徐四化

摘 要： 整體思想是最常用、最基本的數(shù)學(xué)思想之一，它是研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化，使其簡單化的一種方法.它是數(shù)學(xué)解題的一種重要策略，是提高解題速度的一種重要途徑.

關(guān)鍵詞： 整體思想 初中數(shù)學(xué)解題 運(yùn)用

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決.整體數(shù)學(xué)思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從整體上認(rèn)識(shí)問題、思考問題，從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理的解題方法.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們往往習(xí)慣于將問題“化整為零”；但有時(shí)候若能仔細(xì)觀察問題的特點(diǎn)和具體要求，從大處著眼，由整體入手，利用整體思想對(duì)問題實(shí)施調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化，通過整體代入、整體換元、整體變形、整體構(gòu)造等方式，常常能化繁為簡、變難為易，使問題快速獲解，提高解題效率.下面我結(jié)合實(shí)例談?wù)務(wù)w思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、整體代入，化難為易

有些習(xí)題，如果孤立地利用條件，則雖可以得到解決，但解題過程比較復(fù)雜；如果把已知條件看做一個(gè)整體，直接或變形以后代入求解，問題就容易解決多了.

整體構(gòu)造，就是根據(jù)已知條件和所求，整體構(gòu)造相應(yīng)的式子，通過對(duì)兩個(gè)式子的聯(lián)合研究解決問題.有些問題直接去求，無從下手，但通過整體構(gòu)造，就能迅速得出答案.

例7：已知關(guān)于x，y的方程組2x+3y=m （1）3x+5y=1-m （2）的解滿足x+y=2（3），求m的值.

分析：一般解法是求出方程組的解（用含m的代數(shù)式表示），然后代入x+y=2求出m的值.這樣做對(duì)于學(xué)生來說是較難理解的.通過整體觀察，整體變形后整體代入，避免了復(fù)雜繁瑣的計(jì)算，簡捷易懂.

解：（1）×2-（2）得x+y=3m-1（4），將（3）代入（4）得3m-1=2，m=1.

例8：甲、乙、丙三種商品，若買甲4件，乙5件，丙2件，共用69元；若買甲5件，乙6件，丙1件，共用84元.問買甲2件，乙3件，丙4件，共需要多少元？

分析：如果想求出甲、乙、丙的單價(jià)后再求甲2件，乙3件，丙4件共需要多少元，顯然是行不通的，因?yàn)闂l件不夠，所以應(yīng)該將所求問題作為一個(gè)整體來考慮.

解：設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為x、y、z，根據(jù)題意，得

4x+5y+2z=69 （1）5x+6y+z=84 （2）

（1）×3-（2）×2得2x+3y+4z=39

答：買甲2件，乙3件，丙4件，共需要39元.

五、整體配湊，巧辟捷徑

在解題過程中，常會(huì)碰到這樣的問題，待求的式子不滿足解題所需的形式.此時(shí)，往往可以應(yīng)用整體思想按預(yù)定的解題方向?qū)κ阶邮┬信錅惓煽蓱?yīng)用某個(gè)公式或配湊成可利用題設(shè)條件，或配湊成要出現(xiàn)結(jié)論的式子，或配湊成我們熟悉的題型等，從而達(dá)到解決問題的目的.

六、數(shù)形結(jié)合，相得益彰

數(shù)形結(jié)合，就是通盤考慮題設(shè)條件，構(gòu)造相應(yīng)圖形幫助解題.一些代數(shù)問題僅僅用代數(shù)知識(shí)解，既繁又難.如果對(duì)題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行綜合考慮，構(gòu)造相應(yīng)圖形幫助解題，問題就能化難為易.

例12：已知五個(gè)半徑為1的圓的位置如圖所示，各圓心的連線構(gòu)成一個(gè)五邊形，求陰影部分的面積.分析：由于五邊形不具備特殊性，因此各個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)均未知，不能分別求出各個(gè)扇形的面積.為此，要求陰影部分的面積就要將幾個(gè)陰影部分（五個(gè)扇形）整體考慮.注意到五邊形內(nèi)角和為720°，所以五個(gè)扇形的圓心角的和為720°，又因?yàn)楦鱾€(gè)扇形的半徑相等，所以陰影部分的面積為兩個(gè)半徑為1的圓的面積.

整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅僅局限于上述幾種類型，還涉及其他的各種題型.在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從整體上考慮問題，對(duì)問題的條件、結(jié)論的表達(dá)式、結(jié)構(gòu)特征等做深入細(xì)致的觀察分析，更好地把握整體思想的本質(zhì)和規(guī)律，逐步養(yǎng)成應(yīng)用整體思想解題的習(xí)慣，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力.