閆璽璽　劉琨

摘 要： 依據(jù)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的特點(diǎn)與現(xiàn)狀，對(duì)該課程的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類，從基礎(chǔ)知識(shí)的講授、理論與應(yīng)用的結(jié)合、實(shí)踐環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)及學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)四個(gè)方面對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行探討，對(duì)信息安全學(xué)科發(fā)展、課程建設(shè)及人才培養(yǎng)等方面具有一定的借鑒作用。

關(guān)鍵詞： 《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)方法

1.引言

信息安全學(xué)科是一門(mén)新興的交叉學(xué)科，涉及通信學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息學(xué)、法律和數(shù)學(xué)等多個(gè)學(xué)科，主要研究確保信息安全的科學(xué)與技術(shù)，培養(yǎng)能夠從事計(jì)算機(jī)、通信、電子商務(wù)、電子政務(wù)、電子金融等領(lǐng)域的信息安全高級(jí)專門(mén)人才[1-3]。信息安全的理論基礎(chǔ)是密碼學(xué)，信息安全的問(wèn)題根本解決往往依靠密碼學(xué)理論。密碼學(xué)是一門(mén)數(shù)學(xué)背景極強(qiáng)的綜合性學(xué)科，數(shù)學(xué)理論在當(dāng)前的密碼學(xué)研究中發(fā)揮重要作用，包括數(shù)論、群論、組合邏輯、復(fù)雜度理論、遍及理論及信息論等。因此，信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在信息安全中占據(jù)舉足輕重的地位，是整個(gè)學(xué)科專業(yè)的理論基礎(chǔ)。對(duì)于信息安全專業(yè)的學(xué)生而言，信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)今后密碼學(xué)的深入學(xué)習(xí)具有基礎(chǔ)性的作用。

圖1 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與密碼學(xué)的關(guān)系

2.課程的特點(diǎn)與現(xiàn)狀

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作為一門(mén)數(shù)學(xué)課，其自身的理論性是毋庸置疑的，但是它又有區(qū)別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程的地方。筆者在講授該門(mén)課程的過(guò)程中對(duì)其特點(diǎn)與現(xiàn)狀總結(jié)如下：

（1）信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程課時(shí)緊，內(nèi)容多、難度大，涉及數(shù)論、代數(shù)和橢圓曲線論等數(shù)學(xué)理論。由于有關(guān)數(shù)論、代數(shù)和橢圓曲線論等方面的課程多半是針對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握有所欠缺，很多內(nèi)容都是新知識(shí)，學(xué)習(xí)難度相對(duì)有點(diǎn)大，理解起來(lái)比較困難。因此，該門(mén)課程很容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏懼情緒，在學(xué)習(xí)過(guò)程中疏于研究和探索，理論基礎(chǔ)掌握不夠扎實(shí)。

（2）信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程主要是為密碼學(xué)技術(shù)提供理論基礎(chǔ)，其本身就是為了利用基礎(chǔ)理論解決實(shí)際應(yīng)用中信息安全領(lǐng)域的問(wèn)題。如果在課堂中只強(qiáng)調(diào)理論知識(shí)的講授（如定理的證明，公式的推導(dǎo)等），將導(dǎo)致學(xué)生忽略與信息安全工程實(shí)踐的應(yīng)用，不清楚學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)理論能干什么、在什么地方用、怎么用、這種方法的優(yōu)點(diǎn)是什么等問(wèn)題，很難為以后學(xué)習(xí)密碼學(xué)技術(shù)打好基礎(chǔ)。

（3）信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是具有變化性、發(fā)展性的一門(mén)課程，書(shū)本上的知識(shí)往往滯后于信息安全技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用[1-3]，許多新的理論已經(jīng)不再適用，而新的理論卻未能在課本上更新。因此，這就要求老師在講授課本上的基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，關(guān)注最新信息安全技術(shù)的發(fā)展，使學(xué)生明白信息安全技術(shù)沒(méi)有絕對(duì)的安全性，需要不斷地提出新的算法、新的技術(shù)，從而引導(dǎo)學(xué)生探索信息安全相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)。

綜上所述，結(jié)合該門(mén)課程的特點(diǎn)與現(xiàn)狀，需要改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)授課方式，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生在牢固掌握該課程理論知識(shí)的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)其解決實(shí)際信息安全問(wèn)題的能力。因此，如何創(chuàng)造一種全新的教學(xué)方法，已成為信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教師需要深入探索的一個(gè)課題和挑戰(zhàn)。

3.教學(xué)內(nèi)容分析

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是信息安全專業(yè)的基礎(chǔ)課，對(duì)學(xué)生深入學(xué)習(xí)密碼學(xué)相關(guān)知識(shí)，尤其是公鑰密碼算法和數(shù)字簽名算法具有重要意義。因此，講授該課程時(shí)，需要重點(diǎn)講授基礎(chǔ)知識(shí)，概括介紹前沿知識(shí)，同時(shí)注重理論與實(shí)踐的相結(jié)合。

根據(jù)陳恭亮教授編寫(xiě)的《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》[4]這本教材，該課程需要講授歐幾里得除法、模同余、歐拉定理、中國(guó)剩余定理、二次同余、原根、有限群、有限域、橢圓曲線等諸多內(nèi)容。因此，圍繞密碼學(xué)所涉及的數(shù)論、近世代數(shù)和橢圓曲線論等數(shù)學(xué)理論，我們將該課程內(nèi)容分為（見(jiàn)表）：

表 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程內(nèi)容分類

4.教學(xué)方法的探索與體會(huì)

教師是課堂教學(xué)的策劃者，要上好信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這門(mén)課，教師必須針對(duì)該課程的特點(diǎn)和內(nèi)容，制訂好教學(xué)方案，激發(fā)學(xué)生的興趣，提高學(xué)生的積極性，為密碼學(xué)技術(shù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。現(xiàn)將自己對(duì)該課程的教學(xué)體會(huì)總結(jié)如下：

（1）以基礎(chǔ)知識(shí)為核心，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)理論知識(shí)，提高學(xué)生的積極性。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程內(nèi)容多、分散且抽象，對(duì)于工科學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解起來(lái)相對(duì)比較困難。初等數(shù)學(xué)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，可以講得快一些，通過(guò)例子向同學(xué)們介紹其應(yīng)用。如講授模運(yùn)算中模逆元的概念時(shí)，我們可以將其與學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的“倒數(shù)”進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)對(duì)比幫助學(xué)生理解模逆元的概念，如倒數(shù)3*1/3=1，而模逆元3*5 mod 7=1。近世代數(shù)中群、環(huán)、域的概念比較抽象，教師可以將較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一些容易的小問(wèn)題，采用歸納法對(duì)三者之間的聯(lián)系和區(qū)別進(jìn)行概括（如圖2），幫助學(xué)生加深理解。橢圓曲線論需要把橢圓曲線的物理意義及其應(yīng)用講清楚。

圖2 群、環(huán)、域的關(guān)系

同時(shí)，為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，可以在課堂中引入數(shù)學(xué)史的講解及一些數(shù)學(xué)家的故事，比如講中國(guó)剩余定理時(shí)，可以講講韓信點(diǎn)兵的背景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（2）以密碼學(xué)應(yīng)用為出發(fā)點(diǎn)，采用啟發(fā)式教學(xué)的方式引導(dǎo)學(xué)生將理論與應(yīng)用相結(jié)合。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的目的是引導(dǎo)學(xué)生將信息安全數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到實(shí)際的密碼學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，所以，老師應(yīng)該改變傳統(tǒng)的“滿堂灌”的教學(xué)模式，運(yùn)用啟發(fā)式的教學(xué)方式，介紹問(wèn)題的來(lái)源、研究的方法等，使得學(xué)生清楚“學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)理論能干什么、在什么地方用、怎么用”等問(wèn)題。

圍繞著密碼學(xué)所涉及的技術(shù)和算法[5]，我們可以向?qū)W生講述信息安全數(shù)學(xué)理論和密碼學(xué)應(yīng)用之間的聯(lián)系，如講授歐拉函數(shù)和歐拉定理時(shí)，可以介紹其在RSA公鑰密碼算法中的具體應(yīng)用；講授中國(guó)剩余定理時(shí)，可以通過(guò)引出問(wèn)題：假設(shè)5個(gè)人中每個(gè)人都知道一個(gè)秘密的部分內(nèi)容，想要恢復(fù)出秘密的全部信息，至少需要3個(gè)人聯(lián)合起來(lái)（密碼學(xué)中的門(mén)限方案），使得學(xué)生了解中國(guó)剩余定理的應(yīng)用。信息安全數(shù)學(xué)理論與密碼學(xué)的服務(wù)關(guān)系如圖3所示，其中箭頭表示服務(wù)與被服務(wù)的關(guān)系。

（a）數(shù)論部分與密碼學(xué)的服務(wù)關(guān)系

（b）近世代數(shù)部分與密碼學(xué)的服務(wù)關(guān)系

圖3 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與密碼學(xué)的服務(wù)關(guān)系

（3）精心設(shè)計(jì)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，發(fā)揮工科學(xué)生特長(zhǎng)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是針對(duì)工科學(xué)生開(kāi)設(shè)的一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，僅講授課本上的知識(shí)很難使學(xué)生對(duì)課本吃透，因此，需要發(fā)揮工科學(xué)生的特長(zhǎng)，精心設(shè)計(jì)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中有很多相對(duì)復(fù)雜且抽象的算法，單靠課堂上的理論講解是很難讓學(xué)生掌握的，因此，可以適當(dāng)?shù)匕才乓恍┚幊套鳂I(yè)。如講授歐幾里得算法時(shí)，可以要求學(xué)生利用編程知識(shí)實(shí)現(xiàn)該算法，既鍛煉學(xué)生的編程能力，又加深學(xué)生對(duì)歐幾里得算法的深刻理解。另外，結(jié)合信息安全實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的一些問(wèn)題，讓學(xué)生自己思考會(huì)用到哪些學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)小組討論和匯總，使學(xué)生在充分理解理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)獨(dú)立思考，靈活解決實(shí)際問(wèn)題。

（4）采取引導(dǎo)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，探索前沿性知識(shí)。近些年來(lái)，隨著信息網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的日益普及和商業(yè)需求的提高，密碼學(xué)的研究和應(yīng)用愈來(lái)愈熱。教科書(shū)上的知識(shí)已經(jīng)很難滿足信息安全技術(shù)的應(yīng)用，以教科書(shū)為主的教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)很難達(dá)到高等教育的任務(wù)和目標(biāo)。這就需要老師不能僅僅傳授課本上的基礎(chǔ)知識(shí)，而需要采取引導(dǎo)式教學(xué)，將信息安全領(lǐng)域的最新技術(shù)作為例子引入到課堂，和學(xué)生進(jìn)行開(kāi)放式探討，帶學(xué)生進(jìn)入學(xué)科前沿，激發(fā)學(xué)生的探索能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題。另外，在教學(xué)過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生自主探索國(guó)內(nèi)外信息安全領(lǐng)域的最新動(dòng)向，使學(xué)生明白任何技術(shù)或算法不是一成不變的，需要不斷地創(chuàng)新和發(fā)展以適應(yīng)國(guó)家信息化進(jìn)程的需要，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)。

5.結(jié)語(yǔ)

《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》在信息安全中占據(jù)舉足輕重的地位，是整個(gè)學(xué)科專業(yè)的理論基礎(chǔ)。筆者分析了信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的特點(diǎn)與現(xiàn)狀，針對(duì)該課程的教學(xué)內(nèi)容，從基礎(chǔ)知識(shí)的講授、理論與應(yīng)用的結(jié)合、實(shí)踐環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)及學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)四個(gè)方面對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行探討。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐表明，該教學(xué)方法取得良好的效果，學(xué)生對(duì)信息安全表現(xiàn)出濃厚興趣，考試成績(jī)基本符合正態(tài)分布，為現(xiàn)代密碼學(xué)技術(shù)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。由于信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍是一門(mén)新興的課程，很多問(wèn)題仍需要進(jìn)一步探討，在今后的教學(xué)中還需要不斷改進(jìn)教學(xué)模式，提高教學(xué)質(zhì)量，為培養(yǎng)滿足社會(huì)需要的優(yōu)秀人才而努力。

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