江蘇 陸憲毅

1 問題背景

2009年教育部頒布了《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（下稱《新大綱》），大綱指出，數(shù)學(xué)課程的任務(wù)是：使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，具備必需的相關(guān)技能與能力，為學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。新大綱的主要特點(diǎn)是：精選內(nèi)容，降低難度，強(qiáng)化技能，突出應(yīng)用；根據(jù)職業(yè)教育的特點(diǎn)，構(gòu)建彈性教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)；實(shí)施多元化評(píng)價(jià)，突出評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用。

二次曲線屬于《新大綱》拓展模塊第二單元的內(nèi)容，大綱指出：本單元教學(xué)，要結(jié)合科技、生活中的實(shí)例來引入概念，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能和數(shù)學(xué)思維能力。二次曲線作為拓展模塊的內(nèi)容，從歷年來的教學(xué)情況看，學(xué)習(xí)難度大，學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的理解容易浮游在表象，難以把握其本質(zhì)。因此，研究如何讓中職學(xué)生順利掌握二次曲線的內(nèi)容，便顯得尤為迫切和重要。

2 問題分析

二次曲線，也稱之為圓錐曲線，主要包括橢圓，雙曲線，拋物線，其是解析幾何的核心內(nèi)容，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析幾何所必備的基礎(chǔ)知識(shí)。二次曲線的學(xué)習(xí)，首先要碰到的是對(duì)其概念的學(xué)習(xí)。

目前，大多數(shù)教師在二次曲線的引入方式上，一般依照教材給出的方法進(jìn)行演示或直接給出概念的定義，教師多為課堂教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程的絕對(duì)掌控者，學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的較多，在概念的理解上較為困難，達(dá)不到預(yù)期的效果，給后續(xù)的教學(xué)帶來了障礙和隱患。

目前，數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有可操作性的研究成果主要有以下幾種：概念同化教學(xué)模式、APOS概念教學(xué)理論模型、概念教學(xué)七階段模式、概念圖模式等。經(jīng)過認(rèn)真分析和比較，筆者基于APOS概念教學(xué)理論模型對(duì)中職數(shù)學(xué)二次曲線的概念教學(xué)做了實(shí)踐性的探究，并著力解決下面3個(gè)問題。

問題一：什么是APOS概念教學(xué)理論模型？

問題二：APOS概念教學(xué)理論對(duì)中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)有何啟示？

問題三：如何設(shè)計(jì)基于APOS模型的中職數(shù)學(xué)二次曲線的概念教學(xué)。

3 APOS概念教學(xué)理論模型

建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過程，學(xué)習(xí)是一個(gè)雙向建構(gòu)的活動(dòng)過程，即一方面學(xué)習(xí)者對(duì)新信息的理解是借助已有經(jīng)驗(yàn)，超越所提供的新信息而建構(gòu)的，另一方面當(dāng)新信息進(jìn)入已有經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)后，對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)也要產(chǎn)生影響，導(dǎo)致經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的重組和改造。

APOS理論是20世紀(jì)80年代美國的杜賓斯等人在建構(gòu)主義背景下提出的關(guān)于概念教學(xué)的一種理論模型。杜賓斯認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程其實(shí)是一種自我心理建構(gòu)的過程,在這個(gè)過程中學(xué)生只有調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或改造外部的認(rèn)知結(jié)構(gòu),使得主客觀彼此一致，才能建構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

此建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個(gè)階段：操作（Action）階段、過程（Process）階段、對(duì)象（Object）階段、概型（Scheme）階段。為了便于描述，將這4個(gè)階段英文單詞的首字母組合在一起，簡(jiǎn)稱APOS理論。

A階段（操作階段）：直觀體驗(yàn)、觀察比較階段。一般以直觀的圖像、表格或具體事件作為概念切入點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生觀察并枚舉出類似事件，即通過對(duì)數(shù)學(xué)個(gè)體的一步一步的顯性變換來增強(qiáng)其對(duì)概念的直觀感受（如數(shù)平方變換等）。

P階段（過程階段）：思考內(nèi)化、梳理規(guī)律階段。學(xué)生對(duì)A階段的事例進(jìn)行進(jìn)一步的觀察、思考，梳理和歸納出事物間的一般聯(lián)系和規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言加以描述。

O階段（對(duì)象階段）：形成對(duì)象、概念初成階段。學(xué)生經(jīng)歷多次A階段和P階段后，通過不斷的抽象和概括，得到形式化的定義和符號(hào)即對(duì)象（Object），說明概念已初成型。

S階段（概型階段）：抽象升華、圖式形成階段。包括形成反映概念的特例抽象、過程定義和符號(hào)。這需要通過反復(fù)的APOS，通過對(duì)概念的內(nèi)涵和外延的不斷深化和理解，才能進(jìn)入更高層次的概型S，最終形成更成熟的、綜合的心理圖式。

APOS理論的優(yōu)點(diǎn)在于清晰的層次性和可操作性。四個(gè)階段中，AP兩個(gè)階段是概念學(xué)習(xí)的第一個(gè)層次，體現(xiàn)了事物的“量”的特性，要求學(xué)生在具體事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并且可以多次AP，為下一層次的到來做好充分準(zhǔn)備。OS兩個(gè)階段是概念學(xué)習(xí)的第二個(gè)層次，體現(xiàn)了事物“質(zhì)”的飛躍，學(xué)生對(duì)概念的理解已經(jīng)脫離了具體的內(nèi)容，形成符號(hào)化印跡和心理圖式，既是本次APOS的成果，也是下一次APOS的新起點(diǎn)，體現(xiàn)了APOS的良性可循環(huán)性。由于APOS理論的清晰的層次性，使得概念教學(xué)的前期準(zhǔn)備和實(shí)施過程也能有條不紊，有的放矢。APOS理論的層次性和可操作性為概念教學(xué)的提供了寶貴的理論和工具支撐。

4 APOS概念教學(xué)理論模型對(duì)中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)的啟示

根據(jù)APOS理論的特點(diǎn)，中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)也應(yīng)采取逐層漸進(jìn)的方式，并以此為基礎(chǔ)，有效提升二次曲線教學(xué)效果，操作要點(diǎn)和教學(xué)策略如下表：

表1 基于APOS理論的中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)操作要點(diǎn)和教學(xué)策略

5 基于APOS模型的“橢圓的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓屬于《新大綱》拓展模塊第2單元橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)容。《新大綱》指出“第2單元橢圓、雙曲線、拋物線”重點(diǎn)是要結(jié)合科技、生活中的實(shí)例來引入概念；培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能和數(shù)學(xué)思維能力；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。結(jié)合大綱要求和學(xué)生觀實(shí)際情況，將本節(jié)內(nèi)容設(shè)計(jì)如下：

A階段（操作階段）：

A1（操作1）用多媒體重復(fù)演示橢圓的實(shí)例圖片（汽車油罐橫截面輪廓、行星和衛(wèi)星運(yùn)行的軌道、傾斜水杯中水面的邊界、圓形物體的斜投影等），引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片，積極思考，尋找特點(diǎn)，找出其中都包含的典型圖形（橢圓），并鼓勵(lì)學(xué)生自己組織語言進(jìn)行大概的描述。

A2（操作2）鼓勵(lì)學(xué)生列舉生活中包含橢圓的具體事例，加深其對(duì)橢圓的直觀感受。

A3（操作3）教師演示圖釘法作橢圓。即取兩只圖釘把它釘在黑板上，取一條定長(zhǎng)的繩子并把它的兩端固定在這兩個(gè)釘子上（繩長(zhǎng)的長(zhǎng)度要大于兩釘子間的距離），然后用一只粉筆把繩子繃緊，在黑板上移動(dòng)一周畫出來的圖形，就是橢圓。引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察橢圓生成過程。

A4（操作4）將班級(jí)學(xué)生每三人分成一組，并用事先準(zhǔn)備好的三只鉛筆、白紙、繩子，要求模仿老師的做法，完成橢圓的制作。個(gè)別小組如果無法掌握訣竅，教師可作友情提醒：兩個(gè)學(xué)生用兩只鉛筆的筆尖固定住繩子的兩端，起到圖釘?shù)男Ч?，第三個(gè)學(xué)生模仿老師的做法作橢圓。

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生熟悉的生活情境入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為下一步把握橢圓的圖形特點(diǎn)，做好心理上的準(zhǔn)備；并通過力所能及的學(xué)畫橢圓的過程，直觀體會(huì)橢圓的特性。

P階段（過程階段）：

P1（過程1）若改變兩個(gè)“圖釘”的相對(duì)位置，重新生成的橢圓的形狀與原來相比是否有變化？

P2（過程2）若改變繩長(zhǎng)，重新生成的橢圓的形狀與原來相比是否有變化？

P3（過程3）若對(duì)兩個(gè)“圖釘”的相對(duì)位置和繩長(zhǎng)不加限制，肯定可以畫出橢圓嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在不斷的實(shí)踐中，定性的認(rèn)識(shí)影響橢圓形狀的兩個(gè)重要的原始參數(shù)：定長(zhǎng)（繩長(zhǎng)）和焦距（圖釘距離），并指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)表述為：定長(zhǎng)為2a，焦距為2c，且2a必須大于2c。

P4（過程4）在綜合以上3個(gè)問題的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生就“如何畫好橢圓”這個(gè)問題進(jìn)行分組討論，幫助學(xué)生梳理和總結(jié)作橢圓的訣竅：

（1）在作圖過程中，“圖釘”相對(duì)位置不能動(dòng)。（定點(diǎn)）

（2）繩子的長(zhǎng)度必須比兩個(gè)“釘子”的距離長(zhǎng)。（2a>2c）

（3）在作圖過程中，繩長(zhǎng)不能變。(定長(zhǎng))

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把握橢圓上各點(diǎn)的共性：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離），為下一階段推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程作好準(zhǔn)備。

O階段（對(duì)象階段）：

O1（對(duì)象1）以前我們學(xué)過的圓方程是怎樣得到的？圓方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的？

O2（對(duì)象2）可否參照?qǐng)A方程的建立過程，推導(dǎo)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程？

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生從已有的知識(shí)入手，在類比中模仿圓方程的推導(dǎo)，建立合適的直角坐標(biāo)系，并利用距離公式得到關(guān)鍵推導(dǎo)等式[(x+c)2+y2]1/2+[(x-c)2+y2]1/2=2a，化簡(jiǎn)得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2+y2/b2=1（其中b2=a2-c2）。此處推導(dǎo)以學(xué)生為主，教師起點(diǎn)撥和提醒作用，使得學(xué)生對(duì)橢圓的概念由于橢圓方程的建立而趨于完整，為今后橢圓與直線的位置關(guān)系的分析打下良性鋪墊和必備伏筆。

O3（對(duì)象3）橢圓方程中參數(shù)a和參數(shù)b在橢圓圖形中各有何意義？

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解參數(shù)a的重要意義（橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)）和參數(shù)b的重要意義（橢圓短半軸長(zhǎng)），從另外一個(gè)角度說明橢圓的形狀的確定規(guī)則，使學(xué)生對(duì)橢圓概念的理解更深入和完善。

S階段（概型階段）：

S1（概型1）指導(dǎo)學(xué)生用幾何畫板完成“兩圓交軌法”、“同心圓法”作橢圓。

設(shè)計(jì)意圖：充分運(yùn)用多媒體，讓學(xué)生在不斷操作中，提高觀察，概括、歸納能力。再次固化“平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）”這個(gè)橢圓的重要概念，繼續(xù)深化對(duì)橢圓第一定義的認(rèn)識(shí)。

S2（概型2）介紹折紙法、矩形等畫法、吉米拉·丹迪林雙球法作橢圓。

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生探究橢圓第二定義，使學(xué)生進(jìn)一步在更完整體系中掌握橢圓的概念。

S3（概型3）2000多年前，古希臘偉大的古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius用斜截圓柱法得到了橢圓，我們也來嘗試一下！

S4（概型4）斜截圓柱法是否僅僅能得到橢圓？

S5（概型5）我們已經(jīng)知道，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。請(qǐng)課后查閱資料，回答下列問題。

（1）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)間距離）的軌跡是什么？

（2）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之積等于常數(shù)的軌跡是什么？

（3）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之商等于常數(shù)的軌跡是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過介紹橢圓的發(fā)現(xiàn)史來拓展學(xué)生的知識(shí)面，更以橢圓為基礎(chǔ)，激發(fā)興趣，發(fā)散思維，為雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)打下巧妙鋪墊。

基于APOS模型的概念教學(xué)，將學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解有效分解到操作（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）、概型（Scheme）四個(gè)不同的階段，并設(shè)計(jì)為一個(gè)可不斷循環(huán)、螺旋式上升的邏輯整體，有效達(dá)成了學(xué)習(xí)的雙向建構(gòu)?；贏POS模型的二次曲線的概念教學(xué)，以生活中的實(shí)際情景和實(shí)際問題為引，將概念的形成過程主動(dòng)“暴露”給學(xué)生，讓學(xué)生層進(jìn)式的建構(gòu)自己的“二次曲線”，在很大程度上加深了學(xué)生對(duì)概念理解的深度和廣度，授人以魚，不如授人以漁，自建概念的過程是“痛并快樂著”的過程，必將讓學(xué)生一生受益。

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