劉軍華

摘 要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，指的是引導(dǎo)學(xué)生通過操作、實(shí)踐、試驗(yàn)來進(jìn)行探索學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)形式. 《幾何畫板》提供了一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的虛擬實(shí)驗(yàn)室，在其中實(shí)現(xiàn)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，它的介入可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極參與，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的深層次理解，積累豐富的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，拓寬提高數(shù)學(xué)能力的途徑. 用《幾何畫板》開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，不僅會(huì)讓教師教得輕松，學(xué)生也會(huì)學(xué)得輕松，達(dá)到事半功倍的目的.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)；幾何畫板；自主探索

■引言

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，指的是引導(dǎo)學(xué)生通過操作、實(shí)踐、試驗(yàn)來進(jìn)行探索學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)形式.

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾精辟地指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué).” 要全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，就要在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分體現(xiàn)它的兩個(gè)側(cè)面，既重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式化、抽象化的一面，又重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中具體化、經(jīng)驗(yàn)化的一面，而后者對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育顯得更為重要. 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗(yàn)證猜想和創(chuàng)造性地解決問題的有效途徑，也是完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并使其全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)兩個(gè)側(cè)面的重要途徑.

然而在目前形勢(shì)下，數(shù)學(xué)教學(xué)往往過分強(qiáng)調(diào)形式化的邏輯推導(dǎo)和形式化的結(jié)果，而對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的展示和數(shù)學(xué)直觀性的背景關(guān)注較少，大量的時(shí)間花在講題與練題上，于是在學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)成了枯燥無味的公式、結(jié)論和習(xí)題的堆積，充滿美感和生機(jī)勃勃的數(shù)學(xué)學(xué)科喪失了它的本來面目，從而給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來了困難，難怪學(xué)生常常感嘆：“數(shù)學(xué)越學(xué)越難.” 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)這一認(rèn)知過程中是按照從具體到抽象、從感性到理性的認(rèn)識(shí)規(guī)律來認(rèn)知數(shù)學(xué)的，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是溝通具體到抽象、感性到理性的一座橋梁.

計(jì)算機(jī)多媒體的介入，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有了質(zhì)的飛躍，很多的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都可以利用計(jì)算機(jī)作為工具，借助它強(qiáng)大的計(jì)算和圖象處理能力，為抽象思維提供直觀模型，無論是作圖，還是計(jì)算，計(jì)算機(jī)都可以迅速完成. 正如江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)周金寶老師所說的：“事實(shí)上借用電腦以后，數(shù)學(xué)課就可以像物理、化學(xué)一樣上實(shí)驗(yàn)課.”

《幾何畫板》（The Geometers Sketchpad）是主要用于平面幾何、解析幾何、射影幾何、初等代數(shù)等教學(xué)的軟件平臺(tái). 《幾何畫板》以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過對(duì)這些基本元素的變換、構(gòu)造、測(cè)算、動(dòng)畫、跟蹤軌跡等，能顯示或構(gòu)造出較為復(fù)雜的圖形，把較為抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象形象生動(dòng)化，讓人在動(dòng)態(tài)中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的不變關(guān)系. 它提供了一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的虛擬實(shí)驗(yàn)室，在其中實(shí)現(xiàn)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，它的介入可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極參與，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深層次理解，積累豐富的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，拓寬提高數(shù)學(xué)能力的途徑.

《幾何畫板》是一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的軟件，其精髓在于，在變動(dòng)的狀態(tài)下保持不變的幾何關(guān)系，如某線段的中點(diǎn)在動(dòng)態(tài)中永遠(yuǎn)是中點(diǎn)，平行的直線在動(dòng)態(tài)中永遠(yuǎn)平行，這正是幾何研究所追求的.

利用這個(gè)工具，有些教學(xué)內(nèi)容可以在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生獨(dú)立或者分組進(jìn)行觀察和分析，不必用“教師講、學(xué)生聽”的傳統(tǒng)教學(xué)方式進(jìn)行，達(dá)到了既充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體的效果，是一個(gè)讓學(xué)生自主進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)的直觀環(huán)境，能創(chuàng)造出一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的新型課堂教學(xué)模式.

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)相結(jié)合進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的思想：從若干實(shí)例出發(fā)（包括學(xué)生自己設(shè)計(jì)的例子）→在計(jì)算機(jī)上做大量的實(shí)驗(yàn)→發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律→提出猜想→進(jìn)行證明.

■案例

案例一 （新授課）正弦函數(shù)y=Asin（Bx+C）的圖象變換

傳統(tǒng)教學(xué)手段下，正弦型函數(shù)圖象變換的教學(xué)困難主要在于耗時(shí)耗力，而且靜態(tài)的圖象無法生動(dòng)反映動(dòng)態(tài)的圖象變換過程.現(xiàn)在借助《幾何畫板》把這節(jié)課上成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，通過觀察和探索圖形的平移、縮放、反射等變換，化靜為動(dòng)，將正弦型函數(shù)y=Asin（Bx+C）的圖象變換過程動(dòng)態(tài)地演示給學(xué)生. 課堂教學(xué)中不僅很好地突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)，而且在使學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力上都起到了很好的作用.

如圖1，我們用《幾何畫板》來研究正弦函數(shù)y=Asin（Bx+C）的圖象變換.

■

圖1

1. y=sinx，y=2sinx，y=■sinx.

操作實(shí)驗(yàn)：拖動(dòng)點(diǎn)C，觀察正弦曲線如何變動(dòng)：

y=sinx→y=2sinx→y=■sinx→y=sinx.

觀察思考：A的變化從1→2→1→0.5→1.

通過實(shí)驗(yàn)我們可以得出規(guī)律，把正弦曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)0

2. y=sinx，y=sin2x，y=sin2x+■.

操作實(shí)驗(yàn)：（1）拖動(dòng)點(diǎn)F，觀察曲線如何變動(dòng)：y=sinx→y=sinx+■.

拖動(dòng)點(diǎn)J，觀察曲線如何變動(dòng)：y=sinx+■→y=sin2x+■.

（2）拖動(dòng)點(diǎn)J，觀察曲線如何變動(dòng)：y=sinx→y=sin2x.

拖動(dòng)點(diǎn)F，觀察曲線如何變動(dòng)：y=sin2x→y=sin2x+■.

觀察思考：實(shí)驗(yàn)（1）y=sinx圖象上的所有點(diǎn)向左平移了■個(gè)單位；

實(shí)驗(yàn)（2）y=sin2x圖象上的所有點(diǎn)向左平移了■個(gè)單位.

通過《幾何畫板》演示，我們可以講清y=sin（Bx+C）的圖象是由y=sinBx的圖象上各點(diǎn)向左（C>0）或向右（C<0）平移■個(gè)單位，而不是C個(gè)單位得到的.

“欲擒故縱”：若（2）中第二步向左平移■個(gè)單位，會(huì)得到什么呢？

利用《幾何畫板》對(duì)一些不易掌握的概念進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在《幾何畫板》的幫助下，讓學(xué)生比較快地掌握這些概念和基本的數(shù)學(xué)思想方法和幾何背景.

案例二 （研究性課題）△ABC的頂點(diǎn)在定圓O上運(yùn)動(dòng)，B，C固定，探求△ABC的外心W的軌跡.

（1）如圖2，用《幾何畫板》作圖，可得W的軌跡是位于BC中垂線上的一條線段.

再思考：肯定是線段嗎？

（2）若B點(diǎn)在圓O內(nèi)，則顯示W(wǎng)的軌跡是一條直線，也就是BC的中垂線.

（3）若B，C都在圓O內(nèi)，則顯示W(wǎng)的軌跡是兩條射線.

通過《幾何畫板》直觀的作圖，問題已經(jīng)有了結(jié)果，下面就需要建立數(shù)學(xué)模型來深入研究，因?yàn)閮H僅憑觀察、猜想、歸納的結(jié)論未必可靠.

首先建立坐標(biāo)系，以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的半徑長(zhǎng)作為單位長(zhǎng)，建立直角坐標(biāo)系.？搖

下面考慮B，C的位置，先考慮第一種情況，不失一般性，可取BC與y軸垂直.

現(xiàn)在用幾何畫板來探討引起△ABC外心W運(yùn)動(dòng)的原因是什么.

提示學(xué)生拖動(dòng)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)，讓大家體驗(yàn)引起動(dòng)點(diǎn)W變動(dòng)的原因是點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)，∠XOA的變化. 我們觀察到點(diǎn)C繞單位圓一周時(shí)，點(diǎn)W上下運(yùn)動(dòng)，有時(shí)A的不同位置會(huì)對(duì)應(yīng)著同一個(gè)點(diǎn)W，點(diǎn)W的軌跡是線段、直線還是射線，取決于點(diǎn)W縱坐標(biāo)范圍的形式.

以∠XOA弧度數(shù)為橫坐標(biāo)，yW為縱坐標(biāo)繪制點(diǎn)J，拖動(dòng)C，顯示點(diǎn)J的軌跡. 拖動(dòng)B或C，改變它們的位置，顯示點(diǎn)J軌跡的各種形狀.

■

圖3

我們令θ=∠XOA，建立θ與yW的函數(shù)關(guān)系：

設(shè)B（a，b），C（c，b）， A（cosθ，sinθ），AC的中點(diǎn)坐標(biāo)是■，■，AC的垂直平分線的方程為y=■·x-■+■，

在上式中，令x=■，得y=■，數(shù)學(xué)模型建立完畢.

可以用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證y是否等于yW.

討論：根據(jù)y=■，我們可以討論什么時(shí)候軌跡是線段、直線或射線.

把y=■整理為2ysinθ+（a+c）cosθ=2by-b2+ac+1，由asinx+bcosx=c有解，有4y2+（a+c）2≥4b2y2-4b（b2-ac-1）y+（a+c）2-（b2-ac-1）≥0，

（1）當(dāng)b2=1時(shí)，有-4abcy+（a+c）2-a2c2≥0（先討論最簡(jiǎn)單的情況）.

當(dāng)ac=0時(shí)，a，c不可能同時(shí)為零，有a2≥0，y∈R，點(diǎn)W的軌跡是一條直線.

當(dāng)ac≠0時(shí)，解集形式是{yy≤n}或者{yy≥m}（n

（2）當(dāng)b2>1時(shí)，不等式左邊判別式Δ=16[（b2-1）（a2+c2+b2-1）+a2c2]>0恒成立，不等式解集的形式是{yn≤y≤m}，點(diǎn)W的軌跡是一條線段.

（3）當(dāng)b2<1時(shí)，Δ=16[（b2-1）（a2+c2+b2-1）+a2c2]，

當(dāng)Δ>0時(shí)，點(diǎn)W的軌跡是兩條射線；

當(dāng)Δ<0時(shí)，點(diǎn)W的軌跡是一條直線；

當(dāng)Δ=0時(shí)，不等式左邊是完全平方式，即y+■■≥0，

若b（b2-ac-1）≠0，點(diǎn)W的軌跡是一條直線；

若b（b2-ac-1）=0，

①當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)y=■成為y=■，

若ac≠-1（b2-ac-1≠0），則點(diǎn)W的軌跡是一條直線.

若ac=-1（b2-ac-1=0），則函數(shù)式成為y=■=-■·cotθ.

當(dāng)a≠-c時(shí)，點(diǎn)W的軌跡是一條直線.

當(dāng)a=-c時(shí)，由b2-ac-1=0，得b2+a2=1，此刻必有a=-1，c=1或a=1，c=-1，y=0（使y2≥0成立），D，E在圓上，點(diǎn)W的軌跡是一個(gè)點(diǎn)，即圓心.

②當(dāng)b≠0時(shí)，b2-ac-1=0，函數(shù)式成為y=■.

注意到此刻Δ=16ac（a+c）2=0（ac≠0），否則b2=1，因此必有a=-c，y=0（使y2≥0成立），b2+a2=1，點(diǎn)D，E都在圓上，點(diǎn)W的軌跡是一個(gè)點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)告訴我們就是圓心.

總之，當(dāng)Δ=0時(shí)，除點(diǎn)D，E都在圓上，點(diǎn)W的軌跡是一個(gè)點(diǎn)外，其余都是一條直線.

對(duì)于點(diǎn)W的軌跡是直線或射線的情況，通過點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到直線BC附近，線段AB，AC垂直平分線幾乎平行，它們的交點(diǎn)在“無限遠(yuǎn)”處來解釋，加深理解.

案例三 （習(xí)題課）試問：當(dāng)且僅當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，對(duì)橢圓C1：■+■=1（a>b>0）上任意一點(diǎn)P，均存在以P為頂點(diǎn)，且與C0：x2+y2=1外切與C1內(nèi)接的平行四邊形？證明你的結(jié)論.

我們可以合理地運(yùn)用《幾何畫板》創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)為學(xué)生解決問題提供一些直觀的思維背景，常常能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的真諦，進(jìn)而為找到問題解決的思路及提出猜想提供直觀的依據(jù).

我們先用幾何畫板作出圖4：

為了尋找滿足條件的平行四邊形，不妨引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)驗(yàn)開始，先考查特殊情形，把點(diǎn)S拖到與點(diǎn)A重合的位置，把點(diǎn)P拖到與點(diǎn)B重合的位置. 如果這時(shí)平行四邊形還不與單位圓相切，則再拖動(dòng)點(diǎn)A，B進(jìn)行調(diào)整，直到平行四邊形PQRS與單位圓相切.

容易發(fā)現(xiàn)，這時(shí)單位圓與線段PQ的切點(diǎn)是直角三角形POQ的斜邊上的高的垂足.因此平行四邊形應(yīng)該滿足PQ×1=OA·OB（面積法），因?yàn)镺A= a，OB=b，而PQ=■，即■=a·b，也即■+■=1.

繼續(xù)前面的制作：

（1）[度量]點(diǎn)A的坐標(biāo)，分離點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，用文本編輯工具把x■改為a ；

（2）打開計(jì)算器，計(jì)算■，即b；

（3）用[選擇]工具選擇計(jì)算值■，并打開[圖表]菜單中的[繪制度量值]在彈出的[繪制度量值]對(duì)話框后，選擇“在縱（y）軸”，確定后畫出與y軸垂直的一條直線（直線s）；

（4）作出直線s與y軸的交點(diǎn)K；

（5）作點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)K的[→移動(dòng)B→K]按鈕，用文本編輯工具把“→移動(dòng)B→K”改為“答案”；

（6）隱藏點(diǎn)K與直線s，拖動(dòng)點(diǎn)Q，使直線PQ與單位圓相切.

用《幾何畫板》做實(shí)驗(yàn)，找出突破口后，我們現(xiàn)在進(jìn)行嚴(yán)格的證明.

證明：圓外切平行四邊形一定是菱形，圓心即菱形的中心，所求條件為■+■=1.

證明：（必要性）設(shè)P是橢圓C1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P（r1cosθ，r1sinθ），所以有Qr2cosθ+■，r2sinθ+■，其中OP=r1，OQ=r2. 代入橢圓方程，得

■+■=1，■+■=1，即■=■+■，■=■+■.于是■+■=■+■=■+■+■+■=■+■.

又菱形PQRS與單位圓C0外切，所以Rt△POQ斜邊PQ上的高h(yuǎn)=1，而h=■=■=■=■，所以■=1，即有■+■=1. （充分性）設(shè)■+■=1，P是橢圓C1上的任意一點(diǎn)，過P，Q作C1的弦PR，再過O作與PQ垂直的弦QS，則四邊形PQRS為橢圓C1的內(nèi)接菱形. 設(shè)OP=r1，OQ=r2，則P的坐標(biāo)為（r1cosθ，r1sinθ），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Qr2cosθ+■，r2sinθ+■. 代入橢圓方程，得■+■=1，■+■=1，即■=■+■，■=■+■，于是■+■=■+■=■+■+■+■=■+■=1，又在Rt△POQ中，斜邊PQ上的高h(yuǎn)=1，則h=■=■=■，所以h=1.

同理，點(diǎn)O到QR，RS，SP的距離都是1，所以菱形PQRS與單位圓C0外切.

■總結(jié)

從以上幾個(gè)案例可以看出，在運(yùn)用《幾何畫板》下，學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察、類比、歸納，親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建構(gòu)過程，所有的新知識(shí)通過自身的“再創(chuàng)造”，納如到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，成為有效而能發(fā)展的知識(shí).

可以想象學(xué)生束縛已久的想象力和創(chuàng)造力一旦被電腦所解放，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“妙手偶得”必然會(huì)成為源源不斷的“多得”和“必得”，數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育就不再是一個(gè)空洞的口號(hào).

用《幾何畫板》開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，不僅會(huì)讓教師教得輕松，學(xué)生也會(huì)學(xué)得輕松，達(dá)到事半功倍的目的，給學(xué)生提供了一個(gè)發(fā)展自己奇思妙想的好空間，使學(xué)生從學(xué)數(shù)學(xué)到做數(shù)學(xué)再到玩數(shù)學(xué)，隨之而來的是學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度上的變化，從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí)，再到創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的影響是深遠(yuǎn)的.