薛文瓏

摘 要： 本文針對(duì)工程碩士數(shù)值分析教學(xué)過程存在的問題，結(jié)合數(shù)值分析的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)值分析課程的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)、教學(xué)方法進(jìn)行研究，并提出教學(xué)改革建議。

關(guān)鍵詞： 工程碩士 數(shù)值分析課程 教學(xué)方法

數(shù)值分析課程是研究建立應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決各類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法與理論，是一門研究內(nèi)容豐富、研究方法深刻、實(shí)用性較強(qiáng)、具有自身理論體系的課程。它既有純數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)值分析研究過程是在解決工程實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)用有關(guān)科學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型，提出求解的數(shù)值計(jì)算方法直到編程上機(jī)得到實(shí)現(xiàn)。所以對(duì)于工程碩士掌握數(shù)值分析這門課程中的基本理論及其應(yīng)用具有重要意義。工程碩士生大部分是企業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)或技術(shù)骨干，業(yè)務(wù)繁忙，脫產(chǎn)學(xué)習(xí)的時(shí)間無法保證，若其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，學(xué)習(xí)起來比較吃力，容易導(dǎo)致數(shù)值分析課程教學(xué)質(zhì)量偏差。如何講授好這門課程，提高工程碩士學(xué)生解決實(shí)際工程問題的能力是值得思考的重要課題。筆者針對(duì)工程碩士數(shù)值分析課程的教學(xué)方法提出建議。

1.教學(xué)過程內(nèi)容的設(shè)計(jì)

數(shù)值分析是一門內(nèi)容豐富、與計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的基礎(chǔ)課程，內(nèi)容大體包括三個(gè)部分：數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近和微分方程解法。內(nèi)容有大量的冗長的計(jì)算公式和理論，這就要求任課教師在教學(xué)過程中花費(fèi)大量的教學(xué)時(shí)間進(jìn)行推導(dǎo)和證明。教學(xué)過程存在的問題是：一是工程碩士在這門課程的學(xué)時(shí)較少，一般為36學(xué)時(shí)～48學(xué)時(shí)，許多學(xué)生多年缺乏數(shù)學(xué)培訓(xùn)，導(dǎo)致理解能力較差，形成教學(xué)內(nèi)容較多、學(xué)時(shí)較少的多重矛盾局面，容易被動(dòng)學(xué)習(xí)，不利于教學(xué)質(zhì)量的提高，不利于學(xué)生掌握本課程的核心。二是工程碩士生來自不同行業(yè)，有著不同的專業(yè)和工程背景、不同的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和解決問題方法，必然對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式提出更高要求。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為必須合理取舍教學(xué)內(nèi)容，要切實(shí)結(jié)合工程碩士學(xué)生的職業(yè)背景和學(xué)生的需求，突出其實(shí)用性和綜合性，使學(xué)生掌握本課程的關(guān)鍵問題。首先，必須掌握的內(nèi)容：（1）誤差分析理論；（2）插值法；（3）解線性方程組的直接法；（4）非線性方程組的迭代法；（5）曲線擬合；（6）常微分方程初值問題和函數(shù)逼近。其次，時(shí)間允許的條件下可以介紹矩陣特征值計(jì)算的各種方法、數(shù)值積分和數(shù)值微分的思想方法。最后，設(shè)置實(shí)用性較強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)課程，有針對(duì)性地布置實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容和方式。

2.教學(xué)過程方法的設(shè)計(jì)

2.1情景教學(xué)法

情境教學(xué)法是指在教學(xué)過程中，教師有目的地引入或創(chuàng)設(shè)具有一定情緒色彩的、以形象為主體的生動(dòng)具體的場(chǎng)景，以引起學(xué)生一定的態(tài)度體驗(yàn)，從而幫助學(xué)生理解教材，并使學(xué)生的心理機(jī)能得到發(fā)展的教學(xué)方法。在教學(xué)過程中，采用情境教學(xué)式，結(jié)合工程碩士工作的行業(yè)背景，使學(xué)生對(duì)所要解決的問題更重視。下面通過兩個(gè)實(shí)例說明情境教學(xué)法。例1：在講解非線性方程求根，情景問題：在相距200米的兩個(gè)建筑物（高度一樣）中間懸掛一根電纜，電纜的最低點(diǎn)距離地面2m，計(jì)算所需電纜的長度。把所要講解的內(nèi)容和工程碩士碰到的實(shí)際問題結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)效果。例2：講解曲線擬合章節(jié)，情境問題：某公司有一批化肥需要出售，如果按照往年統(tǒng)計(jì)資料，零售價(jià)增高，銷量減少，如果做廣告，可使銷量增加，具體增量以銷售量提高因子有關(guān)，另外廣告費(fèi)用由于銷售量提高因子相關(guān)，問如何確定這批化肥的出售價(jià)格和廣告費(fèi)可使公司利潤最大？情境教學(xué)不存在絕對(duì)正確的答案，目的在于啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立自主地思考、探索，注重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，啟發(fā)學(xué)生建立一套分析、解決問題的思維方式，突出實(shí)踐性，實(shí)現(xiàn)從理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化。

2.2比較教學(xué)法

比較教學(xué)法是教學(xué)過程中，教師在多種求解方法中向?qū)W生呈現(xiàn)多種解法和算法的差異，分析其優(yōu)缺點(diǎn)，，求同尋異，促進(jìn)和加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。在工程碩士數(shù)值分析課程教學(xué)中的主要方式有：類比和對(duì)比，下面以插值法、特征值求解和非線性方程求解的過程加以比較。

插值法是一種古老而實(shí)用的方法。Lagrange插值法比較直觀明確，給兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造其基函數(shù)，但增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，基函數(shù)的表達(dá)式就要重新運(yùn)算；Nexton插值在計(jì)算插值多項(xiàng)式及求函數(shù)近似值較方便，而且能節(jié)省計(jì)算量。在實(shí)際應(yīng)用中很少使用高次插值，更多使用分段低次插值，特別是三次樣條插值，因?yàn)樗粌H具有良好的收斂性和穩(wěn)定性，而且具有二階光滑度，因此在理論和應(yīng)用上均有重要的意義。

冪法是求解矩陣最大模特征值和特征向量有效簡單方法，適用于大型稀疏矩陣，Jacobi方法是一種經(jīng)典方法，QR方法是至今為止最有效的求矩陣特征值的方法。用對(duì)比方法分析幾種求解方法的優(yōu)缺點(diǎn)，冪法簡單方便求解，但它的收斂速度是線性。Jacobi方法在大多數(shù)情況下與對(duì)稱矩陣的QR方法相比，沒有優(yōu)勢(shì)，但當(dāng)矩陣接近對(duì)角形勢(shì)，比較有效。

非線性方程根的求解方法中，Newton迭代法收斂速度很快，在單根的情況下，Newton迭代法是二階收斂的，但是其對(duì)初值要求較高。弦截法和拋物線法是多點(diǎn)迭代法，它們屬于插值方法，在求解復(fù)根時(shí)具有較大的優(yōu)勢(shì)。利用比較教學(xué)法讓學(xué)生碰到實(shí)際問題，較好地理解實(shí)際問題的算法和應(yīng)用。

2.3重視算法設(shè)計(jì)教學(xué)法

算法設(shè)計(jì)是在數(shù)值分析教學(xué)過程的靈魂，加強(qiáng)算法設(shè)計(jì)的技術(shù)教學(xué)，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也可以提高學(xué)生解決程序設(shè)計(jì)困難問題的能力。歸納起來有三種技術(shù)，即縮減技術(shù)，校正技術(shù)和松弛技術(shù)，現(xiàn)以實(shí)例講解幾種算法的設(shè)計(jì)。

2.3.1縮減技術(shù)是運(yùn)算結(jié)果遞歸。例3求和S=a■+a■+…+a■，算法設(shè)計(jì)：

用b■表示數(shù)列前ks項(xiàng)部分和，則有b■=a■b■=b■+a■k=1，2，…n，上述的算法設(shè)計(jì)思想是每一步相加，規(guī)模遞減，最終求得其和。

2.3.2校正技術(shù)也是迭代法。例4求■（a>0），算法設(shè)計(jì)：

把問題轉(zhuǎn)為解方程x■-a=0，給定預(yù)估值x■借助簡單方法確定校正量Δx（Δx較?。剐Ｕ祒■=x■+Δx較為準(zhǔn)確地滿足方程x■-a=0，使（x■+Δx）■≈a成立，舍去（Δx）■，令x■■+2x■Δx=a，求得x■=■（■+x■），反復(fù)使用校正技術(shù)可得迭代公式x■=■（x■+■），k=0，1，2…其思想是刪繁就簡，逐步求精。逼近程度也高，獲得校正量越精確。

2.3.3松弛技術(shù)就是加權(quán)平均法，例5設(shè)t■的精確值為t■=■，校正值為t■=■，求其近似值。算法設(shè)計(jì)：由校正值可得a■t■-a■t■=b，兩邊除以a■-a■得（1-ω）t■+ωt■=■（其中ω=■），可見精確值等于預(yù)估值和校正值得加權(quán)平均，即通過適當(dāng)選取權(quán)系數(shù)調(diào)整校正量，加工得到更高精度的改進(jìn)值■，其思想是化粗為精，步步逼近。

除了上述幾個(gè)建議以外，還可以采用合適的教材、加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的改革、分層次教學(xué)等教學(xué)方法。總之，工程碩士數(shù)值分析的教學(xué)是既復(fù)雜又實(shí)用，既有原則又靈活的。

3.結(jié)語

數(shù)值分析是一門實(shí)用性和應(yīng)用性很強(qiáng)的課程，注重解決實(shí)際問題的思想和方法，它的思想包括“以點(diǎn)帶面”、“等價(jià)代換”、“逐次逼近”等，它的宗旨是把具體問題建立數(shù)學(xué)模型，使用計(jì)算機(jī)通過數(shù)值計(jì)算或數(shù)值模擬解決工程實(shí)際問題和科學(xué)研究中的關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)數(shù)值分析是一項(xiàng)長久持續(xù)的過程，既重視理論又重視應(yīng)用。經(jīng)過幾年工程碩士數(shù)值分析課程教學(xué)改革和實(shí)踐，教學(xué)效果越來越顯著，但工程碩士“進(jìn)校不離崗”的特殊性，給本課程培養(yǎng)質(zhì)量帶來了一定的影響。因此，在工程碩士數(shù)值分析教學(xué)過程中，一方面要培養(yǎng)學(xué)生具有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)理論，另一方面要培養(yǎng)學(xué)生重視分析、解決工程實(shí)際問題的能力，真正達(dá)到數(shù)值分析課程培養(yǎng)目標(biāo)的要求。

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