湯林華

摘 要：春秋時(shí)期孔子就采用了諸如分層教學(xué)、小組教學(xué)、現(xiàn)場教學(xué)等多種教學(xué)方法，將孔子教學(xué)的方法滲透進(jìn)數(shù)學(xué)建模中，在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中有意識(shí)地運(yùn)用這些教學(xué)思想，并使學(xué)生親身參與分析問題、解決問題的整個(gè)過程，不斷提出新的解決方案，構(gòu)建新的模型，可以提高學(xué)生對應(yīng)用性問題的透視解決能力，本文從數(shù)學(xué)建模的解決中談?wù)劃B透孔子教學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：孔子教學(xué)思想；模式識(shí)別；小組教學(xué)；次相教學(xué)；應(yīng)用建模

孔子教學(xué)思想是我國古代教育思想的典型，其采用豐富多彩的教學(xué)形式，如：隨機(jī)教學(xué)、小組教學(xué)、分層教學(xué)、次相教學(xué)、集體教學(xué)等等，使得其在教學(xué)中做到了左右逢源，得心應(yīng)手，從而培養(yǎng)出了子路等一大批在當(dāng)時(shí)著名的弟子。 他的這些教學(xué)形式主張“時(shí)習(xí)”要達(dá)到“行之不已”，對中國后世的教育家影響深遠(yuǎn)，從而把中國古代學(xué)習(xí)過程及其結(jié)構(gòu)模式熟化而鞏固下來。

數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用問題）是新課程改革后教材的重點(diǎn)，無論是必修教材還是選修教材，每章每節(jié)中有很多應(yīng)用問題出現(xiàn)，甚至有些問題達(dá)到了一定數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，隨著各地高考以教材為主這一原則的深化，教材中那些基本問題越來越為教師重視。 高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模思想比較淺，更多的是圍繞數(shù)學(xué)應(yīng)用背景展開的一些數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過處理包裝，成為一個(gè)生活中的實(shí)際問題，偶有問題也能參與建模的思想。 因此我們在教學(xué)中要重視與學(xué)生生活實(shí)際相關(guān)的應(yīng)用問題和建模問題，結(jié)合孔子的多種教學(xué)思想，通過解決問題，進(jìn)而“生長”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。本文從獨(dú)特的視角，淺析在應(yīng)用型問題或建模中如何利用模式識(shí)別滲透孔子教學(xué)思想，將數(shù)學(xué)知識(shí)傳授的同時(shí)，也融入人文、數(shù)學(xué)美等陶冶學(xué)生的情感。

[?] 小組教學(xué)解決應(yīng)用建模問題

通過常年實(shí)踐，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題結(jié)合孔子的教學(xué)形式，認(rèn)識(shí)識(shí)別數(shù)學(xué)模型是解決問題的主要方法，根據(jù)學(xué)習(xí)模式，數(shù)學(xué)建模（或應(yīng)用型問題）求解依舊是模式識(shí)別的一種體現(xiàn)。 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中有意識(shí)地滲透、識(shí)別模型，并親身參與分析問題、解決問題的整個(gè)過程，不斷提出新的解決方案，構(gòu)建新的模型，將有助于提高對應(yīng)用性問題的透視解決。

案例1 （分期付款小組教學(xué)）現(xiàn)在某人向建設(shè)銀行申請個(gè)人住房公積金貸款20萬元，期限為20年。 假定在月初借款，從該月末開始每月以按揭形式還款。若他想節(jié)省一些利息支出，請問他應(yīng)選擇等額法還是遞減法還款？說明理由。他每月應(yīng)歸還多少元錢？

模式識(shí)別：筆者把班級(jí)分成四組，派代表深入一線調(diào)查，并與銀行有關(guān)工作人員咨詢，對獲得的大量第一手資料進(jìn)行分析、歸納、討論并深刻思考，精心準(zhǔn)備。 在課上他們侃侃而談，在了解銀行術(shù)語、還法的計(jì)算后，對問題做相應(yīng)的數(shù)學(xué)化處理，通過模式識(shí)別轉(zhuǎn)化成我們較為熟悉的問題——數(shù)列知識(shí)中等比數(shù)列求和與等差數(shù)列求和的運(yùn)用。

孔子思想：“閔子侍側(cè)，訚訚如也；子路，行行如也；冉有、子貢，侃侃如也?！?這是《先進(jìn)》篇所描述的孔子的一次小組教學(xué)，在此教學(xué)情景中，他們求理達(dá)真、發(fā)展思維。

分析數(shù)據(jù)：如何數(shù)學(xué)化呢？各小組了解到：

①我國目前公積金貸款6～30年的年利率是：4.05%，相應(yīng)的月利率為3.375%。

②銀行個(gè)人住房貸款的還款方式主要有兩種：一種是等額本息還款法；另一種是等額本金還款法。

各小組在與全班學(xué)生共同探討中明確了等額法還款與遞減法還款法各量之間的關(guān)系，經(jīng)處理后的實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為下列數(shù)學(xué)問題：

③按等額法還款數(shù)學(xué)模型

設(shè)貸款本金為A，r為月利率，還款總期數(shù)為m個(gè)月，則到m月末的本利和是A（1+r）m。 再設(shè)每月還款數(shù)為a，則到m月末的本利合計(jì)為a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a。由a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a=A（1+r）m，得a=. （1）

④按遞減法還款數(shù)學(xué)模型

設(shè)第k個(gè)月末的還款數(shù)為bk，其中1≤k≤m，則每月平均歸還貸款本金為。 由于第k-1個(gè)月末已歸還的本金累計(jì)額為（k-1），故在第k個(gè)月末時(shí)，應(yīng)歸還每月平均貸款本金以及剩余本金所產(chǎn)生的利息之和，即bk=+Am（k-1）]r. （2）

還款總額的理論比較（相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型）

設(shè)按等額法還款和遞減法還款的累計(jì)總額分別為S1，S2，根據(jù)（1），（2），

有S1=ma=·m， （3）

S2=bk=·m+

mA-[1+2+…+（m-1）]

·r=A+

mA-·A

·r=·（2+mr+r）. （4）

接下來由研究小組的學(xué)生主持研討，比較大小，其他學(xué)生感到新奇有趣，參與精神強(qiáng)烈，求知欲望高漲，完全體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)有的積極主動(dòng)的狀態(tài)，完全把教師“曬“在一邊。

由（3）（4）可知，

S1-S2=-（2+mr+r）=·[（mr-r-2）（1+r）m+2+r+mr]。

因?yàn)锳>0，r>0，m≥1，所以>0。 下面討論（1+r）m≥1+mr（當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)），令f（x）=（1+x）m-（1+mx），其中x>0，則f′（x）=m（1+x）m-1-m=m[（1+x）m-1-1]≥0，所以f（x）單調(diào)遞增，f（x）≥f（0）=0，即（1+r）m≥1+mr，當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)。

于是S1-S2≥（mr-r-2）（1+mr）+2+r+mr=m（m-1）r2≥0，即S1≥S2（當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)）。

因此，從理論上回答了為什么多數(shù)人選擇按遞減法還款。 通過這節(jié)數(shù)學(xué)應(yīng)用課，激發(fā)了學(xué)生的濃厚數(shù)學(xué)興趣，使他們感受到數(shù)學(xué)建模在解決應(yīng)用題中的作用，懂得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須理論聯(lián)系實(shí)際，只有做到學(xué)習(xí)為了用才真正能感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無窮樂趣。 筆者認(rèn)為，盡管問題的模型很粗糙，與真正的建模有一定差距，但對學(xué)生來說是自覺的，是得到他們?nèi)拷?jīng)驗(yàn)和有智慧支持的，因而是充滿活力的。

[?] 次相教學(xué)解決應(yīng)用建模問題

孔子是中國古代次相教學(xué)的首倡者，這種教學(xué)形式簡便易行、不拘一格、生動(dòng)形象，有耳濡目染之效，是一種接觸現(xiàn)實(shí)、了解實(shí)際、回歸自然的好形式，又是一項(xiàng)重要的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)。 要培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，必須讓他們從身邊事討論，讓他們身臨其境，加深感受，由難變易，從而順利進(jìn)行初步建模教學(xué)。

案例2 （貨幣時(shí)間價(jià)值應(yīng)用建模）超市開進(jìn)校園在南通已不是新鮮事，常有學(xué)生抱怨價(jià)格高，殊不知商家賺錢也不容易，雙休日里雖沒有什么收入，但固定的開支可一樣不少。 某超市公司在我校開設(shè)連鎖店，每月租金、員工工資、設(shè)備損耗等固定成本為2萬元。 每進(jìn)貨價(jià)值千元的商品，從進(jìn)貨到上架銷售需25元額外費(fèi)用。 經(jīng)過一段時(shí)間試營業(yè)后，公司發(fā)現(xiàn)學(xué)校內(nèi)消費(fèi)群體相對固定，且每天在超市有總量不低于2千元但又不超過3千元的消費(fèi)，每月平均可以保證有22個(gè)正常營業(yè)日。 公司打算在該連鎖店每月賺得1萬元的利潤，問進(jìn)價(jià)價(jià)值千元的商品，應(yīng)以多少元零售出售？

模式識(shí)別：按問題需要設(shè)未知數(shù)，列出單價(jià)、銷售與利潤的關(guān)系公式，主要涉及一次函數(shù)，需要對實(shí)際問題進(jìn)行合理簡化。

孔子思想：次相教學(xué)即由教師傳授于高足弟子，再由高足弟子代教師向其他門徒進(jìn)行教學(xué)的形式，孔子是最早的倡導(dǎo)者和使用者。 這種“即知即傳人”的“連環(huán)教學(xué)法”，可促進(jìn)學(xué)生的求知欲。 故問：“同學(xué)們能否再從我們身邊提煉出一個(gè)實(shí)際問題，解決問題的方法與以上類似呢？”

分析提煉：上面問題中的校園超市中，一種紙盒裝1000毫升牛奶標(biāo)價(jià)6.9元，問該品種牛奶進(jìn)價(jià)約多少元？（從學(xué)生身邊的問題入手，讓其充分認(rèn)識(shí)建模的結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣，利于學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng)和創(chuàng)造意識(shí)的培養(yǎng)）

情景問題：（學(xué)生A）

某軟件公司開發(fā)出一種新的圖書管理軟件，投入前期開發(fā)費(fèi)用2萬元，正式投入市場前廣告宣傳、到圖書館銷售等費(fèi)用2萬元，制成光盤，每套3盤，每盤各種成本合計(jì)8元，圖書館購買后還需安裝調(diào)試費(fèi)用200元。 經(jīng)過宣傳，有62家圖書館機(jī)構(gòu)愿意購買。 問軟件公司如何定價(jià)可以確保不虧本，并寫出按此定價(jià)銷售的銷量x和利潤L的函數(shù)關(guān)系。

情景變式：（學(xué)生B）

上面問題中的軟件公司準(zhǔn)備從該軟件中賺得2萬元，以投入新產(chǎn)品的開發(fā)。公司已了解到市場上剛剛出現(xiàn)國外與該圖書管理軟件性能相似的軟件，銷售高達(dá)1900元，你認(rèn)為作何種策略？（學(xué)生將會(huì)提出不同的方案）

建立數(shù)學(xué)模型不完全是為了解決模型的原問題，更有意義的還在于解決具有原型特征的其他許多實(shí)際問題。 孔子其教學(xué)場所不只限于今日課堂之內(nèi)，于生活中到處都留下了他教學(xué)的足跡，使學(xué)生時(shí)時(shí)處處受教育，聯(lián)想實(shí)際特征，這樣的教學(xué)才會(huì)有利于學(xué)生形成高層次的建模能力。

總之，數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次是互相聯(lián)系的，下層為上層基礎(chǔ)的統(tǒng)一體，層面上有時(shí)不能絕對區(qū)分，是互相滲透的，但有一點(diǎn)可以肯定，只有深入體驗(yàn)，耳濡目染，以孔子的無形教育為輔助，頭腦中需要通過快速模式識(shí)別進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的還原和本質(zhì)的感悟，搞清楚數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)，教學(xué)中才會(huì)有的放矢地進(jìn)行針對性培養(yǎng)處理，數(shù)學(xué)建模能力才會(huì)給人一種“實(shí)質(zhì)”的感覺。 限于篇幅，有關(guān)其他教學(xué)形式不再贅述。