江戰(zhàn)明

圓錐曲線是優(yōu)美的，因為它本身就有著近乎完美的圖象；圓錐曲線是簡潔的，因為它有著如此和諧的方程；圓錐曲線是重要的，因為它幾乎占據(jù)了高中解析幾何的全部.正因為圓錐曲線是如此優(yōu)美、簡潔和重要，因此教師、學者、專家對圓錐曲線的研究已經(jīng)非常到位，特別是當圓錐曲線與直線相交時，被挖掘的性質(zhì)、定理可以說是不計其數(shù). 當然，當直線與圓錐曲線相切時的結(jié)論也有很多，但對比相交時的情況，直線與圓錐曲線相切時的結(jié)論比較零散，不夠系統(tǒng).本文旨在以高中教師教學角度，由淺入深較系統(tǒng)地整理直線與圓錐曲線幾類相切問題并加以拓展或一般化，相信這樣的梳理可以對教學工作帶來一定的幫助.

一、切線數(shù)問題

對于圖象封閉的橢圓（包括圓）來說，過一定點能作出幾條直線與曲線相切，只需通過觀察就可以獲得結(jié)論.當定點在曲線內(nèi)部時，無法作出切線；當定點在曲線上時，可以作出一條切線；當定點在曲線外時，可以作出兩條切線.但如果圓錐曲線是雙曲線或拋物線時，情況會有所改變，一般會問過一定點能作出幾條直線與曲線有“一個”公共點.顯然兩種問法在此有著本質(zhì)的區(qū)別，因為雙曲線和拋物線都是不封閉圖形，有一個公共點也不一定是相切.那么如何確定過一定點有幾條直線與曲線有一個公共點？下面以雙曲線為例作說明.

對曲線是雙曲線C：-=1 來說，如果定點P（x0，y0）在雙曲線開口內(nèi)，即滿足->1所在區(qū)域，那么只能作出兩條直線與雙曲線有一個公共點，這兩條直線與漸近線平行；如果定點位置在雙曲線的開口外但在漸近線的左右開口內(nèi)，即滿足-<1且->0的區(qū)域，此時過定點能作出四條直線與雙曲線有一個公共點，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與曲線相切且切點在同一支雙曲線上；如果定點在漸近線的上下開口內(nèi)，即滿足-<0，那么過定點與曲線一個公共點的直線也有四條，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與曲線相切，切點在兩支雙曲線上；如果定點在雙曲線上即滿足-=1，那么過定點能作出三條直線與曲線有一個公共點，其中兩條與漸近線平行，另外一條與曲線相切，定點即為切點；如果定點在一條漸近線上，即滿足bx0-ay0=0或bx0+ay0=0（不包括原點），此時過定點能作出兩條直線與曲線有一個公共點，其中一條與另一漸近線平行，一條與曲線相切；如果定點在雙曲線的中心，即-=0，那么不能作出與曲線有一個公共點的直線.

其實過定點直線與圓錐曲線相切或有一個公共點問題，完全可以通過觀察圖象、結(jié)合韋達定理作出完整的證明，但因證明相對比較簡單，這里不再贅述.

二、切線問題

因為圓錐曲線為二次曲線，故過一定點最多可以作出兩條直線與之相切（具體如上），那么如何求出這兩條切線（存在的話），有沒有簡單的方法或現(xiàn)存的結(jié)論？先說橢圓，因為橢圓（包括圓）為封閉圖形，定點在曲線上或曲線外才有切線，同樣雙曲線和拋物線有類似的情況——定點須在曲線上或開口外才有切線，所以只需討論兩種情況.因為圓錐曲線具有統(tǒng)一型，所以下面以橢圓為例作具體說明，圓、雙曲線、拋物線都可以看成橢圓的一種特殊情況. 首先討論定點在曲線上的情況， 下面作具體探究.

1.定點在曲線上

已知定點P（x0，y0）在曲線C：+=1 上，即滿足+=1，求過定點的切線方程.解決此類問題方法較多，最常規(guī)的方法是把過定點的直線方程代入曲線方程計算Δ，當Δ=0時求出直線方程中的參數(shù)即可，如果直線設成了點斜式，就要另外考慮斜率不存在的情況；另外還有一種較常用的方法是橢圓方程改寫為函數(shù)即y=±b，然后通過一階導數(shù)求出曲線在定點處的斜率予于解決，假如斜率不存在，切線即為x=x0；這兩種方法同樣適用于圓、雙曲線、拋物線，但都有一定的不足.前一種計算量比較大，后一種對復合函數(shù)求導容易出錯.對于這類問題筆者以為用“點差法”效果甚好，因為當直線與曲線相切時，其實還是可以理解為直線與曲線有“兩個交點”（相同的），故可把定點P（x0，y0）看作A（x1，y1）和B（x2，y2）兩個無限靠近的點，顯然（x1，y1）和（x2，y2）的中點即為（x0，y0），那么切線方程可輕松求得，即+=1，此方法同樣適用于雙曲線、拋物線.

2.定點在曲線外

特別地，如果與橢圓相切的兩直線相互垂直，即斜率乘積k=-1，那么兩直線交點的軌跡就是橢圓外接矩形的外接圓（整個圓），其軌跡方程為y2+x2=b2+a2；如果兩切線斜率乘積k=0，其軌跡是兩條平行直線，方程為y=±b；如果斜率乘積k<0，且k≠-1，則交點軌跡是橢圓；如果斜率乘積k>0，且b2-ka2≠0時，交點軌跡為雙曲線；如果斜率乘積k滿足b2-ka2=0，則交點軌跡為兩相交直線，方程為y=±x，當然以上軌跡都需滿足在橢圓外部.顯然，當a，b相等時即為圓中的情況，這里不再贅述.

2.與雙曲線相切兩直線交點軌跡問題

既然橢圓中有如此漂亮的結(jié)論，而雙曲線與橢圓又有著如此相似的方程結(jié)構(gòu)，那么在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？結(jié)論如下.

已知與雙曲線C：-=1相切的兩直線相交于點P（x0，y0），且兩直線斜率乘積為定值k，則點P的軌跡方程為[y0][2]-k[x0][2]=-ka2-b2，同時需滿足點在雙曲線開口外.

五、小結(jié)與感悟

上文從圓錐曲線切線數(shù)的計算，切線方程的求法、切點弦方程的推導以及斜率乘積為定值的兩切線交點問題展開了整理與探究.通過整理與探究也發(fā)現(xiàn)了一些性質(zhì)或結(jié)論，特別是兩切線交點軌跡問題，從上述探究過程不難發(fā)現(xiàn)，不僅僅斜率乘積為定值的兩切線的交點可以求出軌跡方程（存在的話），其實兩切線斜率之和為定值一樣可以通過韋達定理求出交點的軌跡方程（存在的話）.當然以上這些只是研究整理了圓錐曲線中關(guān)于相切問題的“冰山一角”，還有很多性質(zhì)或類似于“阿基米德三角形”這樣的結(jié)論，等待大家進一步整理與研究.endprint

圓錐曲線是優(yōu)美的，因為它本身就有著近乎完美的圖象；圓錐曲線是簡潔的，因為它有著如此和諧的方程；圓錐曲線是重要的，因為它幾乎占據(jù)了高中解析幾何的全部.正因為圓錐曲線是如此優(yōu)美、簡潔和重要，因此教師、學者、專家對圓錐曲線的研究已經(jīng)非常到位，特別是當圓錐曲線與直線相交時，被挖掘的性質(zhì)、定理可以說是不計其數(shù). 當然，當直線與圓錐曲線相切時的結(jié)論也有很多，但對比相交時的情況，直線與圓錐曲線相切時的結(jié)論比較零散，不夠系統(tǒng).本文旨在以高中教師教學角度，由淺入深較系統(tǒng)地整理直線與圓錐曲線幾類相切問題并加以拓展或一般化，相信這樣的梳理可以對教學工作帶來一定的幫助.

一、切線數(shù)問題

對于圖象封閉的橢圓（包括圓）來說，過一定點能作出幾條直線與曲線相切，只需通過觀察就可以獲得結(jié)論.當定點在曲線內(nèi)部時，無法作出切線；當定點在曲線上時，可以作出一條切線；當定點在曲線外時，可以作出兩條切線.但如果圓錐曲線是雙曲線或拋物線時，情況會有所改變，一般會問過一定點能作出幾條直線與曲線有“一個”公共點.顯然兩種問法在此有著本質(zhì)的區(qū)別，因為雙曲線和拋物線都是不封閉圖形，有一個公共點也不一定是相切.那么如何確定過一定點有幾條直線與曲線有一個公共點？下面以雙曲線為例作說明.

對曲線是雙曲線C：-=1 來說，如果定點P（x0，y0）在雙曲線開口內(nèi)，即滿足->1所在區(qū)域，那么只能作出兩條直線與雙曲線有一個公共點，這兩條直線與漸近線平行；如果定點位置在雙曲線的開口外但在漸近線的左右開口內(nèi)，即滿足-<1且->0的區(qū)域，此時過定點能作出四條直線與雙曲線有一個公共點，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與曲線相切且切點在同一支雙曲線上；如果定點在漸近線的上下開口內(nèi)，即滿足-<0，那么過定點與曲線一個公共點的直線也有四條，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與曲線相切，切點在兩支雙曲線上；如果定點在雙曲線上即滿足-=1，那么過定點能作出三條直線與曲線有一個公共點，其中兩條與漸近線平行，另外一條與曲線相切，定點即為切點；如果定點在一條漸近線上，即滿足bx0-ay0=0或bx0+ay0=0（不包括原點），此時過定點能作出兩條直線與曲線有一個公共點，其中一條與另一漸近線平行，一條與曲線相切；如果定點在雙曲線的中心，即-=0，那么不能作出與曲線有一個公共點的直線.

其實過定點直線與圓錐曲線相切或有一個公共點問題，完全可以通過觀察圖象、結(jié)合韋達定理作出完整的證明，但因證明相對比較簡單，這里不再贅述.

二、切線問題

因為圓錐曲線為二次曲線，故過一定點最多可以作出兩條直線與之相切（具體如上），那么如何求出這兩條切線（存在的話），有沒有簡單的方法或現(xiàn)存的結(jié)論？先說橢圓，因為橢圓（包括圓）為封閉圖形，定點在曲線上或曲線外才有切線，同樣雙曲線和拋物線有類似的情況——定點須在曲線上或開口外才有切線，所以只需討論兩種情況.因為圓錐曲線具有統(tǒng)一型，所以下面以橢圓為例作具體說明，圓、雙曲線、拋物線都可以看成橢圓的一種特殊情況. 首先討論定點在曲線上的情況， 下面作具體探究.

1.定點在曲線上

已知定點P（x0，y0）在曲線C：+=1 上，即滿足+=1，求過定點的切線方程.解決此類問題方法較多，最常規(guī)的方法是把過定點的直線方程代入曲線方程計算Δ，當Δ=0時求出直線方程中的參數(shù)即可，如果直線設成了點斜式，就要另外考慮斜率不存在的情況；另外還有一種較常用的方法是橢圓方程改寫為函數(shù)即y=±b，然后通過一階導數(shù)求出曲線在定點處的斜率予于解決，假如斜率不存在，切線即為x=x0；這兩種方法同樣適用于圓、雙曲線、拋物線，但都有一定的不足.前一種計算量比較大，后一種對復合函數(shù)求導容易出錯.對于這類問題筆者以為用“點差法”效果甚好，因為當直線與曲線相切時，其實還是可以理解為直線與曲線有“兩個交點”（相同的），故可把定點P（x0，y0）看作A（x1，y1）和B（x2，y2）兩個無限靠近的點，顯然（x1，y1）和（x2，y2）的中點即為（x0，y0），那么切線方程可輕松求得，即+=1，此方法同樣適用于雙曲線、拋物線.

2.定點在曲線外

特別地，如果與橢圓相切的兩直線相互垂直，即斜率乘積k=-1，那么兩直線交點的軌跡就是橢圓外接矩形的外接圓（整個圓），其軌跡方程為y2+x2=b2+a2；如果兩切線斜率乘積k=0，其軌跡是兩條平行直線，方程為y=±b；如果斜率乘積k<0，且k≠-1，則交點軌跡是橢圓；如果斜率乘積k>0，且b2-ka2≠0時，交點軌跡為雙曲線；如果斜率乘積k滿足b2-ka2=0，則交點軌跡為兩相交直線，方程為y=±x，當然以上軌跡都需滿足在橢圓外部.顯然，當a，b相等時即為圓中的情況，這里不再贅述.

2.與雙曲線相切兩直線交點軌跡問題

既然橢圓中有如此漂亮的結(jié)論，而雙曲線與橢圓又有著如此相似的方程結(jié)構(gòu)，那么在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？結(jié)論如下.

已知與雙曲線C：-=1相切的兩直線相交于點P（x0，y0），且兩直線斜率乘積為定值k，則點P的軌跡方程為[y0][2]-k[x0][2]=-ka2-b2，同時需滿足點在雙曲線開口外.

五、小結(jié)與感悟

上文從圓錐曲線切線數(shù)的計算，切線方程的求法、切點弦方程的推導以及斜率乘積為定值的兩切線交點問題展開了整理與探究.通過整理與探究也發(fā)現(xiàn)了一些性質(zhì)或結(jié)論，特別是兩切線交點軌跡問題，從上述探究過程不難發(fā)現(xiàn)，不僅僅斜率乘積為定值的兩切線的交點可以求出軌跡方程（存在的話），其實兩切線斜率之和為定值一樣可以通過韋達定理求出交點的軌跡方程（存在的話）.當然以上這些只是研究整理了圓錐曲線中關(guān)于相切問題的“冰山一角”，還有很多性質(zhì)或類似于“阿基米德三角形”這樣的結(jié)論，等待大家進一步整理與研究.endprint

圓錐曲線是優(yōu)美的，因為它本身就有著近乎完美的圖象；圓錐曲線是簡潔的，因為它有著如此和諧的方程；圓錐曲線是重要的，因為它幾乎占據(jù)了高中解析幾何的全部.正因為圓錐曲線是如此優(yōu)美、簡潔和重要，因此教師、學者、專家對圓錐曲線的研究已經(jīng)非常到位，特別是當圓錐曲線與直線相交時，被挖掘的性質(zhì)、定理可以說是不計其數(shù). 當然，當直線與圓錐曲線相切時的結(jié)論也有很多，但對比相交時的情況，直線與圓錐曲線相切時的結(jié)論比較零散，不夠系統(tǒng).本文旨在以高中教師教學角度，由淺入深較系統(tǒng)地整理直線與圓錐曲線幾類相切問題并加以拓展或一般化，相信這樣的梳理可以對教學工作帶來一定的幫助.

一、切線數(shù)問題

對于圖象封閉的橢圓（包括圓）來說，過一定點能作出幾條直線與曲線相切，只需通過觀察就可以獲得結(jié)論.當定點在曲線內(nèi)部時，無法作出切線；當定點在曲線上時，可以作出一條切線；當定點在曲線外時，可以作出兩條切線.但如果圓錐曲線是雙曲線或拋物線時，情況會有所改變，一般會問過一定點能作出幾條直線與曲線有“一個”公共點.顯然兩種問法在此有著本質(zhì)的區(qū)別，因為雙曲線和拋物線都是不封閉圖形，有一個公共點也不一定是相切.那么如何確定過一定點有幾條直線與曲線有一個公共點？下面以雙曲線為例作說明.

對曲線是雙曲線C：-=1 來說，如果定點P（x0，y0）在雙曲線開口內(nèi)，即滿足->1所在區(qū)域，那么只能作出兩條直線與雙曲線有一個公共點，這兩條直線與漸近線平行；如果定點位置在雙曲線的開口外但在漸近線的左右開口內(nèi)，即滿足-<1且->0的區(qū)域，此時過定點能作出四條直線與雙曲線有一個公共點，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與曲線相切且切點在同一支雙曲線上；如果定點在漸近線的上下開口內(nèi)，即滿足-<0，那么過定點與曲線一個公共點的直線也有四條，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與曲線相切，切點在兩支雙曲線上；如果定點在雙曲線上即滿足-=1，那么過定點能作出三條直線與曲線有一個公共點，其中兩條與漸近線平行，另外一條與曲線相切，定點即為切點；如果定點在一條漸近線上，即滿足bx0-ay0=0或bx0+ay0=0（不包括原點），此時過定點能作出兩條直線與曲線有一個公共點，其中一條與另一漸近線平行，一條與曲線相切；如果定點在雙曲線的中心，即-=0，那么不能作出與曲線有一個公共點的直線.

其實過定點直線與圓錐曲線相切或有一個公共點問題，完全可以通過觀察圖象、結(jié)合韋達定理作出完整的證明，但因證明相對比較簡單，這里不再贅述.

二、切線問題

因為圓錐曲線為二次曲線，故過一定點最多可以作出兩條直線與之相切（具體如上），那么如何求出這兩條切線（存在的話），有沒有簡單的方法或現(xiàn)存的結(jié)論？先說橢圓，因為橢圓（包括圓）為封閉圖形，定點在曲線上或曲線外才有切線，同樣雙曲線和拋物線有類似的情況——定點須在曲線上或開口外才有切線，所以只需討論兩種情況.因為圓錐曲線具有統(tǒng)一型，所以下面以橢圓為例作具體說明，圓、雙曲線、拋物線都可以看成橢圓的一種特殊情況. 首先討論定點在曲線上的情況， 下面作具體探究.

1.定點在曲線上

已知定點P（x0，y0）在曲線C：+=1 上，即滿足+=1，求過定點的切線方程.解決此類問題方法較多，最常規(guī)的方法是把過定點的直線方程代入曲線方程計算Δ，當Δ=0時求出直線方程中的參數(shù)即可，如果直線設成了點斜式，就要另外考慮斜率不存在的情況；另外還有一種較常用的方法是橢圓方程改寫為函數(shù)即y=±b，然后通過一階導數(shù)求出曲線在定點處的斜率予于解決，假如斜率不存在，切線即為x=x0；這兩種方法同樣適用于圓、雙曲線、拋物線，但都有一定的不足.前一種計算量比較大，后一種對復合函數(shù)求導容易出錯.對于這類問題筆者以為用“點差法”效果甚好，因為當直線與曲線相切時，其實還是可以理解為直線與曲線有“兩個交點”（相同的），故可把定點P（x0，y0）看作A（x1，y1）和B（x2，y2）兩個無限靠近的點，顯然（x1，y1）和（x2，y2）的中點即為（x0，y0），那么切線方程可輕松求得，即+=1，此方法同樣適用于雙曲線、拋物線.

2.定點在曲線外

特別地，如果與橢圓相切的兩直線相互垂直，即斜率乘積k=-1，那么兩直線交點的軌跡就是橢圓外接矩形的外接圓（整個圓），其軌跡方程為y2+x2=b2+a2；如果兩切線斜率乘積k=0，其軌跡是兩條平行直線，方程為y=±b；如果斜率乘積k<0，且k≠-1，則交點軌跡是橢圓；如果斜率乘積k>0，且b2-ka2≠0時，交點軌跡為雙曲線；如果斜率乘積k滿足b2-ka2=0，則交點軌跡為兩相交直線，方程為y=±x，當然以上軌跡都需滿足在橢圓外部.顯然，當a，b相等時即為圓中的情況，這里不再贅述.

2.與雙曲線相切兩直線交點軌跡問題

既然橢圓中有如此漂亮的結(jié)論，而雙曲線與橢圓又有著如此相似的方程結(jié)構(gòu)，那么在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？結(jié)論如下.

已知與雙曲線C：-=1相切的兩直線相交于點P（x0，y0），且兩直線斜率乘積為定值k，則點P的軌跡方程為[y0][2]-k[x0][2]=-ka2-b2，同時需滿足點在雙曲線開口外.

五、小結(jié)與感悟

上文從圓錐曲線切線數(shù)的計算，切線方程的求法、切點弦方程的推導以及斜率乘積為定值的兩切線交點問題展開了整理與探究.通過整理與探究也發(fā)現(xiàn)了一些性質(zhì)或結(jié)論，特別是兩切線交點軌跡問題，從上述探究過程不難發(fā)現(xiàn)，不僅僅斜率乘積為定值的兩切線的交點可以求出軌跡方程（存在的話），其實兩切線斜率之和為定值一樣可以通過韋達定理求出交點的軌跡方程（存在的話）.當然以上這些只是研究整理了圓錐曲線中關(guān)于相切問題的“冰山一角”，還有很多性質(zhì)或類似于“阿基米德三角形”這樣的結(jié)論，等待大家進一步整理與研究.endprint