何成達

摘 要：歷史表明，重要的數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用是不可估量的，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的重要組成部分，又是其基礎(chǔ)和基本技能的核心，清晰的數(shù)學(xué)概念是思維的前提，又是判斷推理的基礎(chǔ)。闡述在教學(xué)中如何讓學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；了解；明確；鞏固

數(shù)學(xué)概念是思維的細胞，是感性認識飛躍到理性認識的結(jié)果，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生形成正確數(shù)學(xué)觀的重要理論依據(jù)。由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和確定性，因此在新課程理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)活動，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動，通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程。據(jù)此對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)足夠重視。教學(xué)中怎樣才能使學(xué)生更有效地學(xué)好數(shù)學(xué)概念呢？

一、使學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景，領(lǐng)略大師之智慧

很多數(shù)學(xué)概念的形成都有相關(guān)背景。如牛頓對力學(xué)的研究促進了微積分的發(fā)明，在解代數(shù)方程的過程中產(chǎn)生了虛數(shù)，功的計算就是向量數(shù)量積的物理背景。眾所周知，豐富多變的現(xiàn)實世界和實際生活也是數(shù)學(xué)概念的來源之一。很多數(shù)學(xué)概念在生活中就有原型，如出租車、手機計費問題就是函數(shù)的實例。學(xué)生通過對概念的歷史背景、專業(yè)背景、生活背景的了解，認清數(shù)學(xué)家發(fā)明、發(fā)現(xiàn)的動因，觸及隱藏在概念中的數(shù)學(xué)家們的思想方法，領(lǐng)略大師們的智慧和閃亮之處。激發(fā)學(xué)生認知內(nèi)驅(qū)力，激活學(xué)生的思維或興趣，創(chuàng)造性地發(fā)揮學(xué)生潛能。

二、明確概念的內(nèi)涵和外延，辨明相關(guān)概念之間的關(guān)系

概念的內(nèi)涵是反映在概念中的對象的本質(zhì)屬性，外延是具有概念所反映本質(zhì)屬性的對象。挖掘新概念的內(nèi)涵與外延是學(xué)習(xí)概念的必有過程。有些概念由于其內(nèi)涵豐富多樣、外延廣泛，表述抽象，應(yīng)用多變，邏輯性強，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。概念教學(xué)中要以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。然后聯(lián)系實際，研究概念發(fā)生的條件范圍，剖析其中隱含的各種關(guān)系，聯(lián)想有關(guān)的實物、圖形，掌握本質(zhì)屬性，加深對概念的理解，明確其內(nèi)涵。同時不能忽略對概念的外延學(xué)習(xí)，要認清概念所反映對象的各種類型，進而辨析各種類型之間的關(guān)系，尋找它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，這樣才能系統(tǒng)地掌握概念，對概念有一個整體把握。中學(xué)教材中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性，然后構(gòu)建新知識生成的空間，引導(dǎo)學(xué)生去感受、去類比、去體驗，讓教學(xué)知識在積極的教學(xué)體驗、比較中形成。在尋找新舊概念之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上掌握概念。數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系，如平行線段與平行向量、平面角與空間角、方程與不等式、映射與函數(shù)等等，在教學(xué)中應(yīng)善于尋找、分析其聯(lián)系與區(qū)別，有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)。概念精細化是完善概念教學(xué)的保證。在概念形成的基礎(chǔ)上，對所學(xué)概念進行適當(dāng)拓展，有時甚至?xí)龀瞿撤N推論，這個過程被認知心理學(xué)家稱為“精致”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“精致”的實質(zhì)是對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延進行盡量詳細的“深加工”。對“概念要素”進行具體界定，以使學(xué)生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，恰當(dāng)?shù)亟M合正例和反例，加強辨析。正例適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的初始階段，比較有利于學(xué)生區(qū)分、鑒別和概括概念的本質(zhì)屬性；反例提供了最有利于辨別的信息，適當(dāng)使用不但會使學(xué)生對概念的理解更精確，而且可以排除無關(guān)特征的干擾，對概念的細節(jié)把握更加準(zhǔn)確，預(yù)防不必要的混淆，從而達到學(xué)生對概念更透徹地理解和認識。

三、重視同一概念的多種表達方式，多角度認識概念

同一概念往往有不同的表述方式，可用語言文字表達，也可用數(shù)學(xué)符號表述，也可用圖象、表格等形式表述。文字表達的數(shù)學(xué)概念精練、簡明、準(zhǔn)確，所以對有些數(shù)學(xué)概念的辨析要“咬文嚼字”。數(shù)學(xué)符號表達的概念，簡潔明了，易記易用；圖形表示的概念直觀、形象，便于觀察、聯(lián)想。比如，等差數(shù)列的文字定義為：一個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列。符號表達式為：an-an-1=d（d為常數(shù)，n≥2）?；蛘?an=an+1+an-1

（n≥2）。再如，二次函數(shù)的表達式有：一般式、頂點式、交點式。函數(shù)概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運動變化的觀點出發(fā)，其中的對應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個取值，與唯一確定的函數(shù)值對應(yīng)起來；另一種是高中給出的定義，是從集合、對應(yīng)的觀點出發(fā)，其中的對應(yīng)關(guān)系是將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應(yīng)起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)可用圖象、表格、公式等表示，所以高中用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，更具有一般性。認真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應(yīng)關(guān)系本質(zhì)也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同，所以兩種函數(shù)的定義，本質(zhì)是一致的。當(dāng)然，不同表述方法各有優(yōu)點。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，掌握同一概念的多種表示方法，從多角度認識概念，以便在解決具體問題時靈活選用，提高應(yīng)用概念的能力。

四、嘗試使用相關(guān)概念解決有關(guān)問題，鞏固、加深對概念的理解

很多學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)只停留在概念的記憶上，而忽略了對

概念的理解和應(yīng)用。只有在應(yīng)用過程中，大腦才能高速運轉(zhuǎn)，才能不斷地分析、綜合，對獲取的信息不斷地加工、整理，進而進行判斷推理。通過應(yīng)用既能加深對概念的理解，又能提高分析解決問題的能力。數(shù)學(xué)概念形成之后，通過具體例子，說明概念的內(nèi)涵，認識概念的“原型”，引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問題中的作用，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的鞏固以及解題能力的形成。在實際教學(xué)中，一定程度上存在著為概念而概念的想法，把數(shù)學(xué)中的概念與定理、公式和基本訓(xùn)練割裂開來，甚至對立起來。有的教師認為講清概念，就是講清課本中的一些定義或者名詞、術(shù)語，滿足于使學(xué)生記住，甚至熟背這些定義或者名詞、術(shù)語。雖然在定理、公式教學(xué)中，必須涉及有關(guān)概念，但并不自覺，更不能有意識地使學(xué)生加深對概念的理解。學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的目的不明確，產(chǎn)生學(xué)而無用的想法，這也是學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握不能鞏固，不善于應(yīng)用的一個主要原因。因此，運用數(shù)學(xué)概念解決問題是概念鞏固、升華的過程。

五、總結(jié)提煉，使概念系統(tǒng)化

不會總結(jié)，就不會進步。只有不斷總結(jié)，才能使所學(xué)概念條理化、系統(tǒng)化，使其內(nèi)容更為精煉，更容易記憶和掌握。數(shù)學(xué)的概念是很抽象的，要使學(xué)生掌握它，并靈活應(yīng)用，絕不是一件簡單的事。如果忽視了概念系統(tǒng)化和精細化工作，學(xué)生就只能一知半解，不成體統(tǒng)。學(xué)生獲得某些概念需要經(jīng)過從局部到整體、由淺入深的過程，一下子就求全求深，學(xué)生反而不能掌握，造成概念模糊。只有在學(xué)習(xí)、應(yīng)用過程中不斷體會、總結(jié)、提煉，才能使概念系統(tǒng)化。比如，基本初等函數(shù)是函數(shù)的下位概念。我們可總結(jié)提煉為一張概念圖來表示函數(shù)的概念系統(tǒng)。

總之，中學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出了與時俱進地認識“雙基”的基本理念，而概念教學(xué)是“雙基”教學(xué)的重要組成部分，通過概念教學(xué)使學(xué)生認識概念、理解概念、鞏固概念、應(yīng)用概念，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的。只有真正使學(xué)生在參與過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗和創(chuàng)造，才能達到認識數(shù)學(xué)思想的目的。

參考文獻：

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編輯 張珍珍