宋茂華

摘 要：學生對上課的內(nèi)容表現(xiàn)出不理解，教師就要及時做好反思，反思是一個教師快速成長的一種很好的途徑。 本文結合一道高三模擬題的講評及教后反思，說明了對數(shù)學歸納法的本質(zhì)的認識。 進一步得到：通性通法就是扎根于學生的知識的最近發(fā)展區(qū)，從核心概念出發(fā)，易于理解的常規(guī)方法；通過反思，教師、學生的理解力能從一個水平升華到更高的水平。

關鍵詞：反思；數(shù)學歸納法；通性通法；理解力

問題：已知n個正數(shù)a1，a2，a3，…，an（n∈N*）滿足a1a2a3…an=1，用數(shù)學歸納法證明：a1+a2+a3+…+an≥n。

這是2012年南通市通州區(qū)高三期中調(diào)研測試一道試題，參考答案如下：

①當n=1，a1=1，a1≥1顯然成立；

②假設n=k時命題成立，即若a1a2a3·…ak=1，則a1+a2+a3…+ak≥k，那么當n=k+1時，不妨設a1≤a2≤a3≤…≤ak≤ak+1，則a1-1≤0，ak+1-1≥0，

（a1-1）（ak+1-1）≤0，即a1+ak+1≥a1ak+1+1，a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥

（a1ak+1）+a2+a3+…+ak+1≥k+1。 所以原命題成立。

筆者覺得怎么想到先將k+1個數(shù)重新按照從小到大的順序排列，a1≤1，ak+1≥1，將a1與ak+1合并為一項，再利用歸納假設。 思路突然，技巧性太強，學生一頭霧水。 數(shù)學教育學家弗賴登塔爾說過：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力，沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平。” 數(shù)學試題的講評應引導學生關注通性通法，何謂通性通法？筆者認為通性通法就是扎根于學生的知識的最近發(fā)展區(qū)，易于理解的常規(guī)方法；是對數(shù)學知識最高層次的概括與提煉。 筆者反思：數(shù)學歸納法的本質(zhì)是什么？即如何由n=k命題成立，推證n=k+1時命題成立。 也就是由假設n=k命題成立，a1a2a3…ak=1，則a1+a2+a3…+ak≥k，推證n=k+1時，a1a2a3…akak+1=1，對照條件應該如何創(chuàng)造條件利用歸納假設？便于理解的思路是將“a1a2a3…akak+1=1”改造成k個數(shù)的積！一種方法是將ak+1均分成k份，每份是[ak+1][]然后與ai（i=1，2，3，…）相乘與組合成k個數(shù)的積；另一種方法是將ai（i=1，2，3，…）與ak+1組合成一個數(shù)；思路①（a1[ak+1][]）（a2[ak+1][]）（a3[ak+1][]）…（ak[ak+1][]）=1，思路②a1a2a3…ai-1ai+1…（akak+1）=1，如何實施？思路①由歸納假設，（a1[ak+1][]）+（a1[ak+1][]）+（a3[ak+1][]）+…+（ak[ak+1][]）現(xiàn)在回頭再看參考答案思路的形成：將a1與ak+1結合構成k項的積（a1ak+1）·a2a3…ak，由歸納假設（a1ak+1）+a2+a3+…+ak≥k，再尋找一個加強不等式a1+ak+1≥a1ak+1+1。 這樣經(jīng)過反思得到了學生覺得很自然的解法。