【摘要】 在使用自由現(xiàn)金流法對(duì)公司進(jìn)行估值時(shí)，經(jīng)常遭遇十分有限的公司年度財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，尤其是一些新公司，可得到的年度數(shù)據(jù)更少。從很少的年度財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)出發(fā)，如何合理地預(yù)測(cè)公司未來(lái)自由現(xiàn)金流，成為自由現(xiàn)金流量估值模型的主要難題之一?；疑碚搶ｉT以“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，為解決這個(gè)難題提供了新的思路。文章就此展開論述，并以實(shí)際案例闡釋應(yīng)用灰色理論預(yù)測(cè)公司自由現(xiàn)金流的方法和步驟。

【關(guān)鍵詞】 公司估值； 灰色理論； 自由現(xiàn)金流量

中圖分類號(hào)：F224；F123.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1004-5937（2014）20-0044-04一、引言

公司價(jià)值評(píng)估是現(xiàn)代公司金融、財(cái)務(wù)管理的核心內(nèi)容之一，是學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界長(zhǎng)期關(guān)注的重點(diǎn)領(lǐng)域，并且形成了支系龐大的理論體系。除去傳統(tǒng)的成本法、相對(duì)比較法外，現(xiàn)代公司價(jià)值的理論研究體系主要在幾個(gè)方向展開：股利折現(xiàn)理論（DDM）、現(xiàn)金流量折現(xiàn)理論（DCF）、剩余收益估值模型（RIM）、經(jīng)濟(jì)增加值模型（EVA）、實(shí)物期權(quán)估值理論。其中，現(xiàn)金流量折現(xiàn)理論（DCF）中的自由現(xiàn)金流量估值模型是目前在實(shí)踐中應(yīng)用最廣泛的模型，國(guó)內(nèi)多數(shù)機(jī)構(gòu)投資者都采用此模型對(duì)公司進(jìn)行估值，股神巴菲特也是該模型的忠實(shí)實(shí)踐者。

自由現(xiàn)金流量（Free Cash Flow，F(xiàn)CF）最早由Rappaport、Jensen等學(xué)者于20世紀(jì)80年代提出。簡(jiǎn)言之，就是企業(yè)產(chǎn)生的在滿足了再投資需要之后剩余的現(xiàn)金流量。自由現(xiàn)金流量主要有兩種表現(xiàn)形式：公司自由現(xiàn)金流量和股權(quán)自由現(xiàn)金流量。公司自由現(xiàn)金流量是公司產(chǎn)生的在滿足了再投資需要之后剩余的現(xiàn)金流量，這部分現(xiàn)金流量是在不影響公司持續(xù)發(fā)展的前提下可以自由分配給公司全部資本提供者（包括債權(quán)人和股東）的最大現(xiàn)金額。自由現(xiàn)金流量估值模型認(rèn)為任何公司的價(jià)值都是公司未來(lái)的自由現(xiàn)金流量根據(jù)一定的折現(xiàn)率進(jìn)行折現(xiàn)而得到的現(xiàn)值和。

自由現(xiàn)金流量估值模型的基本公式為（以公司自由現(xiàn)金流量折現(xiàn)模型為例）：

V0=■■ （1）

其中，V0表示當(dāng)前公司價(jià)值，F(xiàn)CFFt表示t期公司自由現(xiàn)金流量，WACC表示加權(quán)資本成本。在實(shí)務(wù)中，公司價(jià)值常被分解為兩部分，即預(yù)測(cè)期價(jià)值和后續(xù)期價(jià)值，用公式表示為：

V0=■■+■

（2）

其中，F(xiàn)CFFT+1表示T+1期公司自由現(xiàn)金流量， g表示公司增長(zhǎng)率。

對(duì)于自由現(xiàn)金流量的計(jì)量方法，學(xué)者們有不同的認(rèn)識(shí)。Rappaport、Copeland、Cornell等學(xué)者都給出了各自的自由現(xiàn)金流量計(jì)量公式。以Copeland的公式為例：

FCFF=EBIT×（1-所得稅稅率）+折舊-資本性支出增加-營(yíng)運(yùn)資本增加 （3）

可見(jiàn)，如何進(jìn)行正確的預(yù)測(cè)和計(jì)算，以獲取合理的預(yù)計(jì)自由現(xiàn)金流是該模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。而自由現(xiàn)金流的預(yù)測(cè)和計(jì)算，具有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜性和難度。其中最主要的困難是，哪怕是公開披露信息的上市公司，能夠得到的公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)也是十分貧乏的，尤其是一些新的公司，可得的數(shù)據(jù)更少。從很少的數(shù)據(jù)出發(fā)，如何合理地預(yù)測(cè)未來(lái)自由現(xiàn)金流，成為自由現(xiàn)金流量估值模型的主要難題之一。

目前學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界對(duì)于這一難題采取的定量預(yù)測(cè)方法有：一類是時(shí)間序列預(yù)測(cè)法，包括算術(shù)平均法、加權(quán)平均法、移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法等；另一類是相關(guān)因素預(yù)測(cè)法，包括一元線性回歸法、多元線性回歸法等；還有一類是概率分析預(yù)測(cè)法，主要是馬爾柯夫預(yù)測(cè)法。這些方法的應(yīng)用前提多數(shù)是要求大樣本、線性、分布已知等條件，對(duì)于財(cái)務(wù)實(shí)務(wù)中普遍存在的小樣本、不確定、非線性、分布未知的情況基本失效。面對(duì)只有幾年最多十年的公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，如何進(jìn)行科學(xué)的數(shù)據(jù)開發(fā)和預(yù)測(cè)呢？灰色理論無(wú)疑是條有效的途徑。

灰色理論是由我國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍1982年創(chuàng)立并獲得國(guó)際普遍認(rèn)可的系統(tǒng)學(xué)理論，是一種專門針對(duì)“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定性系統(tǒng)的創(chuàng)新方法，目前已廣泛應(yīng)用在各行業(yè)實(shí)際數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)中。“灰色”二字意指部分信息明確、部分信息不明確，與信息完全明確的“白色”系統(tǒng)和信息完全未知的“黑色”系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)?；疑碚搫?chuàng)意是基于如下信念：雖然客觀系統(tǒng)錯(cuò)綜復(fù)雜，數(shù)據(jù)散亂，似乎毫無(wú)頭緒，但其實(shí)服從某種內(nèi)在規(guī)律?；疑碚摼褪峭ㄟ^(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的整理來(lái)尋求其變化規(guī)律的，也就是灰色序列生成過(guò)程，通過(guò)這種生成過(guò)程可以弱化原始數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，找到一定的規(guī)律。

由于灰色理論專門研究的是小樣本不確定的系統(tǒng)，而且允許數(shù)據(jù)任意分布，這對(duì)于研究信息披露年限短、財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)少的我國(guó)上市公司來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是極為有力的武器?？梢栽谝阎镜呢?cái)務(wù)數(shù)據(jù)中建立灰色模型，以便更科學(xué)地對(duì)自由現(xiàn)金流量做出合理的預(yù)測(cè)。目前在公司價(jià)值評(píng)估領(lǐng)域，基于灰色理論的研究國(guó)內(nèi)尚未開展，國(guó)際上也未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)。

二、灰色建模預(yù)測(cè)自由現(xiàn)金流的基本方法

灰色理論擴(kuò)展了高階微分方程理論，定義了灰導(dǎo)數(shù)和灰微分方程，并用離散數(shù)據(jù)序列建立了微分方程動(dòng)態(tài)模型，稱為灰色模型GM（Gray Model）。

設(shè)一個(gè)灰色系統(tǒng)中有h個(gè)變量，其中x1為因變量，x2，x3，x4…，xh為自變量，x（1）1（k）為原始數(shù)據(jù)序列的一次累加序列，則描述該系統(tǒng)的模型為一個(gè)n階微分方程：

■+a1■+K+an-1■+

anx（1）1（t）=b1x（1）2（t）+b2x（1）3（t）+K+bh-1x（1）h（t）

該方程稱為GM（n，h）模型。當(dāng)h=1時(shí)，該模型退化為GM（1，1）模型，它是灰色系統(tǒng)理論中最基礎(chǔ)的、使用最廣泛的模型。

GM（1，1）模型是一種單序列的一階線性動(dòng)態(tài)模型，其微分方程為：■+ax （1）=u，令：

Y=x （0 ）（2）x （0）（3）Mx （0）（n） X=-■［x （1）（1）+x （1）（2）］-■［x （1）（2）+x （1）（3）］M-■［x （1）（n-1）+x （1）（n）］ E= 1 1M 1

從而有：Y=aX+uE

用最小二乘法求得方程的待定系數(shù)a，u。

存在：■=au=（XTX）-1XTY

再由一階線性微分方程的通解離散化可得GM（1，1）模型的響應(yīng)函數(shù)為：

■ （1 ）（k+1）=x （0）（1）-■e-ak+■ k=1，2，…，n

（4）

系統(tǒng)還原值為：

■ （0）（k）=■ （1）（k）-■ （1）（k-1）（5）

初始條件：■ （1）（1）=x （1）（1）=x （0）（1）

其中a稱為發(fā)展灰數(shù)，它反映了數(shù)據(jù)序列估計(jì)值（包括預(yù)測(cè)值）的發(fā)展態(tài)勢(shì)，在GM（1，1）模型中，-2≤a≤2，否則模型無(wú)意義。u稱為灰作用量，它的大小反映了數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，在系統(tǒng)中相當(dāng)于作用量。

將k=2，3，…，n代入（4）（5）式，可以先求出原始序列的模擬值，用它們和原始序列對(duì)比，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，通過(guò)后，便可求出未來(lái)任意時(shí)刻的系統(tǒng)原始序列的估計(jì)值。

必須指出，任何一個(gè)灰色系統(tǒng)隨著時(shí)間的推移，都有一些隨機(jī)擾動(dòng)因素慢慢進(jìn)入系統(tǒng)，影響到系統(tǒng)規(guī)律的穩(wěn)定，使得GM（1，1）的預(yù)測(cè)能力逐漸減弱。因此改進(jìn)的方法是，隨時(shí)將新數(shù)據(jù)放到模型中，建立新陳代謝模型，逐步淘汰預(yù)測(cè)意義衰減的老數(shù)據(jù)，而把預(yù)測(cè)意義更大的新數(shù)據(jù)放入模型，使得模型的預(yù)測(cè)能力得到提高。

以上建模過(guò)程可以歸納為八個(gè)步驟：

第一步，求累加生成數(shù)據(jù)序列x （1）（k）；

第二步，確定數(shù)據(jù)矩陣X，Y；

第三步，用最小二乘法求出參數(shù)a，u；

第四步，建立生成數(shù)據(jù)序列模型，求得■ （1）（k）的表達(dá)式；

第五步，求得■ （0）（k）的模擬值；

第六步，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)；

第七步，用通過(guò)檢驗(yàn)的■ （1）（k）式預(yù)測(cè)未來(lái)的值；

第八步，建立新陳代謝模型，不斷更新并逐一估算新一年的數(shù)據(jù)。

三、案例應(yīng)用分析

下文將采用基于灰色理論的自由現(xiàn)金流量估值模型對(duì)A股某上市公司進(jìn)行估值，從中比較兩種方法的異同。為保證本研究的客觀性和獨(dú)立性，本文將該公司簡(jiǎn)稱為G公司。以下所有分析中用到的原始數(shù)據(jù)均真實(shí)來(lái)自該公司公開發(fā)布的歷年年報(bào)。G公司2009年經(jīng)中國(guó)證監(jiān)會(huì)核準(zhǔn)在深圳證券交易所掛牌上市。目前，公司總股本5.9億股，資產(chǎn)總值24億元，是一家規(guī)模較大、資金及技術(shù)實(shí)力雄厚、對(duì)市場(chǎng)具有較大影響力的企業(yè)。

該公司歷年主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)如表1。

表1中涉及的計(jì)算公式如下：

營(yíng)運(yùn)資本增加=本年?duì)I運(yùn)資本-上年?duì)I運(yùn)資本=（本年流動(dòng)資產(chǎn)-本年流動(dòng)負(fù)債）-（上年流動(dòng)資產(chǎn)-上年流動(dòng)負(fù)債）

資本支出增加=固定資產(chǎn)增加額+工程物資增加額+在建工程增加額

自由現(xiàn)金流=EBIT×（1-所得稅稅率）+折舊-資本性支出增加-營(yíng)運(yùn)資本增加

根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)，本文采取公式（2）進(jìn)行估值，即：

V0=■■+■

V0表示當(dāng)前公司價(jià)值，F(xiàn)CFFt表示t期公司自由現(xiàn)金流量，F(xiàn)CFFT+1表示T+1期公司自由現(xiàn)金流量，WACC表示加權(quán)資本成本，g表示公司增長(zhǎng)率。從此公式看，關(guān)鍵是要估計(jì)未來(lái)幾期的公司自由現(xiàn)金流量FCFF，以及加權(quán)資本成本W(wǎng)ACC及公司增長(zhǎng)率g。分別估計(jì)如下：

（一）用灰色模型對(duì)未來(lái)幾期FCFF的估計(jì)

該公司上市時(shí)間短，使用它全部年報(bào)加上上市前3年的審計(jì)公報(bào)，筆者才得到6年的自由現(xiàn)金流數(shù)據(jù)（表2），是典型的小樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)，正是灰色建?？梢杂兴鳛榈牡胤?。

第一步，求累加生成數(shù)據(jù)序列x （1）（k）。

根據(jù)表2中提供的原序列，逐一累加可得：

x （1）（k）=［x （1）（1），x（1）（2），∧x （1）（n）］

=（1.35，2.93，4.69，6.42，7.48，9.09）

第二步，確定數(shù)據(jù)矩陣X，Y。

將累加生成序列的數(shù)值代入，可得：

X=-■［x （1）（1）+x （1）（2）］-■［x （1）（2）+x （1）（3）］M-■［x （1）（n-1）+x （1）（n）］=-2.14 1-3.81 1-5.56 1-6.95 1-8.29 1

Y=x （0）（2）x （0）（3）Mx （0）（n）=1.581.761.731.061.61 E=11111

第三步，用最小二乘法求參數(shù)列a，u。

Y=aX+uE

?覾=au=（XTX）-1XTY=0.04141.7693

這一步涉及的手工計(jì)算量雖然很大，但并非不易得解。如果使用MATLAB軟件計(jì)算，則可以迅速得解。

第四步，建立生成數(shù)據(jù)序列模型，求得■ （1）（k）的表達(dá)式。

■ （1）（k+1）=x （0）（1）-■e-ak+■

=（1.35-■）e-0.0414k+■

=-41.387e-0.0414k+42.737（6）

第五步，求得■ （0）（k）的模擬值。

由上式可得：

■ （1）=［■ （1），■ （2），■ （3），■ （4），■ （5），■ （6）］

=（1.35，3.028，4.639，6.184，7.666，9.089）

還原出■ （0）（k）的模擬值：

■ （0）（k）=■ （1）（k）-■ （1）（k-1）

■ （0）（k）=（1.35，1.678，1.0611，1.545，1.482，1.423）

第六步，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)。

與表2中的原序列對(duì)比，計(jì)算出平均相對(duì)誤差為12.8%，按照灰色理論的標(biāo)準(zhǔn)接近三級(jí)，是可用的。

第七步，用通過(guò)檢驗(yàn)的■ （1）（k）式預(yù)測(cè)未來(lái)的值。

將k=6代入（6）式，得■ （1）（7）=10.453。再還原出：■ （0）（7）=1.364。這就是2013年自由現(xiàn)金流的估計(jì)值。

依次改變k的取值，就可以估計(jì)出今后數(shù)年的值。

第八步，建立新陳代謝模型。

具體而言，估算出2013年的值就淘汰表2中2007年的值，然后再建立新的原序列，重復(fù)上面第一步到第七步的計(jì)算，得出2014年的估計(jì)值，然后再淘汰表2中2008年的值，依次類推，得出未來(lái)幾年的估計(jì)值。這樣做雖然比從第七步直接利用（6）式估計(jì)未來(lái)幾年值要麻煩得多，但卻更科學(xué)，更精確?？此坪艽蟮挠?jì)算量，如果借助MATLAB軟件，一般不到半小時(shí)就能全部計(jì)算出來(lái)。表3是筆者采用新陳代謝模型的計(jì)算結(jié)果。

（二）加權(quán)資本成本W(wǎng)ACC的估計(jì)

WACC=KB（1-t）■+KE■

其中KB是債務(wù)資本成本，為了穩(wěn)健性，選用2013年6月末銀行貸款利率中的最大值6.55%；t是G公司作為高新技術(shù)公司享受的所得稅率15%；E/A是股東權(quán)益比例，選用2007—2012年6年的均值79.85%；B/A是負(fù)債比例，為20.15%；KE為普通股的資本成本，采用CAPM模型計(jì)算：

KE=Rf+?茁（Rm-Rf）=3.05%+0.684×（9.02%-3.05%）

=7.13%

其中Rf是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，本文選取的是2005—2011年7年期國(guó)債利率的復(fù)利修正值3.05%。G公司的?茁系數(shù)以及市場(chǎng)收益率Rm計(jì)算繁瑣，受篇幅限制，這里只給出結(jié)果，分別是0.684和9.02%。因此可以算出：

WACC=6.55%×0.85×0.2015+7.13%×0.7985

=6.84%

（三）公司增長(zhǎng)率g的估計(jì)

本文選用公司2009—2012年主營(yíng)業(yè)務(wù)的復(fù)合增長(zhǎng)率5.7%作為公司未來(lái)的增長(zhǎng)率。

（四）公司價(jià)值的估算

將上面已經(jīng)估算出來(lái)的數(shù)據(jù)代入公式（2），可得：

V0=■+■+■+■+■=73（億元）

73除以5.9億的總股本，每股內(nèi)在價(jià)值為12.37元。

對(duì)照公司目前14.5元左右的股價(jià)，已經(jīng)十分接近。從公司股價(jià)近年表現(xiàn)看，一到16元上方就盤跌，而最低跌到11.3元即盤升。本文估計(jì)的內(nèi)在價(jià)值有明顯的合理性。

四、結(jié)論

在使用自由現(xiàn)金流法對(duì)公司進(jìn)行估值時(shí)，從很少的年度財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)出發(fā)，可以采用灰色理論合理地預(yù)測(cè)公司未來(lái)自由現(xiàn)金流，以解決這一自由現(xiàn)金流量估值模型面臨的主要難題?；疑碚摬灰蟠髽颖?，一般有4個(gè)年度數(shù)據(jù)就可以建模了，同時(shí)也不要求知道樣本的概率分布，在MATLAB軟件的幫助下，計(jì)算量也不大，精度有保障。通過(guò)本文的實(shí)際案例，不難掌握應(yīng)用灰色理論預(yù)測(cè)公司自由現(xiàn)金流的方法和步驟?！?/p>

【參考文獻(xiàn)】

［1］ 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.

［2］ 劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［3］ 布瑞德福特·康納爾.公司價(jià)值評(píng)估：有效評(píng)估與決策的工具［M］.張志強(qiáng)，王春香，譯.北京：華夏出版社，2001.

［4］ Tom Copeland，Tim Koller，Jack Murrin.價(jià)值評(píng)估——公司價(jià)值的衡量與管理（第4版）［M］. 高建，魏平，朱曉龍，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2007.

［5］ 符蓉，黃繼東，干勝道.自由現(xiàn)金流量概念及計(jì)算方法分析［J］.會(huì)計(jì)之友，2007（l）：15-16.

［6］ 湯谷良，朱蕾.自由現(xiàn)金流量與財(cái)務(wù)運(yùn)行體系［J］.會(huì)計(jì)研究，2002（8）：32-33.

［7］ 廖儉.剩余收益估值模型與自由現(xiàn)金流估值模型比較研究［J］.財(cái)會(huì)通訊，2013（6）：120-122.

［8］ 王鐵媛.灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型與改進(jìn)及其在現(xiàn)金流預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［D］.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005.

［9］ 馬樂(lè).灰色理論建模方法研究［D］.東北財(cái)經(jīng)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005.

第二步，確定數(shù)據(jù)矩陣X，Y；

第三步，用最小二乘法求出參數(shù)a，u；

第四步，建立生成數(shù)據(jù)序列模型，求得■ （1）（k）的表達(dá)式；

第五步，求得■ （0）（k）的模擬值；

第六步，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)；

第七步，用通過(guò)檢驗(yàn)的■ （1）（k）式預(yù)測(cè)未來(lái)的值；

第八步，建立新陳代謝模型，不斷更新并逐一估算新一年的數(shù)據(jù)。

三、案例應(yīng)用分析

下文將采用基于灰色理論的自由現(xiàn)金流量估值模型對(duì)A股某上市公司進(jìn)行估值，從中比較兩種方法的異同。為保證本研究的客觀性和獨(dú)立性，本文將該公司簡(jiǎn)稱為G公司。以下所有分析中用到的原始數(shù)據(jù)均真實(shí)來(lái)自該公司公開發(fā)布的歷年年報(bào)。G公司2009年經(jīng)中國(guó)證監(jiān)會(huì)核準(zhǔn)在深圳證券交易所掛牌上市。目前，公司總股本5.9億股，資產(chǎn)總值24億元，是一家規(guī)模較大、資金及技術(shù)實(shí)力雄厚、對(duì)市場(chǎng)具有較大影響力的企業(yè)。

該公司歷年主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)如表1。

表1中涉及的計(jì)算公式如下：

營(yíng)運(yùn)資本增加=本年?duì)I運(yùn)資本-上年?duì)I運(yùn)資本=（本年流動(dòng)資產(chǎn)-本年流動(dòng)負(fù)債）-（上年流動(dòng)資產(chǎn)-上年流動(dòng)負(fù)債）

資本支出增加=固定資產(chǎn)增加額+工程物資增加額+在建工程增加額

自由現(xiàn)金流=EBIT×（1-所得稅稅率）+折舊-資本性支出增加-營(yíng)運(yùn)資本增加

根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)，本文采取公式（2）進(jìn)行估值，即：

V0=■■+■

V0表示當(dāng)前公司價(jià)值，F(xiàn)CFFt表示t期公司自由現(xiàn)金流量，F(xiàn)CFFT+1表示T+1期公司自由現(xiàn)金流量，WACC表示加權(quán)資本成本，g表示公司增長(zhǎng)率。從此公式看，關(guān)鍵是要估計(jì)未來(lái)幾期的公司自由現(xiàn)金流量FCFF，以及加權(quán)資本成本W(wǎng)ACC及公司增長(zhǎng)率g。分別估計(jì)如下：

（一）用灰色模型對(duì)未來(lái)幾期FCFF的估計(jì)

該公司上市時(shí)間短，使用它全部年報(bào)加上上市前3年的審計(jì)公報(bào)，筆者才得到6年的自由現(xiàn)金流數(shù)據(jù)（表2），是典型的小樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)，正是灰色建?？梢杂兴鳛榈牡胤?。

第一步，求累加生成數(shù)據(jù)序列x （1）（k）。

根據(jù)表2中提供的原序列，逐一累加可得：

x （1）（k）=［x （1）（1），x（1）（2），∧x （1）（n）］

=（1.35，2.93，4.69，6.42，7.48，9.09）

第二步，確定數(shù)據(jù)矩陣X，Y。

將累加生成序列的數(shù)值代入，可得：

X=-■［x （1）（1）+x （1）（2）］-■［x （1）（2）+x （1）（3）］M-■［x （1）（n-1）+x （1）（n）］=-2.14 1-3.81 1-5.56 1-6.95 1-8.29 1

Y=x （0）（2）x （0）（3）Mx （0）（n）=1.581.761.731.061.61 E=11111

第三步，用最小二乘法求參數(shù)列a，u。

Y=aX+uE

?覾=au=（XTX）-1XTY=0.04141.7693

這一步涉及的手工計(jì)算量雖然很大，但并非不易得解。如果使用MATLAB軟件計(jì)算，則可以迅速得解。

第四步，建立生成數(shù)據(jù)序列模型，求得■ （1）（k）的表達(dá)式。

■ （1）（k+1）=x （0）（1）-■e-ak+■

=（1.35-■）e-0.0414k+■

=-41.387e-0.0414k+42.737（6）

第五步，求得■ （0）（k）的模擬值。

由上式可得：

■ （1）=［■ （1），■ （2），■ （3），■ （4），■ （5），■ （6）］

=（1.35，3.028，4.639，6.184，7.666，9.089）

還原出■ （0）（k）的模擬值：

■ （0）（k）=■ （1）（k）-■ （1）（k-1）

■ （0）（k）=（1.35，1.678，1.0611，1.545，1.482，1.423）

第六步，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)。

與表2中的原序列對(duì)比，計(jì)算出平均相對(duì)誤差為12.8%，按照灰色理論的標(biāo)準(zhǔn)接近三級(jí)，是可用的。

第七步，用通過(guò)檢驗(yàn)的■ （1）（k）式預(yù)測(cè)未來(lái)的值。

將k=6代入（6）式，得■ （1）（7）=10.453。再還原出：■ （0）（7）=1.364。這就是2013年自由現(xiàn)金流的估計(jì)值。

依次改變k的取值，就可以估計(jì)出今后數(shù)年的值。

第八步，建立新陳代謝模型。

具體而言，估算出2013年的值就淘汰表2中2007年的值，然后再建立新的原序列，重復(fù)上面第一步到第七步的計(jì)算，得出2014年的估計(jì)值，然后再淘汰表2中2008年的值，依次類推，得出未來(lái)幾年的估計(jì)值。這樣做雖然比從第七步直接利用（6）式估計(jì)未來(lái)幾年值要麻煩得多，但卻更科學(xué)，更精確。看似很大的計(jì)算量，如果借助MATLAB軟件，一般不到半小時(shí)就能全部計(jì)算出來(lái)。表3是筆者采用新陳代謝模型的計(jì)算結(jié)果。

（二）加權(quán)資本成本W(wǎng)ACC的估計(jì)

WACC=KB（1-t）■+KE■

其中KB是債務(wù)資本成本，為了穩(wěn)健性，選用2013年6月末銀行貸款利率中的最大值6.55%；t是G公司作為高新技術(shù)公司享受的所得稅率15%；E/A是股東權(quán)益比例，選用2007—2012年6年的均值79.85%；B/A是負(fù)債比例，為20.15%；KE為普通股的資本成本，采用CAPM模型計(jì)算：

KE=Rf+?茁（Rm-Rf）=3.05%+0.684×（9.02%-3.05%）

=7.13%

其中Rf是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，本文選取的是2005—2011年7年期國(guó)債利率的復(fù)利修正值3.05%。G公司的?茁系數(shù)以及市場(chǎng)收益率Rm計(jì)算繁瑣，受篇幅限制，這里只給出結(jié)果，分別是0.684和9.02%。因此可以算出：

WACC=6.55%×0.85×0.2015+7.13%×0.7985

=6.84%

（三）公司增長(zhǎng)率g的估計(jì)

本文選用公司2009—2012年主營(yíng)業(yè)務(wù)的復(fù)合增長(zhǎng)率5.7%作為公司未來(lái)的增長(zhǎng)率。

（四）公司價(jià)值的估算

將上面已經(jīng)估算出來(lái)的數(shù)據(jù)代入公式（2），可得：

V0=■+■+■+■+■=73（億元）

73除以5.9億的總股本，每股內(nèi)在價(jià)值為12.37元。

對(duì)照公司目前14.5元左右的股價(jià)，已經(jīng)十分接近。從公司股價(jià)近年表現(xiàn)看，一到16元上方就盤跌，而最低跌到11.3元即盤升。本文估計(jì)的內(nèi)在價(jià)值有明顯的合理性。

四、結(jié)論

在使用自由現(xiàn)金流法對(duì)公司進(jìn)行估值時(shí)，從很少的年度財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)出發(fā)，可以采用灰色理論合理地預(yù)測(cè)公司未來(lái)自由現(xiàn)金流，以解決這一自由現(xiàn)金流量估值模型面臨的主要難題。灰色理論不要求大樣本，一般有4個(gè)年度數(shù)據(jù)就可以建模了，同時(shí)也不要求知道樣本的概率分布，在MATLAB軟件的幫助下，計(jì)算量也不大，精度有保障。通過(guò)本文的實(shí)際案例，不難掌握應(yīng)用灰色理論預(yù)測(cè)公司自由現(xiàn)金流的方法和步驟?！?/p>

【參考文獻(xiàn)】

［1］ 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.

［2］ 劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［3］ 布瑞德福特·康納爾.公司價(jià)值評(píng)估：有效評(píng)估與決策的工具［M］.張志強(qiáng)，王春香，譯.北京：華夏出版社，2001.

［4］ Tom Copeland，Tim Koller，Jack Murrin.價(jià)值評(píng)估——公司價(jià)值的衡量與管理（第4版）［M］. 高建，魏平，朱曉龍，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2007.

［5］ 符蓉，黃繼東，干勝道.自由現(xiàn)金流量概念及計(jì)算方法分析［J］.會(huì)計(jì)之友，2007（l）：15-16.

［6］ 湯谷良，朱蕾.自由現(xiàn)金流量與財(cái)務(wù)運(yùn)行體系［J］.會(huì)計(jì)研究，2002（8）：32-33.

［7］ 廖儉.剩余收益估值模型與自由現(xiàn)金流估值模型比較研究［J］.財(cái)會(huì)通訊，2013（6）：120-122.

［8］ 王鐵媛.灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型與改進(jìn)及其在現(xiàn)金流預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［D］.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005.

［9］ 馬樂(lè).灰色理論建模方法研究［D］.東北財(cái)經(jīng)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005.

第二步，確定數(shù)據(jù)矩陣X，Y；

第三步，用最小二乘法求出參數(shù)a，u；

第四步，建立生成數(shù)據(jù)序列模型，求得■ （1）（k）的表達(dá)式；

第五步，求得■ （0）（k）的模擬值；

第六步，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)；

第七步，用通過(guò)檢驗(yàn)的■ （1）（k）式預(yù)測(cè)未來(lái)的值；

第八步，建立新陳代謝模型，不斷更新并逐一估算新一年的數(shù)據(jù)。

三、案例應(yīng)用分析

下文將采用基于灰色理論的自由現(xiàn)金流量估值模型對(duì)A股某上市公司進(jìn)行估值，從中比較兩種方法的異同。為保證本研究的客觀性和獨(dú)立性，本文將該公司簡(jiǎn)稱為G公司。以下所有分析中用到的原始數(shù)據(jù)均真實(shí)來(lái)自該公司公開發(fā)布的歷年年報(bào)。G公司2009年經(jīng)中國(guó)證監(jiān)會(huì)核準(zhǔn)在深圳證券交易所掛牌上市。目前，公司總股本5.9億股，資產(chǎn)總值24億元，是一家規(guī)模較大、資金及技術(shù)實(shí)力雄厚、對(duì)市場(chǎng)具有較大影響力的企業(yè)。

該公司歷年主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)如表1。

表1中涉及的計(jì)算公式如下：

營(yíng)運(yùn)資本增加=本年?duì)I運(yùn)資本-上年?duì)I運(yùn)資本=（本年流動(dòng)資產(chǎn)-本年流動(dòng)負(fù)債）-（上年流動(dòng)資產(chǎn)-上年流動(dòng)負(fù)債）

資本支出增加=固定資產(chǎn)增加額+工程物資增加額+在建工程增加額

自由現(xiàn)金流=EBIT×（1-所得稅稅率）+折舊-資本性支出增加-營(yíng)運(yùn)資本增加

根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)，本文采取公式（2）進(jìn)行估值，即：

V0=■■+■

V0表示當(dāng)前公司價(jià)值，F(xiàn)CFFt表示t期公司自由現(xiàn)金流量，F(xiàn)CFFT+1表示T+1期公司自由現(xiàn)金流量，WACC表示加權(quán)資本成本，g表示公司增長(zhǎng)率。從此公式看，關(guān)鍵是要估計(jì)未來(lái)幾期的公司自由現(xiàn)金流量FCFF，以及加權(quán)資本成本W(wǎng)ACC及公司增長(zhǎng)率g。分別估計(jì)如下：

（一）用灰色模型對(duì)未來(lái)幾期FCFF的估計(jì)

該公司上市時(shí)間短，使用它全部年報(bào)加上上市前3年的審計(jì)公報(bào)，筆者才得到6年的自由現(xiàn)金流數(shù)據(jù)（表2），是典型的小樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)，正是灰色建模可以有所作為的地方。

第一步，求累加生成數(shù)據(jù)序列x （1）（k）。

根據(jù)表2中提供的原序列，逐一累加可得：

x （1）（k）=［x （1）（1），x（1）（2），∧x （1）（n）］

=（1.35，2.93，4.69，6.42，7.48，9.09）

第二步，確定數(shù)據(jù)矩陣X，Y。

將累加生成序列的數(shù)值代入，可得：

X=-■［x （1）（1）+x （1）（2）］-■［x （1）（2）+x （1）（3）］M-■［x （1）（n-1）+x （1）（n）］=-2.14 1-3.81 1-5.56 1-6.95 1-8.29 1

Y=x （0）（2）x （0）（3）Mx （0）（n）=1.581.761.731.061.61 E=11111

第三步，用最小二乘法求參數(shù)列a，u。

Y=aX+uE

?覾=au=（XTX）-1XTY=0.04141.7693

這一步涉及的手工計(jì)算量雖然很大，但并非不易得解。如果使用MATLAB軟件計(jì)算，則可以迅速得解。

第四步，建立生成數(shù)據(jù)序列模型，求得■ （1）（k）的表達(dá)式。

■ （1）（k+1）=x （0）（1）-■e-ak+■

=（1.35-■）e-0.0414k+■

=-41.387e-0.0414k+42.737（6）

第五步，求得■ （0）（k）的模擬值。

由上式可得：

■ （1）=［■ （1），■ （2），■ （3），■ （4），■ （5），■ （6）］

=（1.35，3.028，4.639，6.184，7.666，9.089）

還原出■ （0）（k）的模擬值：

■ （0）（k）=■ （1）（k）-■ （1）（k-1）

■ （0）（k）=（1.35，1.678，1.0611，1.545，1.482，1.423）

第六步，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)。

與表2中的原序列對(duì)比，計(jì)算出平均相對(duì)誤差為12.8%，按照灰色理論的標(biāo)準(zhǔn)接近三級(jí)，是可用的。

第七步，用通過(guò)檢驗(yàn)的■ （1）（k）式預(yù)測(cè)未來(lái)的值。

將k=6代入（6）式，得■ （1）（7）=10.453。再還原出：■ （0）（7）=1.364。這就是2013年自由現(xiàn)金流的估計(jì)值。

依次改變k的取值，就可以估計(jì)出今后數(shù)年的值。

第八步，建立新陳代謝模型。

具體而言，估算出2013年的值就淘汰表2中2007年的值，然后再建立新的原序列，重復(fù)上面第一步到第七步的計(jì)算，得出2014年的估計(jì)值，然后再淘汰表2中2008年的值，依次類推，得出未來(lái)幾年的估計(jì)值。這樣做雖然比從第七步直接利用（6）式估計(jì)未來(lái)幾年值要麻煩得多，但卻更科學(xué)，更精確?？此坪艽蟮挠?jì)算量，如果借助MATLAB軟件，一般不到半小時(shí)就能全部計(jì)算出來(lái)。表3是筆者采用新陳代謝模型的計(jì)算結(jié)果。

（二）加權(quán)資本成本W(wǎng)ACC的估計(jì)

WACC=KB（1-t）■+KE■

其中KB是債務(wù)資本成本，為了穩(wěn)健性，選用2013年6月末銀行貸款利率中的最大值6.55%；t是G公司作為高新技術(shù)公司享受的所得稅率15%；E/A是股東權(quán)益比例，選用2007—2012年6年的均值79.85%；B/A是負(fù)債比例，為20.15%；KE為普通股的資本成本，采用CAPM模型計(jì)算：

KE=Rf+?茁（Rm-Rf）=3.05%+0.684×（9.02%-3.05%）

=7.13%

其中Rf是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，本文選取的是2005—2011年7年期國(guó)債利率的復(fù)利修正值3.05%。G公司的?茁系數(shù)以及市場(chǎng)收益率Rm計(jì)算繁瑣，受篇幅限制，這里只給出結(jié)果，分別是0.684和9.02%。因此可以算出：

WACC=6.55%×0.85×0.2015+7.13%×0.7985

=6.84%

（三）公司增長(zhǎng)率g的估計(jì)

本文選用公司2009—2012年主營(yíng)業(yè)務(wù)的復(fù)合增長(zhǎng)率5.7%作為公司未來(lái)的增長(zhǎng)率。

（四）公司價(jià)值的估算

將上面已經(jīng)估算出來(lái)的數(shù)據(jù)代入公式（2），可得：

V0=■+■+■+■+■=73（億元）

73除以5.9億的總股本，每股內(nèi)在價(jià)值為12.37元。

對(duì)照公司目前14.5元左右的股價(jià)，已經(jīng)十分接近。從公司股價(jià)近年表現(xiàn)看，一到16元上方就盤跌，而最低跌到11.3元即盤升。本文估計(jì)的內(nèi)在價(jià)值有明顯的合理性。

四、結(jié)論

在使用自由現(xiàn)金流法對(duì)公司進(jìn)行估值時(shí)，從很少的年度財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)出發(fā)，可以采用灰色理論合理地預(yù)測(cè)公司未來(lái)自由現(xiàn)金流，以解決這一自由現(xiàn)金流量估值模型面臨的主要難題。灰色理論不要求大樣本，一般有4個(gè)年度數(shù)據(jù)就可以建模了，同時(shí)也不要求知道樣本的概率分布，在MATLAB軟件的幫助下，計(jì)算量也不大，精度有保障。通過(guò)本文的實(shí)際案例，不難掌握應(yīng)用灰色理論預(yù)測(cè)公司自由現(xiàn)金流的方法和步驟?！?/p>

【參考文獻(xiàn)】

［1］ 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.

［2］ 劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［3］ 布瑞德福特·康納爾.公司價(jià)值評(píng)估：有效評(píng)估與決策的工具［M］.張志強(qiáng)，王春香，譯.北京：華夏出版社，2001.

［4］ Tom Copeland，Tim Koller，Jack Murrin.價(jià)值評(píng)估——公司價(jià)值的衡量與管理（第4版）［M］. 高建，魏平，朱曉龍，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2007.

［5］ 符蓉，黃繼東，干勝道.自由現(xiàn)金流量概念及計(jì)算方法分析［J］.會(huì)計(jì)之友，2007（l）：15-16.

［6］ 湯谷良，朱蕾.自由現(xiàn)金流量與財(cái)務(wù)運(yùn)行體系［J］.會(huì)計(jì)研究，2002（8）：32-33.

［7］ 廖儉.剩余收益估值模型與自由現(xiàn)金流估值模型比較研究［J］.財(cái)會(huì)通訊，2013（6）：120-122.

［8］ 王鐵媛.灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型與改進(jìn)及其在現(xiàn)金流預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［D］.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005.

［9］ 馬樂(lè).灰色理論建模方法研究［D］.東北財(cái)經(jīng)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005.