成效雨

摘 要：本文從反證法的理論基礎(chǔ)（反證法理論概述、邏輯依據(jù)、應(yīng)用步驟）的闡述出發(fā)，討論了在至多問題或者至少問題、存在性問題或者唯一性問題、不可能性問題中的相關(guān)反證法解題思路，并對反正法解題中應(yīng)該注意的問題進(jìn)行了分析和總結(jié). 在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)解題的過程中，應(yīng)該找準(zhǔn)方法，并正確而靈活的應(yīng)用，從而達(dá)到解題的最終目標(biāo).

關(guān)鍵詞：反證法；高中數(shù)學(xué)；歸謬方案；解題思路

[?] 反證法概述及其應(yīng)用步驟

不管是采取何種方法對數(shù)學(xué)題目進(jìn)行證明或者解答，只要思路清晰、推理正確、思維嚴(yán)謹(jǐn)，就都具有不錯的效果.在通往羅馬的道路上，運用反證法進(jìn)行歸謬分析，尋找矛盾，也是一種不錯的解題思路和方法. 要想正確地運用反證法進(jìn)行問題的分析和證明，需要首先對反證法的理論和應(yīng)用步驟了解清楚.

（一）反證法理論概述

反證法，還有一個稱呼是“歸謬法”，由于這種解題策略和方法的關(guān)鍵是進(jìn)行“歸謬”，故也可以稱之為“歸謬法”.在原有命題的條件下，對條件進(jìn)行肯定，對結(jié)論進(jìn)行否定. 在結(jié)論否定的前提下，進(jìn)行推理和分析，在推導(dǎo)的過程中，找出問題的矛盾，進(jìn)行歸謬分析，最終達(dá)到證明原有結(jié)論的目的.

（二）反證法邏輯依據(jù)

反證法的邏輯依據(jù)為，根據(jù)命題“若A則B”，首先肯定命題的條件A，否定命題的結(jié)論B，再根據(jù)矛盾律和排中律，找出條件A和否定過的B之間不可能同時存在的矛盾，從而肯定了命題“若A則B”. 也就是說，反證法為了證明某一結(jié)論的正確性，不選擇從證明出發(fā)進(jìn)行分析，而選擇從反面出發(fā)進(jìn)行探究，從而找出矛盾所在，進(jìn)行歸謬，得到本身命題的正確性的證明.

在運用反證法進(jìn)行問題的證明過程中，找出矛盾——歸謬是運用反證法進(jìn)行解題的關(guān)鍵. 所以，反證法也可以說是“歸謬法”. 另一方面，選取不同的角度進(jìn)行闡述的話，反證法也可以說是“簡單歸謬法”或者是“窮舉歸謬法”. “簡單歸謬法”是說結(jié)論的反面只有一種情況，“窮舉歸謬法”指的是命題結(jié)論的反面不止有一種情況，需要進(jìn)行窮舉證明.

（三）反證法應(yīng)用步驟

反證法的解題模式，可以簡單地歸納為“否定結(jié)論——進(jìn)行推理——得出矛盾”. 詳細(xì)地說，就是首先對結(jié)論進(jìn)行正確的否定，其次經(jīng)過思路清晰、邏輯縝密的推導(dǎo)過程來進(jìn)行邏輯推理，從而找出相關(guān)矛盾，達(dá)到歸謬的目的. 所以，反證法也可以說是“對否定的否定”. 具體應(yīng)用反正法解題的三個步驟為：步驟一、反設(shè)，對結(jié)論進(jìn)行反設(shè)，也就是做出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；步驟二、歸謬，在反設(shè)結(jié)論的前提下，通過一系列正確的推理和邏輯縝密的推導(dǎo)，得出相關(guān)矛盾；步驟三、結(jié)論，通過歸謬，得出結(jié)論的正確性，最終問題得以解決.

[?] 反證法在高中解題過程中的應(yīng)用實踐

（一）至多（少）問題的歸謬方案

例1 對于x，y這兩個正整數(shù)而言，x+y>2，請證明<2或者是<2至少有一個結(jié)論成立.

分析：對于這類至少或者至多的問題，可以從反面進(jìn)行假設(shè)，設(shè)定其結(jié)論都不成立，并經(jīng)過分析和推導(dǎo)，找出矛盾點，最后獲得問題的答案.

證明：首先假設(shè)<2或者是<2都不成立，也就是≥2和≥2都成立. 由這個都成立，得出1+x≥2y，1+y≥2x，從而x+y<2.這個結(jié)論與題設(shè)中的x+y>2相互矛盾，從而得出原來結(jié)論的正確性.

點評：經(jīng)過上述這道例題的分析，可以知道，對于這個至少、至多的問題，可以采取假設(shè)法，從其對立面進(jìn)行假設(shè)分析并推導(dǎo)證明，最后獲得與“與部分題設(shè)相矛盾”的矛盾，從而反向證明了原來結(jié)論的正確性.對于這類問題，運用的是“與部分題設(shè)相矛盾”的歸謬方案來進(jìn)行的反證過程.

（二）存在性類型問題的歸謬方案

例2 請證明5x=12只有唯一解.

分析：對于“唯一解”或者是“存在性”相關(guān)的問題，可以選擇反證法，將其結(jié)論進(jìn)行反向假設(shè)，并根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行縝密的推導(dǎo)和邏輯思維的分析，從而找出相關(guān)問題之間的矛盾，進(jìn)行歸謬，證明出原有命題結(jié)論的正確性.

證明：假設(shè)5x=12的解不是唯一的，先假設(shè)還有另外一個解存在，那么5x1=12和5x2=12都能成立，那么=1，也就是5x1-x2=1，根據(jù)數(shù)學(xué)書本上相關(guān)定義，得出x1-x2=0，即x1=x2，與假設(shè)的有兩個根不相符合，從而得出原有題設(shè)的正確性，即5x=12只有唯一解.

點評：在對這樣的存在性或者是唯一性命題進(jìn)行分析和思考的過程中，可以選取反證法來進(jìn)行歸謬，將“存在”理解為“至少有一個”，那么它的反面就是“一個也沒有”；將“唯一”理解為“有一個且只有一個”，對其反面進(jìn)行分析，就是“有一個以上”，即“至少有兩個”. 通過這樣的反面結(jié)論的假設(shè)，從而將結(jié)論進(jìn)行否定，經(jīng)過分析推導(dǎo)，得出與原有條件或者真命題相互違背的謬論，最終獲得原命題正確性的驗證.[?] 應(yīng)用反證法應(yīng)該注意的問題

反證法不是萬能的，但是對于某些問題，運用反證法自然有它自身的優(yōu)勢和作用，會帶來柳暗花明又一村的效果.當(dāng)然，運用反證法也應(yīng)該注意其內(nèi)在的一些關(guān)鍵問題，下面進(jìn)行反證法注意事項的分析.

（一）對結(jié)論應(yīng)該進(jìn)行正確否定

對結(jié)論進(jìn)行正確的否定是運用反證法解題的第一步，也是比較關(guān)鍵的一步，它決定了證明過程以及思路的開展策略. 因此進(jìn)行正確的結(jié)論否定相當(dāng)重要. 比如，在對命題“三角形至多有一個直角”進(jìn)行否定時，根據(jù)分析，得出“至多”的含義是“沒有”或者是“只有一個”，從而對結(jié)論進(jìn)行反證應(yīng)該是“三角形中至少有兩個直角”.

（二）需要對推理特點進(jìn)行明確

對于反證法的開展過程，應(yīng)該進(jìn)行明確的推理，找到矛盾的關(guān)鍵，最終才能達(dá)到證明的目的. 首先否定結(jié)論，其次找到矛盾，這就是反證法的一般思路. 但是，一般的矛盾都是不可預(yù)測的，并且在高中數(shù)學(xué)證明題或者是其他類型題目的解答過程中，并沒有模版性思路，從而學(xué)生需要對反證法進(jìn)行自我歸納和分析. 在進(jìn)行反證過程中，一般與相關(guān)領(lǐng)域相結(jié)合進(jìn)行思考，比如，平面幾何問題的證明一般是找出與真命題（公理、定理或者是定義）相矛盾，運用與真命題矛盾的歸謬方案等等. 在進(jìn)行推理前，并不需要規(guī)定會產(chǎn)生什么矛盾，而首先必須做的就是正確地否定結(jié)論，以此來推導(dǎo)相關(guān)問題，做到步步為營，步步有理有據(jù)，從而根據(jù)矛盾的大致方向，找出矛盾之處，獲得問題的解答.

（三）熟練運用并了解矛盾種類

一些學(xué)生可能對反證法的思想和運用方法感覺到輕車熟路，有些學(xué)生又或許會覺得繞來繞去，自己已經(jīng)被繞糊涂了，就更不用說去證明問題了. 而針對這些問題，就需要學(xué)生多進(jìn)行平常的解題訓(xùn)練，有意識地將反證法的思想融入解題策略中，并加以實踐證明，從而總結(jié)出心得體會. 比較關(guān)鍵的一點是，需要對矛盾種類熟練掌握，從而才能確保推導(dǎo)過程的順利進(jìn)行. 經(jīng)過總結(jié)，反證法的矛盾種類可能是與題設(shè)或者是部分題設(shè)相矛盾，也可能是與真命題相矛盾，還可能是與臨時的假設(shè)相矛盾. 真命題包括定理、定義、公理或者是性質(zhì)等. 找出矛盾種類，就是找到了反證法的“題眼”，也就能夠確保反證法過程的順利開展.

總結(jié)：經(jīng)過上文的分析可以得出，在對高中數(shù)學(xué)一些至多（少）、存在性、不可能相關(guān)問題進(jìn)行證明的過程中，借助反證法是具有不錯的效果的. 反證法是從問題的結(jié)論出發(fā)，做出與問題結(jié)論相反的假設(shè)，并通過歸謬的方法，找出矛盾的某些方面，也就是得到反設(shè)不成立，最終達(dá)到證明結(jié)論的目的. 針對某些特殊題型運用反證法，關(guān)鍵目標(biāo)是進(jìn)行歸謬，關(guān)鍵問題是找出謬點，從而達(dá)到證明問題結(jié)論正確性的目的. 在今后的高中數(shù)學(xué)解題過程中，教師應(yīng)該多注重對學(xué)生思維擴散能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生采取合適的、不同的方法進(jìn)行解題和思考，從而提升學(xué)生的解題能力，促進(jìn)學(xué)生各方面能力的綜合提升.