湯恒錦　何長(zhǎng)林

摘 要：本文對(duì)一道涉及三角形的冪平均值不等式試題進(jìn)行了推廣，得出一個(gè)全新的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：三角形；冪平均值；不等式；推廣

題目：△ABC中，如果a+b≥2c，證明：C≤60°。

（2011年北大等十三校聯(lián)考（北約）自主招生數(shù)學(xué)試卷第4題）

證明：因?yàn)閏osC=≥=≥-=， 所以C≤60°，故得證。

筆者經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)本題結(jié)論可以推廣為：

定理：△ABC中，如果an+cn≥2bn（n∈Z），則B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的對(duì)邊。

先證明定理1：△ABC中，如果an+cn=2bn（n∈Z），則B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的對(duì)邊。

下面我們證明：當(dāng)n≠0時(shí)，△ABC中，如果an+cn=2bn，則B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的對(duì)邊。

在證明此命題之前，我們先引進(jìn)三個(gè)引理。

引理1：若a>0，b>0，r1≠0，r2≠0，則有和冪平均不等式

（參見 周金峰 谷煥春 《關(guān)于冪平均值的兩個(gè)不等式》 數(shù)學(xué)通訊 2004。7）

引理2：用a，b，c表示中△ABC角A，B，C的對(duì)邊，則2b≤a+c的充分必要條件是2sinB≤sinA+sinC。

證明：①必要性。

由正弦定理知

故有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。

將上式代入2b≤a+c，

得2sinB≤sinA+sinC。

②充分性由上述過程知也成立。

由正弦定理知

故有sinA=，sinB=，sinC=。

將上式代入2sinB≤sinA+sinC，得

即2b≤a+c。

綜合①②故得證。

引理3：△ABC中，若2sinB≤sinA+sinC，則B≤60°。

證明：由引理2知2sinB≤sinA+sinC的充分必要條件是2b≤a+c（其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的對(duì)邊），

又因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B∈（0°，60°]，所以得證。

現(xiàn)在我們來證明當(dāng)（n∈Z）時(shí)，△ABC中，如果an+cn=2bn，則B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的對(duì)邊。

證明：因?yàn)?bn=an+cn，

由引理3可以知B≤60°，故得證。

下面我們來證明定理

定理：△ABC中，如果an+cn≥2bn（n∈Z），則B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的對(duì)邊。

證明：因?yàn)閍n+cn≥2bn，

所以sinB≤（由引理2）。

由引理3可以知B≤60°，故得證。

應(yīng)用：在△ABC中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，若an，bn，cn（n∈Z）成等差數(shù)列，求sin（A+C）的取值范圍。

解：因?yàn)閍n，bn，cn成等差數(shù)列，

所以B≤60°，

所以120°≤A+C<180°，

所以0