馬 玲，張玉成

(海南師范大學(xué)初等教育學(xué)院，海南?？?71158)

2001年出版的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(以下簡稱《實(shí)驗(yàn)稿》)第一次提出“數(shù)感”這一概念，隨后引起了學(xué)者廣泛關(guān)注與探討。2012年，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)明確給出了數(shù)感的確切含義。本文對《標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)感的內(nèi)涵進(jìn)行了解讀，并對數(shù)感的特點(diǎn)及其教學(xué)進(jìn)行探討。

一 數(shù)感的內(nèi)涵

(一)《實(shí)驗(yàn)稿》和《標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)感的闡述

2001年7月，我國新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革頒布的《實(shí)驗(yàn)稿》，在總體目標(biāo)中提出要使學(xué)生“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維”①中華人民共和國教育部，全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)，北京:北京師范大學(xué)出版社，2001.7。。在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)三個(gè)學(xué)段都分別闡述了培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)感的問題。但是，《實(shí)驗(yàn)稿》中對“數(shù)感”這一概念并未給出確切定義。

經(jīng)過10年課程改革與實(shí)踐，關(guān)于數(shù)感，研究者們在理論和實(shí)踐上都進(jìn)行了一定探索和有益嘗試。在認(rèn)真聽取各方意見，吸納前期實(shí)驗(yàn)研究成果基礎(chǔ)上，2012年1月出版發(fā)行的《標(biāo)準(zhǔn)》不僅將數(shù)感作為核心概念提出，而且對數(shù)感內(nèi)涵及功能作了表述?！稑?biāo)準(zhǔn)》指出:“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！雹谥腥A人民共和國教育部，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)，北京:北京師范大學(xué)出版社，2012，5。

(二)數(shù)感內(nèi)涵解讀

《標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)感定義為一種感悟，感悟一詞出自《后漢書·丁鴻傳》:“鴻感悟，垂涕嘆息?！睆墓ぞ邥胁樵?，主要有幾種解釋:《現(xiàn)代漢語詞典》(新版410頁):“有所感觸而領(lǐng)悟”;《辭源》(縮印新版622頁):“有所感而覺悟”。這幾種解釋都側(cè)重于有感有悟，由感而悟。因此，將數(shù)感表述為感悟，也使得數(shù)感具有兩重屬性:既有“感”，如感受、感覺、感知，又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟，即既有感性認(rèn)識又有理性思維。

數(shù)感將感悟主要集中于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算結(jié)果估計(jì)這三方面，不僅將數(shù)感“細(xì)致化”，而且有利于教師在教學(xué)中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條內(nèi)容主線。史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)與數(shù)量關(guān)系的抽象》一書中系統(tǒng)全面闡述了數(shù)的表示，他認(rèn)為:數(shù)來源于對數(shù)量本質(zhì)的抽象。數(shù)與數(shù)量，實(shí)際上就是建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量之間的關(guān)系，包括數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的意義、數(shù)的表示。數(shù)量之間關(guān)系包括數(shù)的大小關(guān)系及其所對應(yīng)的數(shù)量之間的多少關(guān)系，也包括變化的量之間函數(shù)關(guān)系等。對運(yùn)算結(jié)果估計(jì)的感悟也是數(shù)感的重要方面。

二 數(shù)感的特點(diǎn)

(一)基礎(chǔ)性

《標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)感放在數(shù)學(xué)課程10個(gè)核心概念首位，一方面突出了數(shù)感培養(yǎng)的重要性，另一方面也說明了數(shù)感的基礎(chǔ)性。從認(rèn)知心理學(xué)角度來講，不可否認(rèn)，數(shù)感的產(chǎn)生首先依賴于數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化。數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系等數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識、加減乘除的計(jì)算都是最基礎(chǔ)知識，它們不僅是進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必備，而且在小學(xué)階段學(xué)習(xí)其他領(lǐng)域內(nèi)容時(shí)也要經(jīng)常用到。因此，數(shù)感具有基礎(chǔ)性。

(二)直覺性

數(shù)感能憑借感知對象、語言、動(dòng)作等經(jīng)驗(yàn)直接地對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算結(jié)果估計(jì)作出敏銳判定，表現(xiàn)為瞬時(shí)性理解和記憶。美藉匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在論述直覺時(shí)說過，“它是任性的、固執(zhí)的，它們可能出乎意料地閃在我們的面前”。數(shù)學(xué)史上有一個(gè)非常有名的故事:印度數(shù)學(xué)奇才拉馬努金在聽到英國數(shù)學(xué)家哈代提到1729這個(gè)數(shù)字時(shí)，立刻就知道這個(gè)數(shù)字能用兩種不同方式表示為兩個(gè)正立方數(shù)之和的最小的數(shù)，1729=13+123=93+103。拉馬努金在學(xué)術(shù)上的成就一定程度上和數(shù)感有關(guān)，但不能否認(rèn)，數(shù)感的獲得并不是完全依靠天賦，而是需要后天的訓(xùn)練和積累。對數(shù)字或數(shù)學(xué)的敏感反應(yīng)，很大程度上依賴于人們經(jīng)過長期積累而形成的數(shù)字或數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

(三)抽象性

數(shù)感主要是對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算結(jié)果估計(jì)的感悟。感悟?qū)ο蠓矫?，以?shù)與數(shù)量為例，它們并不是對客觀世界量性規(guī)律性的直接反映，而是抽象思維的產(chǎn)物。正如我們不曾見到作為數(shù)學(xué)研究對象的真正的“一”，只能見到某一個(gè)人、某一棵樹、某一間房等。從感悟本身來講，個(gè)體受到客觀事物刺激，由直接感知到理性思維，通過邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語言的鋪墊，再由理性到感性。經(jīng)過不斷實(shí)踐檢驗(yàn)，個(gè)體感悟由感性到理性、再由理性到感性，循環(huán)往復(fù)、逐步上升，就能抽象出客觀事物本質(zhì)屬性。所以，數(shù)學(xué)閱歷豐富的人才能夠從普遍事物中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，感悟到數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念等抽象概念。

(四)層次性

從心理學(xué)角度來講，數(shù)感首先是從感官接觸客觀事物開始，通過神經(jīng)介質(zhì)傳遞到大腦，激活先前儲存在大腦中的相應(yīng)知識模塊，形成感覺和知覺，進(jìn)而通過思維邏輯和數(shù)學(xué)語言活化，融會(huì)貫通，最終形成或重構(gòu)新的知識模塊。這跟皮亞杰兒童的認(rèn)知發(fā)展“同化－順應(yīng)－平衡”是一個(gè)道理，是一個(gè)由感性到理性、由形象到抽象、由淺入深、由低級到高級，層層遞進(jìn)的認(rèn)識過程。史寧中認(rèn)為學(xué)生數(shù)感的發(fā)展是個(gè)循序漸進(jìn)過程，需要經(jīng)歷感悟多少、用數(shù)表示多少、建立數(shù)之間關(guān)聯(lián)、對數(shù)進(jìn)行運(yùn)算、形成數(shù)系概念等過程。國內(nèi)外研究表明，隨著年級升高，學(xué)生的數(shù)感表現(xiàn)呈現(xiàn)上升趨勢。因此，數(shù)感具有層次性。

(五)差異性

每個(gè)人對數(shù)學(xué)知識的接受能力，對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算結(jié)果估計(jì)的“悟”因個(gè)體生理和心理差異，以及所處語言文化背景不同而表現(xiàn)出差異性。因此，數(shù)感是有個(gè)體差異的?！稑?biāo)準(zhǔn)》的基本理念是:使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。我們沒有必要讓人人都成為數(shù)學(xué)家，但至少應(yīng)當(dāng)使每一個(gè)公民都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育。因此，在數(shù)感教學(xué)中要注意學(xué)生數(shù)感發(fā)展的差異性，以使每個(gè)學(xué)生都能獲得良好發(fā)展。

三 對數(shù)感教學(xué)的思考

認(rèn)識和理解數(shù)感的目的就在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，然而，數(shù)感的建立并不是一蹴而就，而是在學(xué)習(xí)和生活過程中逐步體驗(yàn)和建立起來的。教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體學(xué)習(xí)內(nèi)容，以數(shù)感特點(diǎn)為指導(dǎo)，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)。

(一)結(jié)合具體內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

《標(biāo)準(zhǔn)》將課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“概率與統(tǒng)計(jì)”和“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分，而數(shù)感主要體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”部分。“綜合與實(shí)踐”部分設(shè)置對于培養(yǎng)學(xué)生問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識十分有利，同時(shí)還可以積累學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題能力。它與其他三個(gè)部分緊密聯(lián)系在一起，從一定程度上來說，它是使其他三個(gè)部分在數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度這三方面目標(biāo)上得以實(shí)現(xiàn)的有效途徑。因此，數(shù)感教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”和“綜合與實(shí)踐”部分。

通過對《標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)感內(nèi)涵的解讀，結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”和“綜合與實(shí)踐”部分主要內(nèi)容，可以將數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算結(jié)果估計(jì)這三個(gè)方面感悟細(xì)化為數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)量關(guān)系，數(shù)的運(yùn)算、數(shù)量的估計(jì)和數(shù)的問題解決這六個(gè)方面。教師對數(shù)感教學(xué)應(yīng)從這六個(gè)方面入手，深入鉆研教材和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，有意識地設(shè)計(jì)具體目標(biāo)，提供有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的情景，探索與之相適應(yīng)的教學(xué)方法，把數(shù)感培養(yǎng)任務(wù)落實(shí)到具體教學(xué)過程。

(二)數(shù)感培養(yǎng)要從小開始，從基礎(chǔ)開始

數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系與運(yùn)算結(jié)果估計(jì)主要分布在小學(xué)第一學(xué)段和第二學(xué)段。這部分內(nèi)容是日后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。史寧中教授就曾指出:“數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵期是小學(xué)低年級?！币虼?，數(shù)感培養(yǎng)要從小開始，從基礎(chǔ)開始。在小學(xué)甚至學(xué)前時(shí)期就要將學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)滲透到教學(xué)中。

(三)數(shù)感培養(yǎng)要聯(lián)系生活實(shí)際

數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為:“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，用于現(xiàn)實(shí)?！睌?shù)感具有抽象性，學(xué)生在小學(xué)階段要認(rèn)識數(shù)，學(xué)習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等抽象概念。如果像傳統(tǒng)教學(xué)那樣，由教師用“填鴨式”教學(xué)方式告訴學(xué)生這是什么，應(yīng)該怎么樣，答案是什么，就完全割裂了知識與生活之間聯(lián)系，這些概念在學(xué)生頭腦中就只是一些符號，毫無實(shí)際意義。因此，在教學(xué)中要注意知識與生活實(shí)際聯(lián)系，讓學(xué)生接觸現(xiàn)實(shí)社會(huì)，緊密聯(lián)系日常生活，從而感受到數(shù)學(xué)無處不在。比如在認(rèn)識10以內(nèi)數(shù)時(shí)，可以讓學(xué)生通過觀察圖片，以及生活中像這些數(shù)字的實(shí)物來認(rèn)識這些數(shù)，可以讓學(xué)生來聯(lián)想這些數(shù)還像什么，還可以讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示這些數(shù)。

(四)在問題解決中培養(yǎng)數(shù)感

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的在于應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，而且只有將知識運(yùn)用于解決現(xiàn)實(shí)生活問題，才能真正理解它。因此，在數(shù)感教學(xué)中要讓學(xué)生更多地接觸和理解實(shí)際問題，要使學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜的實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，并嘗試去解決問題。教師要將《標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)真貫徹落實(shí)，設(shè)計(jì)一些綜合實(shí)踐活動(dòng)幫助學(xué)生解決實(shí)際生活問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感。

另外，數(shù)感具有層次性和差異性特點(diǎn)。因此，在數(shù)感教學(xué)過程中，要遵循學(xué)生數(shù)感發(fā)展普遍規(guī)律，循序漸進(jìn)進(jìn)行數(shù)感教學(xué)，同時(shí)，還要遵循學(xué)生數(shù)感發(fā)展個(gè)體差異，因材施教。

“冰凍三尺非一日之寒，水滴石穿非一日之功”，學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)不是一蹴而就的。教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感時(shí)既要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，又要以數(shù)感特點(diǎn)為指導(dǎo)，注重聯(lián)系生活實(shí)際。

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