徐宜強

摘 要： 在高中物理教學過程中，面對人體內(nèi)力做功的有關問題時，很多同學感到很棘手，往往是憑感覺作答而導致錯誤，甚至個別教師對此也感到困惑，不能對相關問題進行全面分析和解釋。作者結合教學中碰到的實例對人體內(nèi)力做功的問題作探究。

關鍵詞： 內(nèi)力做功 位移 力 分析

高中物理教材中功的定義為“力與力方向上的位移的乘積”。細細推敲就會發(fā)現(xiàn)，功的定義有點籠統(tǒng)，此處所說的“位移”到底是誰的位移，不夠明確，是力的作用點的位移，還是物體的位移？兩種理解好像都有道理，但好像都有片面性。在某些問題中我們必須把“位移”理解為物體的位移，而在另一些問題中我們必須把“位移”理解為力的作用點的位移，需要具體問題具體分析。真實情況果真如此嗎？

一、對功的定義與做功的若干理解

定義中所說的位移，應理解為物體上受力的那個質(zhì)點的位移，且是相對于慣性系的位移，當物體時平移直線運動時，物體長各點的位移都相同，這時可把位移理解為“物體的位移”；另外，“力”與“物體的位移”具有瞬間對應的關系，即物體的位移是指在力作用的時間內(nèi)的位移；還有，要理解“力的作用點的位移”，應為力作用在其上的那個質(zhì)點的位移；最后，若力是變力，可以利用無限分割的極限思想，把做功的那段時間分成很多小段，每小段時間內(nèi)，力被視為恒力。

二、人體內(nèi)力做功的問題提出

在教學中筆者被學生問到這樣一個問題：在人船模型中，若人和船最初靜止，人若加速從船尾走向船頭，由動量守恒可知，船必反向加速，人和船間的一對靜摩擦力均做正功，代數(shù)和并不為零。這和我們所熟知的“一對靜摩擦力的凈功的一定為零”的結論相悖，這到底是怎么回事呢？

類似問題還有：人由一樓勻速率爬到五樓，地面對人的支持力是否做功？是什么形式的能轉(zhuǎn)化為人的重力勢能？不少學生認為人在登樓時受到豎再向上的支持力豎直向下的重力，人的位移方向與支持力方向相同，故支持力做正功，重力做負功，地面提供能量轉(zhuǎn)化為人的重力勢能。事實上支持力不做功，人的重力勢能是通過消耗人體的生物能轉(zhuǎn)化而來。

三、人體內(nèi)力做功的常規(guī)分析

這兩個問題之所以讓學生如此迷惑，是因為學生在對功的定義中“位移”的理解上出現(xiàn)了錯誤與混亂。其實問題并沒有想象的那樣復雜，“位移”就是作用點的位移。之所以出現(xiàn)理解上的混亂，是因為學生（當然也有部分教師）容易將作用點的位移和作用點的變動混為一談，其實這二者是有很大區(qū)別的。

如圖1所示，手握住一端固定于墻壁的繩并在繩上滑動，求滑動摩擦力對人手所做的功時，當然是用滑動摩擦力乘以人手的位移；然而若求滑動摩擦力對繩子所做的功時，就應多加注意，問題的關鍵在于受力點的更換不等于受力質(zhì)點位移，手在繩上滑動，繩上不同點依次充當摩擦力的受力點，但整個過程中受力質(zhì)點均未發(fā)生位移，所以作用于繩的摩擦力并不做功。

至此，本文開篇提到的兩個問題也可得以澄清。在人船模型中，人腳底對船的靜摩擦力的方向與船的運動方向（即作用點的移動方向）相同，所以做正功，然而其反作用力的方向與它的作用點（在腳底，與船運動方向相同）運動方向相反，故做負功，這時不能看人質(zhì)心的位移方向。

在爬樓問題中，人在爬樓時，地面對腳底有支持力的時候，腳沒有發(fā)生位移，腳騰空向上運動的時候，支持力正好消失，也就是說支持力的作用點并沒有位移，所以支持力不做功。實際上人在登樓時，已不能把人看做一個質(zhì)點處理，事實上人在爬樓時是人通過肌肉收縮做功，也就是人的內(nèi)力做功，從而把人體內(nèi)的化學能轉(zhuǎn)化為機械能與內(nèi)能。

四、人體內(nèi)力做功的深層探究

支持力不做功，重力做負功的情況下，又如何解釋人體ΔEk增加的問題呢？同樣在人船模型，靜摩擦力對人做負功，人的動能緣何會增加呢？這也正是大多數(shù)學生的疑惑之所在。這個問題相對比較復雜，要對此進行深層次的探討和研究，事實上，這是一個涉及內(nèi)力做功及質(zhì)點組的動能定理問題。人體在起立過程中既不能看做質(zhì)點，又不能看做剛體，而是可以變形的質(zhì)點組。我們把人體看做是由N個質(zhì)點組成的質(zhì)點組，應有ΣW=ΣE■-ΣE■，其中ΣW是組成人體的各質(zhì)點所受所有外力和內(nèi)力功的代數(shù)和，即上式可寫成ΣW■+ΣW■=ΔE■，也就是所有外力功和所有內(nèi)力功的代數(shù)和等于其動能增量。人體起立過程，是身體各部位肌肉內(nèi)力在起作用，內(nèi)力的作用點要發(fā)生位移，而且位移方向與力方向一致，導致內(nèi)力功不等于零，從而有ΣW■+ΣW■=ΔE■，也就是說，是人體肌肉內(nèi)力功與人體重力功的總功，導致起立過程中人體的動能增量，即ΔE■。

關于內(nèi)力做功問題，在教學實踐中一直是被公認為高中物理的難點問題。平時大家教學中所遇到的絕大部分是內(nèi)力功為零的情況，因此在使用動能定理分析問題時，內(nèi)力做功常常被大家忽視。

五、人體內(nèi)力做功的具體應用

掌握了上述規(guī)律，我們就可以根據(jù)規(guī)律，解決下面的問題：如圖2所示，一人質(zhì)量為m，站在傾角為θ、長度為l的自動扶梯上，準備從一樓上到二樓，試問在以下三種情況下，扶梯對人的支持力對人所做的功分別為多少？

（1）扶梯不動，人以速度v上到二樓；

（2）扶梯以速度u勻速運動，人相對扶梯靜止上到二樓；

（3）扶梯以速度u勻速運動，人相對扶梯以速度v上到二樓。

解析：（1）人（重心）雖移動，然而扶梯對人的支持力的作用點并沒有移動，只是作用點在不斷更換，故不做功；

（2）扶梯對人的支持力的作用點位移為l，支持力F■=mg，由功的定義：W=F■·l·cos（■-θ）=mglsinθ.

（3）由于扶梯以速度u勻速運動，人相對扶梯以速度v走動，從一樓到二樓作用點的實際位移l=u·■，支持力F■=mg，所以由功的定義：W′=F■·l′·cos（■-θ）=■.

六、人體內(nèi)力做功的延伸拓展

值得一提的是，單純由于內(nèi)力做功不可能使物體組的平動動能增加，還必須借助于外力。也就是說：這些外力雖然不做功，但它們可以使內(nèi)力所做的功的一部分（對應的能量）轉(zhuǎn)化為物體組的平動動能；定量地說，它們可以控制究竟有多少內(nèi)力功（對應的能量）能夠轉(zhuǎn)化為質(zhì)點組的平動動能，其效果就跟它們自己做功一樣。也正是由于這一點，才常常引起人們的誤會。

鑒于此，物理學上已提出了物體組的贗功能原理：作用于物體組的所有外力的矢量和的贗功等于以物體組質(zhì)心為代表的平動動能的增量。

下面我們通過一個例子具體看一下贗功能原理的應用：在一次體育課進行的原地縱跳測試中，小明同學先屈膝下蹲，再用力蹬地起跳，他的身高H=1.73m，質(zhì)量為m=50kg，從蹬地開始經(jīng)t=0.4s，豎直跳離地面。設他蹬地力的大小恒為F=900N，在與地面接觸的過程中，他的重心上升可視為勻變速直線運動。求小明從開始蹬地到上升到最大高度的過程中機械能的增加量。

先看一般求法：小明起跳過程中，受到地面彈力作用，向上做勻加速運動。由牛頓第三定律易知，地面對人的彈力F′=F=900N，由牛頓第三定律，有F′-mg=ma，經(jīng)0.4跳離地面時的速度為v=at，重心上升的高度h■=■at■，離地后，人上升的最大高度為h■，則v■=2gh■，在最高點，動能為零，因此，從蹬地開始到最高度過程中機械能的增加量為：ΔE=ΔE■=mg（h■+h■），聯(lián)立以上各式即可求解：ΔE=576J。

若應用贗功能原理求解則有，地面彈力雖然不做功，但它可以使內(nèi)力所做的功的一部分轉(zhuǎn)化為物體組的平動動能。定量地說，它可以控制究竟有多少內(nèi)力功能夠轉(zhuǎn)化為質(zhì)點組的平動動能，其效果就跟彈力自己做功一樣，所以有：ΔE=W■=W■=F′h■=576N。由此可見，應用贗功能原理求解此類問題，還是較簡便的。但需要強調(diào)的是，這些外力并不做功，只是數(shù)值上相等而已。

通過對人體內(nèi)力做功的探究，我們清楚地知道人體內(nèi)力做功可以使人的動能或勢能增加，當然人體對自身做功也可以將體內(nèi)的化學能轉(zhuǎn)化為自身的熱能。如人提水桶在水平地面上勻速行走，人用力推一個靜止的物體等，限于篇幅，本文不再贅述。

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