陳相友 孫軍波

摘 要：本文以一道簡(jiǎn)單的練習(xí)題為抓手，深入思考研究獲得一般性的結(jié)論，進(jìn)而追溯至圓的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)圓中的一系列“兩直線斜率乘積為定值”，類比發(fā)現(xiàn)橢圓中相關(guān)性質(zhì)并研究. 透過(guò)有效的探究、反思、拓展，使得我們高屋建瓴，進(jìn)一步領(lǐng)悟問(wèn)題背景的本質(zhì)所在及其解決策略.

關(guān)鍵詞：解析幾何；溯源；探究；反思；拓展；有效

高考試題不僅具有選拔功能，還具有很高的教學(xué)價(jià)值，在平時(shí)的教學(xué)中，如何使用高考試題是值得我們研究的問(wèn)題. 本文以2011年江蘇卷第18題、2012年天津卷第19題、2013年山東卷第22題及2013年全國(guó)新課標(biāo)試題為例設(shè)計(jì)了一堂地區(qū)高三復(fù)習(xí)課，對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系中一類斜率乘積為定值的問(wèn)題進(jìn)行解法的總結(jié)提煉，追溯問(wèn)題的源頭，探求解法的本質(zhì)，力求提升學(xué)生的能力.

忽視的問(wèn)題

問(wèn)題1：已知橢圓C：+y2=1，過(guò)橢圓上一點(diǎn)A（0，1）作直線l交橢圓于另一點(diǎn)B，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若直線AB、OP的斜率存在且不為零，則kAB×kOP的值為_(kāi)_______.

分析：該題為某校模擬訓(xùn)練中的一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生很快會(huì)用特殊值的思想給出答案-，如果嚴(yán)格推理，可能會(huì)考慮設(shè)l：y=kx+1，通過(guò)聯(lián)立方程來(lái)解決，不過(guò)仔細(xì)想一想，再回憶一下中點(diǎn)弦問(wèn)題，自然也提出點(diǎn)差法：+y=1，+y=1 ？圯+y-y=0？圯kABkOP=-.

“點(diǎn)A在橢圓上”是一個(gè)易被人所忽視的一個(gè)條件，不過(guò)通過(guò)計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的坐標(biāo)并不需要具體給出，只需要滿足點(diǎn)A在橢圓上，兩直線的斜率如果存在，則斜率乘積肯定為定值-，進(jìn)一步推廣到橢圓C：+=1（a>b>0），這個(gè)定值就是-. 這是一個(gè)比較特別的結(jié)論. 在（2013年新課標(biāo)Ⅱ卷20題）中平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：+=1（a>b>0）右焦點(diǎn)的直線x+y-=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為，求M的方程，就是利用該性質(zhì)編制的一個(gè)題目.

大膽的猜測(cè)

對(duì)于橢圓的這一性質(zhì)大家并不太熟悉，不妨再?gòu)淖钐厥獾臋E圓入手看看，不難發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的在圓中就是垂徑定理. 順著這一思路走下去，頗為自然地去思考圓中還有哪些斜率乘積為定值，相應(yīng)的橢圓中會(huì)不會(huì)還有類似的斜率乘積為定值呢？

圖2

學(xué)生提出多種猜想，通過(guò)幾何畫(huà)板的研究，初步會(huì)得到這樣兩個(gè)猜想：

（1）圓上任意一點(diǎn)P，過(guò)P的切線與OP的斜率乘積為-1，

類比：對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的切線和OP的斜率乘積是否為定值？

圖3

（2）？搖過(guò)原點(diǎn)的直線AB交圓于A，B兩點(diǎn)，圓上任意一點(diǎn)P，PA與PB的斜率乘積為-1，

類比：過(guò)原點(diǎn)的直線AB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，橢圓上任一點(diǎn)P，PA與PB的斜率乘積是否為定值？

圖4

嚴(yán)格的論證

問(wèn)題2：已知橢圓C：+=1（a>b>0），點(diǎn)P為橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓相切，若直線l的斜率為k且不為零，則k×kOP是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖5

解：設(shè)P（x0，y0），l：y-y0=k（x-x0）代入C：+=1（a>b>0）得到

+x2++-1=0. 根據(jù)Δ=0可得

-4+·-1=0？圯（a2-x）k2+2x0y0k+（b2-y）=0；

再抓住P（x0，y0）在橢圓上+=1？圯k2+2x0y0k+=0

？圯k+=0？圯k=-得證.

當(dāng)然如果學(xué)生了解橢圓的切線方程是+=1那將可以更快得到結(jié)論.其實(shí)這一問(wèn)題就出現(xiàn)在2013年山東卷的最后一題.

（2013年山東卷）橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓截得線段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓C的方程；（C：+y2=1求解略）

（2）P為橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率為k1，k2，若k≠0，試證明+為定值，并求出這個(gè)定值.

易得，設(shè)P（x0，y0），由+=+=可得+=，利用（問(wèn)題2）的知識(shí)就可解決.

深層的探索

進(jìn)一步探索另一個(gè)結(jié)論是否成立：

問(wèn)題3：已知橢圓C：+=1（a>b>0），過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓交于A，B點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率存在且不為零，則kPA×kPB是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖7

分析：設(shè)P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1），則kPA×kPB=×=.

抓住點(diǎn)P，A兩點(diǎn)在橢圓上，利用點(diǎn)差法即可得到kPA×kPB==-.

這一性質(zhì)就應(yīng)用在（2012年天津卷19）：設(shè)橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率.

不難發(fā)現(xiàn)這即是這一性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，更有意思的是在2011年江蘇卷中，如果我們了解這一背景，將使得原問(wèn)題快速解決.

（2011年江蘇卷）如圖8，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B. 設(shè)直線PA的斜率為k，任意k>0，求證：PA⊥PB.

圖8

分析：要證明PA⊥PB，即證明kPA×kPB=-1，直接研究二者斜率乘積為-1較為困難，若了解kAB×kPB=-=-，則只需證=2即可. 設(shè)P（x0，y0），則A（-x0，-y0），C（x0，0），易得=2.

未完的推廣

那么同為有心曲線的雙曲線是否也有如此結(jié)論.

探索：對(duì)于雙曲線C：-=1，下列三個(gè)斜率乘積是否為定值：

（1）C上任意兩點(diǎn)A，B，P為AB的中點(diǎn)，則kAB×kOP是否為定值？

（2）點(diǎn)P為C上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與雙曲線相切，則kl×kOP的值是否為定值？

（3）過(guò)原點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn)，則kPA×kPB的值是否為定值？

類比問(wèn)題1、問(wèn)題2、問(wèn)題3的解決思路，不難得到三個(gè)斜率乘積也是定值.

深入的反思

記住結(jié)論并非目的，通過(guò)高考試題的研究，使用類比和歸納發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)性質(zhì)，給出一般性的研究方法和解決策略才是我們的目標(biāo). G·玻利亞指出：“創(chuàng)造過(guò)程是一個(gè)艱苦曲折的過(guò)程，數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性的工作是論證推理，即證明，但這個(gè)證明是通過(guò)合情推理、通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的.” 本文從練習(xí)入手，通過(guò)歸納獲得一般性的結(jié)論，再追溯至圓的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)圓中的一系列“兩直線斜率乘積為定值”，類比發(fā)現(xiàn)橢圓中相關(guān)性質(zhì)并研究. 透過(guò)這些性質(zhì)研究，使得我們從高處再看高考試題，領(lǐng)悟其中的奧秘和解決策略.

數(shù)與形的結(jié)合是解析幾何解決問(wèn)題的關(guān)鍵，教師雖然明白這一點(diǎn)，但往往在實(shí)際課堂教學(xué)中很難抓住. 就目前的高三教學(xué)現(xiàn)狀而言，我們教師大量選取歷年全國(guó)各地高考試題進(jìn)行教學(xué)，很多時(shí)候僅僅是就題論題進(jìn)行教學(xué)，不能把握問(wèn)題的本質(zhì)以及不同問(wèn)題之間的聯(lián)系，導(dǎo)致重復(fù)地講解大量的題目，使得復(fù)習(xí)效率低下，并不利于學(xué)生能力的提升，難以達(dá)成“提高能力”的目標(biāo). 如何充分用好各地高考試題，筆者認(rèn)為對(duì)試題可以考慮從以下幾方面進(jìn)行研究：（1）試題的來(lái)源；（2）有哪些解決策略；（3）試題變式、推廣和拓展. 通過(guò)幾方面的研究，把幾個(gè)問(wèn)題講透，可以做到事半功倍的效果.

高考考查學(xué)生的能力，題目設(shè)計(jì)往往是以能力立意. 作為教師，如果能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理，由此類對(duì)象的性質(zhì)想到彼類對(duì)象的性質(zhì)，從已知的具體結(jié)果出發(fā)，歸納、抽象出一般結(jié)論，然后再對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證和證明，那么我們的數(shù)學(xué)教學(xué)將會(huì)呈現(xiàn)出別開(kāi)生面的另一番景象，學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力就有機(jī)會(huì)得到真正的提升.