納總結(jié)出規(guī)律，而不是教師迅速地拋出規(guī)律，讓學(xué)生去記憶，然后不停地使用規(guī)律去練習(xí)。這樣的例子在人教版的教材中非常多見。

2.突出歸納推理的優(yōu)點(diǎn)

教材中有些內(nèi)容可用多種方法呈現(xiàn)，這時(shí)教師就可以從多方面制定教學(xué)目標(biāo)，譬如選擇某些內(nèi)容為載體，有意識(shí)地、刻意地突出和體現(xiàn)重要的歸納推理的思想方法。

例如人教版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的“雞兔同籠”，教材呈現(xiàn)了表格法、假設(shè)法、代數(shù)法（“你知道嗎”還介紹了“抬腳法”），那么教師在教學(xué)時(shí)就可以根據(jù)自己的教學(xué)目標(biāo)去進(jìn)行取舍。

經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)，假設(shè)法是解決這類問題比較巧妙的方法，但是假設(shè)法有它的局限性，并且學(xué)生不易理解，學(xué)過之后就忘了，最后就只剩下列方程的一般代數(shù)法。代數(shù)法具有很強(qiáng)的一般性，但是作為數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，如果簡單地用代數(shù)法去處理，教材的編寫者把它放到用方程解決問題單元豈不是更好？這顯然就和“數(shù)學(xué)廣角”的設(shè)計(jì)思想不符。到底是什么方法更有一般性，適用范圍更廣泛，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本思想？基于這樣的思考和教學(xué)實(shí)踐，教師應(yīng)該讓學(xué)生通過列舉的方法進(jìn)行嘗試，在嘗試的過程中不斷猜測并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而優(yōu)化探索的過程。這種嘗試、列舉、驗(yàn)證的方法就是解決很多問題經(jīng)常采用的方法，是數(shù)學(xué)中最樸素并且廣泛應(yīng)用的方法，也滲透了最基本的數(shù)學(xué)思想。

因此歸納推理成為這堂課學(xué)生最需要感受的思想。于是筆者引導(dǎo)學(xué)生先隨意猜測雞和兔的只數(shù)，然后驗(yàn)算出此時(shí)雞和兔的腳數(shù)，再與實(shí)際的腳數(shù)進(jìn)行對(duì)比。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，腳數(shù)少了就應(yīng)該增加兔的只數(shù)，腳數(shù)多了就應(yīng)該增加雞的只數(shù)，從而調(diào)整他們的猜測。這個(gè)層次的內(nèi)容，從筆者近四年的教學(xué)實(shí)際情況來看，幾乎100%的學(xué)生都能掌握運(yùn)用。而有部分思維好的學(xué)生，會(huì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：可以把第一次猜測的腳數(shù)與實(shí)際腳數(shù)進(jìn)行比較，用相差的總腳數(shù)去除以一只雞和一只兔相差的2只腳，從而一次性找到應(yīng)該如何調(diào)整雞和兔的只數(shù)的方法。這樣的教學(xué)過程，強(qiáng)烈地改變了學(xué)生的認(rèn)知，拓寬了他們解決問題的方法。筆者是在六年級(jí)接手一個(gè)班的教學(xué)，剛開始的時(shí)候?qū)W生一遇到問題，只會(huì)想如何去列式計(jì)算，而經(jīng)過這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)，至少有超過一半的學(xué)生對(duì)于歸納推理有了更深刻的認(rèn)識(shí)，并能恰當(dāng)?shù)厝?yīng)用。

例如：畫一個(gè)周長為32cm，長和寬的比是3∶5的長方形。

以前學(xué)生只會(huì)按部就班地用按比分配的方法去求出長方形的長和寬，然后再畫圖?，F(xiàn)在很多學(xué)生會(huì)從3∶5這個(gè)條件出發(fā)，（3+5）×2=16，（6+10）×2=32，從而找到答案。這種認(rèn)識(shí)上的進(jìn)步是令人欣慰的。

例如：（1）畫一個(gè)面積為48cm，長和寬的比是3∶4的長方形。endprint

（2）做一個(gè)底面積為36平方厘米、高為5厘米的長方體框架需要多少厘米的鐵絲？

這樣的題目以前是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而現(xiàn)在學(xué)生自然就會(huì)想到用合情推理的方法去解決問題，這些問題也就成為絕大多數(shù)學(xué)生都能夠解決的問題。這應(yīng)該就是歸納推理發(fā)揮作用的體現(xiàn)吧！

3.鼓勵(lì)學(xué)生用歸納推理的方式去解決問題

有了教師的引導(dǎo)和鼓勵(lì)，學(xué)生的思維也打開了，他們做題時(shí)不再局限于演繹推理的方法，作業(yè)中大量地出現(xiàn)歸納推理的思想方法。例如：

1.中國農(nóng)歷中的“夏至”是一年中白晝最長、黑夜最短的一天。這一天，北京的白晝時(shí)間與黑夜時(shí)間的比是5∶3，白晝和黑夜分別為多少小時(shí)？

5∶3=10∶6=15∶9，

5+3=8，10+6=16，15+9=24。

答：白晝有15個(gè)小時(shí)，黑夜有9個(gè)小時(shí)。

2.做一個(gè)底面積是36cm2，高為4.5cm的長方體框架，至少需要多少厘米長的鐵絲？

1+36=37，2+18=20，3+12=15，

4+9=13，6+6=12。

因?yàn)?2最小，所以（6+6+4.5）×4=66（cm）。

答：至少需要66cm。

3.一個(gè)正方體的容器中（如下圖所示）恰好能裝入一個(gè)側(cè)面積是12.56dm2的圓柱，這個(gè)容器的容積有多大？

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12.56÷3.14=4（dm2），

2×2=4，

4×2=8（dm3）。

答：容積為8dm3。

4.東莞市某加工廠的甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)組承租了2010年廣州亞運(yùn)會(huì)吉祥物——“祥和如意樂洋洋”的一部分加工任務(wù)。甲組每天可加工200套，乙組每天可加工250套。甲組先加工了400套后，乙組才開始加工，乙組加工多少天后與甲組加工的同樣多？

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答：乙組加工8天后與甲組加工的同樣多。

這些解題的方法，貌似離經(jīng)叛道、不合規(guī)矩，但筆者不這樣認(rèn)為。作為與演繹推理同等重要的歸納推理，作為能培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要思想方法，它值得起教師去“縱容和提倡”。更何況，這樣去解決問題有理有據(jù)，思維過程清晰，答案準(zhǔn)確，有什么理由去否定它們呢？

三、歸納與演繹并重更能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展

歸納推理的核心，區(qū)別于演繹推理的最明顯地方，就是要大膽地做出一些猜測和嘗試，從錯(cuò)誤中去分析推理，進(jìn)而找到正確的結(jié)果或得出正確的結(jié)論。通過觀察發(fā)現(xiàn)，女生回答問題，往往是確定或者至少自己認(rèn)為是正確的才會(huì)舉手發(fā)言，而有相當(dāng)部分男生，想到什么就敢于表達(dá)什么。做題也是一樣，從整體上看，男生更敢于動(dòng)筆去嘗試一些方法，因此涂涂改改也比較多;而女生更喜歡想清楚了再動(dòng)筆，卷面清爽整潔。這里不談其他，就從敢于嘗試，從失敗中得到啟示這個(gè)角度去看，確實(shí)男生性格上的特點(diǎn)決定了男生在歸納推理方面能力更強(qiáng)，所以在創(chuàng)造性方面，很顯然男生是領(lǐng)先于女生的。當(dāng)然，這只是筆者就自己短短十來年教學(xué)過程中的觀察而得出的思考，缺乏科學(xué)性，但歸納與演繹并重更能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展應(yīng)該是一個(gè)比較顯而易見的結(jié)論。

小學(xué)都已全面使用新教材了。新教材是在2011版課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上編排的，必將更有利于教師完成從“雙基”到“四基”的轉(zhuǎn)變。筆者特別希望的是，教師能夠從觀念上、從根本上更加重視與演繹推理同等重要的歸納推理，并且在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中去全方位地滲透，讓學(xué)生能夠有足夠的機(jī)會(huì)感受歸納推理的“魅力”，會(huì)恰當(dāng)?shù)厥褂脷w納推理去解決問題。

（責(zé)編 金 鈴）endprint