黃建壩

摘 要： 數(shù)學(xué)思想方法是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數(shù)學(xué)的精髓，中學(xué)數(shù)學(xué)中處處蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)思想方法.作者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)際從三個(gè)方面論述函數(shù)和方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等中學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法 教學(xué)方法

一、全面認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法包括數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法兩個(gè)方面.所謂數(shù)學(xué)思想是指“從某些具體的數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提升的觀點(diǎn)，是對數(shù)學(xué)概念、方法和理論的本質(zhì)認(rèn)識.”所謂數(shù)學(xué)方法是指人們在數(shù)學(xué)活動(dòng)中為達(dá)到預(yù)期目的而采取的各種手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式.方法是實(shí)現(xiàn)思想的手段，任何方法的實(shí)施，無不體現(xiàn)某種或多種數(shù)學(xué)思想；而數(shù)學(xué)思想往往是通過數(shù)學(xué)方法的實(shí)施才得以體現(xiàn)的，它們在一定范圍內(nèi)有通用性（如：“消元”既是方法又是思想），二者關(guān)系密切，有時(shí)不易區(qū)分，人們常把數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法合為一體，稱之為“數(shù)學(xué)思想方法”.

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中某些思想方法的教學(xué)

1.函數(shù)和方程思想.

（1）函數(shù)描述了客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量特征及制約關(guān)系的一種刻畫.因此函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象之間的數(shù)量關(guān)系，并用映射給予嚴(yán)格的形式，它幾乎成為貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線.中學(xué)的函數(shù)思想，應(yīng)包括建立函數(shù)模型解決問題的意識、函數(shù)概念和性質(zhì)的廣泛運(yùn)用、函數(shù)圖像的應(yīng)用.

例1：按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，試算5期后的本利和是多少？

在實(shí)際問題中，常常遇到有關(guān)平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，可以用下面的公式y(tǒng)=N（1+p）■表示.解決平均增長率的問題，要用到這個(gè)函數(shù)式.

培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思想，會(huì)用變量和函數(shù)思考數(shù)學(xué)問題，學(xué)會(huì)建立函數(shù)模型解決問題的意識，前提是應(yīng)該理解函數(shù)的概念，將概念通俗化，就是兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系，反應(yīng)到坐標(biāo)系中就是y對x的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上通過簡單實(shí)例學(xué)習(xí)歸納出中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的幾種基本函數(shù)的解析式，牢固掌握它們的圖像和性質(zhì)后將其應(yīng)用于實(shí)際問題中.

（2）方程的內(nèi)容在中學(xué)階段也同樣經(jīng)歷了由淺入深的歷程.其中最重要的變化是從具有確定解的方程，發(fā)展到解連續(xù)變化的方程；從注重解的數(shù)值特征，轉(zhuǎn)向方程的幾何意義，另外還有方程與多方面因素的相互聯(lián)系.方程的思想是在這樣的過程中逐步培養(yǎng)起來的.其中當(dāng)然包含通過設(shè)立未知量建立相等關(guān)系，即把未知看做已知的意識，還有如何用方程（方程組）的知識解決問題，等等.

在等差與等比數(shù)列中，常常需要研究之間的關(guān)系，我們可以以方程思想為指導(dǎo)，尋找求知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)間的關(guān)系，根據(jù)題意逐個(gè)列出方程，等等，都要用到方程思想方法，根據(jù)題意列出所需要的方程.

2.分類討論的思想.

所謂分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法.例如“直線在平面外”常要分為線面平行，線面相交討論；qn的極限需要按q所取值的范圍討論；三角函數(shù)值的正負(fù)要按角所在象限討論，等等.根據(jù)分類思想，人們把這些對象全體組成的集合劃分成若干個(gè)子集（類），使得具有共性的對象屬于同一個(gè)子集，而不具有這種共性的對象屬于別的子集.分類是以比較為基礎(chǔ)，將研究對象進(jìn)行比較整理.同樣一些東西構(gòu)成的集合可依不同法則（標(biāo)準(zhǔn)）分類.如：三角形按角分類，也可按邊分類，解決實(shí)際問題時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況確定分類方法.

在教學(xué)中要注意分析分類的原因、時(shí)機(jī)與分類的標(biāo)準(zhǔn)、方法，此例是類中有類，正是因絕對值概念引起分類討論再而由二次函數(shù)對稱軸的變化即圖形位置的不定引起分類討論，（二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的變化關(guān)系或開口與二次項(xiàng)次數(shù)的符號的關(guān)系），引發(fā)討論的原因還有很多，如指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響，圓錐曲線方程中，分母的符號、大小對曲線類型，曲線位置不同的影響，排列、組合中經(jīng)常遇到的分類問題等，要能準(zhǔn)確分類，必須加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，在平時(shí)各相關(guān)知識點(diǎn)的教學(xué)中，在知識的形成過程中，讓學(xué)生明確分類的意義與必要性，重復(fù)出現(xiàn)，逐漸強(qiáng)化.分類討論的方法在數(shù)學(xué)中占有重要地位，通過分類，可以化整為零，各個(gè)擊破，變一般為特殊，變模糊為清晰，變抽象為具體.

3.數(shù)形結(jié)合的思想.

所謂數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，認(rèn)識研究對象的數(shù)學(xué)特征、尋找解決問題的方法的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的.數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用聯(lián)想的思維，以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，滲透并強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法，使抽象的問題變得直觀、易理解，同時(shí)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的形象性和廣闊性.中學(xué)數(shù)學(xué)教材中處處蘊(yùn)涵數(shù)形結(jié)合的思想.

數(shù)形結(jié)合的解題思想方法的特點(diǎn)是：具有直觀性、靈活性、深刻性，并跨越各章節(jié)界線，有較強(qiáng)的綜合性，不等式、方程、函數(shù)之間，方程與二次曲線之間，三角方程與三角曲線之間，不等式與線性規(guī)劃之間都有著密切聯(lián)系等，平時(shí)教學(xué)必須加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，反過來進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)知識，打好基礎(chǔ)，提高能力.

4.轉(zhuǎn)化（化歸）的思想方法.

所謂轉(zhuǎn)化（化歸）的思想是指在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略.一般情況下，都要將未解決的問題化歸轉(zhuǎn)化為已解決的問題.它是數(shù)學(xué)中基本的思想方法，同時(shí)也是在解決數(shù)學(xué)問題過程中常用的基本思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，因此以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，各種變換的方法及分析法、反證法、特定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段.

高考中十分重視對化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查，要求考生熟悉各種化歸與轉(zhuǎn)化的變換方法，并有意識地運(yùn)用變換方法解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.化歸需明確三個(gè)問題：（1）明確化歸對象；（2）明確化歸的目標(biāo)；（3）明確化歸的方法.

以上化歸方法在求函數(shù)最值問題時(shí)經(jīng)常用到，如三角函數(shù)最值問題常常要轉(zhuǎn)化為一些我們所熟知的函數(shù)（如二次函數(shù)）最值問題等.教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)有意識地結(jié)合例題讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化方法，轉(zhuǎn)化思想，盡可能在做完題后認(rèn)真反思，從中提煉方法.學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是必須具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和基本理論，并且能對課程內(nèi)容融會(huì)貫通，系統(tǒng)掌握課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系.教師必須注重各章節(jié)知識交匯處的教學(xué)，加強(qiáng)知識間的橫向聯(lián)系.

三、如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)所采用的主要方法是滲透，所謂滲透，就是有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，反復(fù)向?qū)W生講解，通過逐步積累，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識由淺入深，由表及里，漸進(jìn)地達(dá)到一定的認(rèn)識高度，從而自覺地運(yùn)用之.

1.鉆研教材，充分挖掘教材中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.

數(shù)學(xué)定義、法則、公式、定理等知識都明顯地寫在教材中，而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識體系里，并且分散于各冊教材的各章節(jié)中.我們在備課時(shí)要認(rèn)真鉆研教材，充分發(fā)掘提煉在教材中的數(shù)學(xué)思想和方法，并弄清每一章節(jié)主要體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)方法，研究大綱，吃透教材，揣摩教材編寫的意圖，挖掘教材中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.例如通過實(shí)數(shù)、整式概念的教學(xué)，可以滲透分類的思想.

2.把掌握數(shù)學(xué)思想方法納入教學(xué)目標(biāo).

數(shù)學(xué)教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，即運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題和進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造的本領(lǐng).而這種能力，不僅表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)知識的記憶，更主要地依賴于對數(shù)學(xué)思想方法的掌握和發(fā)揮.把要滲透的思想方法精心設(shè)計(jì)到教案中，在備課時(shí)要考慮如何結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透，滲透什么數(shù)學(xué)思想方法，滲透到什么程度，例如一般三角形通過作高可以轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理和三角函數(shù)和知識易求解，這當(dāng)中滲透了由一般到特殊轉(zhuǎn)化的思想方法；求二元一次方程組的解，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問題，這樣抽象的問題就轉(zhuǎn)化為直觀形象的問題，當(dāng)中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想；教師只有這樣把握教材的思想體系，才能在教學(xué)中不失時(shí)機(jī)地滲透數(shù)學(xué)思想方法.

3.反復(fù)再現(xiàn)，逐漸強(qiáng)化.

數(shù)學(xué)思想方法不可能經(jīng)歷一次就能正確認(rèn)識并遷移，需要在長期的教學(xué)中，不斷地再現(xiàn)，反復(fù)地引導(dǎo)與強(qiáng)化，才有可能使學(xué)生達(dá)到掌握的程度.首先是從模仿開始的.學(xué)生按照例題示范的格式解答與例題相同類型的習(xí)題，實(shí)際上是數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)械運(yùn)用.此時(shí)，并不能肯定學(xué)生領(lǐng)會(huì)了所用的數(shù)學(xué)思想方法，只有當(dāng)學(xué)生將它用于新的情境、已經(jīng)解決其他有關(guān)問題時(shí)，才能肯定學(xué)生對這一數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)規(guī)律有了深刻的認(rèn)識.

數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)人才的需要，因?yàn)閿?shù)學(xué)教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，而這種能力不僅表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)知識的記憶，更主要地依賴于對數(shù)學(xué)思想方法的掌握和發(fā)揮.它使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想思考和解決問題，把知識的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)能力、發(fā)展智力有機(jī)地聯(lián)系起來.所以加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅關(guān)系到人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高，而且關(guān)系到人的素質(zhì)的培養(yǎng)和提高.數(shù)學(xué)教師要更新觀念，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，深入鉆研教材，努力挖掘教材中所蘊(yùn)涵的思想方法.

參考文獻(xiàn)：

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