劉入嘉

摘 要：發(fā)展學(xué)生的空間想象能力是高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的一個(gè)重要內(nèi)容 ，由一道高考球內(nèi)接三棱錐的分析和求解過(guò)程，通過(guò)類比、遷移、構(gòu)造、擴(kuò)展等方法，啟發(fā)學(xué)生對(duì)空間的想象和推理，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間圖形的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)和想象能力.

關(guān)鍵詞：球類模型；空間圖形；空間想象

新課標(biāo)在高中立體幾何的學(xué)習(xí)中，遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，更加注重對(duì)學(xué)生的直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等能力的培養(yǎng). 由于長(zhǎng)方體兼具點(diǎn)、線、面各元素以及為各元素之間的關(guān)系的呈現(xiàn)提供了載體，所以新課標(biāo)將長(zhǎng)方體作為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的起始模型，而將球與各種幾何體聯(lián)系起來(lái)，增加了幾何元素，隱藏了更多的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)也更加豐富了空間形式，為學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何體，發(fā)展想象，理解各元素之間的關(guān)系提供了更多豐富的模型，并且在近幾年的高考中也多涉及有關(guān)球類幾何體，所以，高中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)此類幾何模型應(yīng)給予足夠的關(guān)注和重視.

例：一直正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩垂直，則球心到截面ABC的距離為_(kāi)_____.

我們知道長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都可以構(gòu)成兩兩垂直，題目中PA，PB，PC兩兩垂直，和由正三棱錐推知的PA，PB，PC長(zhǎng)度分別相等，實(shí)際上就是球內(nèi)接正方體的關(guān)于一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐，即正三棱錐的外接球就是正方體的外接球（如圖2），進(jìn)而可知△ABC是等邊三角形，OP⊥面ABC，球心到截面ABC的距離就轉(zhuǎn)化為直角三角形里一條直角邊（球心與線面交點(diǎn)的連線）的長(zhǎng)度，從而使問(wèn)題得到解決.

這是極具代表性的球內(nèi)幾何問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題，我們還可以通過(guò)類比、遷移、聯(lián)想等方法構(gòu)造出一系列更多的空間圖形，在學(xué)生的原有認(rèn)知水平上，啟發(fā)學(xué)生對(duì)圖形的理解，發(fā)展學(xué)生的空間想象，如圖3-圖8：

結(jié)合建構(gòu)主義“最近發(fā)展區(qū)”的學(xué)習(xí)理論，改變內(nèi)接幾何體的形狀和與球的內(nèi)接形式，圖3-圖8是遵循從整體到局部而構(gòu)造出的一系列球內(nèi)接的空間立體圖形.

圖3是我們常見(jiàn)常用的立方體內(nèi)接于球內(nèi)的模型，長(zhǎng)方體是高中學(xué)習(xí)立體幾何的初始模型，將其內(nèi)接于球內(nèi)，長(zhǎng)方體原本的關(guān)系保持不變，但與球的結(jié)合就有了更多點(diǎn)線、線面、面面的關(guān)系，如球心到各面的距離、球心與各頂點(diǎn)的連線與各面之間的關(guān)系等，因此筆者建議將球內(nèi)接長(zhǎng)方體作為學(xué)習(xí)球內(nèi)接空間體的基礎(chǔ)模型，在深刻理解此模型空間關(guān)系的基礎(chǔ)上，改變球內(nèi)接幾何體或內(nèi)接形式，由于形變質(zhì)不變，萬(wàn)變不離其宗，對(duì)其他的圖形的理解和想象就有了基礎(chǔ)，增加對(duì)整個(gè)空間幾何體形成全面而系統(tǒng)的感知和掌握.

圖4和圖5是四棱錐內(nèi)接于球的空間體，圖4中由內(nèi)接圖形的底面是長(zhǎng)方形和SA⊥底面ABC， 此可以理解為長(zhǎng)方體的一半內(nèi)接于球內(nèi). 因此，相應(yīng)的空間關(guān)系沒(méi)改變. 圖5在圖4的模型基礎(chǔ)上，改變頂點(diǎn)的位置，使之形成正四棱錐，再上升底面至最大圓截面，便形成底面邊長(zhǎng)最大的球內(nèi)接四棱錐. 通過(guò)這種動(dòng)態(tài)的描述方式，增加了各圖形之間的聯(lián)系，也更能幫助學(xué)生對(duì)空間圖形的理解和想象.

圖6和圖7是球內(nèi)接正三棱錐圖形，頂點(diǎn)與底面的高度決定底邊三角形的邊長(zhǎng)，將底面上升至最大圓截面時(shí)，底面三角形邊長(zhǎng)最大，頂點(diǎn)到底面的距離相對(duì)縮短，繼續(xù)上升底面三角形，底面三角形邊長(zhǎng)和頂點(diǎn)到底面的距離都將同時(shí)減小. 在這種動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程中，學(xué)生更能透徹地理解正三棱錐內(nèi)接于球的空間形式. 圖8則是在圖6的基礎(chǔ)上，僅僅使底面正三角形變?yōu)橹苯侨切?，就?gòu)造出了新的空間形式，如面SBC⊥面ABC，S′O′⊥面ABC，SC=BC等，讓學(xué)生在前兩個(gè)模型學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上理解此模型，就有了循序漸進(jìn)的過(guò)程，減小了理解的難度，增加了學(xué)習(xí)的興趣.

通過(guò)變換、加工創(chuàng)造出的一系列的球內(nèi)接幾何體的常見(jiàn)空間體，為學(xué)生提供了豐富的學(xué)習(xí)模型，多方面地促進(jìn)學(xué)生思考，鍛煉學(xué)生思維. 新課標(biāo)注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程的展示，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的空間感知和理解，這就需要教師多花工夫在知識(shí)的展示過(guò)程中，充分利用各種教學(xué)方式方法，利用先進(jìn)的現(xiàn)代信息技術(shù)形象直觀地展示知識(shí)的現(xiàn)實(shí)模型，由淺入深地引導(dǎo)，及時(shí)地啟發(fā)學(xué)生，培養(yǎng)和發(fā)展豐富的空間想象能力，使之形成系統(tǒng)的空間結(jié)構(gòu)和知識(shí)體系.

通過(guò)對(duì)上述高考問(wèn)題的討論，筆者認(rèn)為發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，還可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

1. 利用球類模型，聯(lián)系生活實(shí)際，發(fā)展空間觀念

空間觀念是空間想象能力的基礎(chǔ)，空間觀念又依賴于我們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)和直觀感知，即空間知覺(jué). 眾所周知，球類模型及球與其他幾何體結(jié)合形成的空間模型在生活中廣泛存在，如足球、球形別墅、水晶球裝飾以及我們生活所在的地球等，都是大家熟悉且可見(jiàn)可感的具體物體. 根據(jù)從具體到抽象、從一般到特殊的教學(xué)原則，在具體的教學(xué)過(guò)程中，將實(shí)際生活中的這些具體模型引入幾何概念，研究幾何圖形的性質(zhì)，為學(xué)生動(dòng)手操作和具體實(shí)踐提供現(xiàn)實(shí)原型，幫助學(xué)生對(duì)空間觀念進(jìn)行構(gòu)建，進(jìn)而豐富空間經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象.

2. 增加實(shí)際球類模型與幾何圖形的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)幾何體各形式之間的轉(zhuǎn)換

在立體幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生所獲取的信息大都來(lái)自實(shí)物模型、幾何圖形、語(yǔ)言描述以及它們之間的轉(zhuǎn)化，處理好這些形式之間的轉(zhuǎn)換，將有助于學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng). 盡可能地運(yùn)用實(shí)物引導(dǎo)教學(xué)，如將常見(jiàn)的足球與正方形的魔方呈現(xiàn)在學(xué)生面前，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)球類，結(jié)合具體分析各部分的連接情況及各元素的關(guān)系，再通過(guò)專業(yè)的幾何語(yǔ)言進(jìn)行描述，如線線垂直、平行，線面垂直等. 有了實(shí)物與描述語(yǔ)言之間順利轉(zhuǎn)化之后，便是如何在平面上呈現(xiàn)具體的立體幾何圖形——畫(huà)圖. 實(shí)現(xiàn)模型與圖形之間的過(guò)渡，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)物表現(xiàn)在平面上，引導(dǎo)學(xué)生在平面上表達(dá)點(diǎn)線、線線、線面各元素的關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)實(shí)物、圖形、描述語(yǔ)言之間的兩兩翻譯，在這種融會(huì)貫通的全方面訓(xùn)練的過(guò)程中，空間想象能力自然而然地得到提高.

3. 借助多媒體，增加對(duì)球類原型的加工、變換能力

幾何圖形是一種視覺(jué)符號(hào)，與表象的形成密切相關(guān)，因此，在現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展和支持下，利用幾何畫(huà)板等靈活地對(duì)圖形進(jìn)行加工、變換，從多方位和多樣性對(duì)空間體進(jìn)行呈現(xiàn)，這樣使學(xué)生頭腦中空間形式更加豐富和多樣化，完成對(duì)空間模型的原始積累，為培養(yǎng)學(xué)生更高層次的空間想象能力（將抽象問(wèn)題形象化的幾何直覺(jué)能力）做好鋪墊.

立足球類，將生活實(shí)際與抽象的學(xué)習(xí)進(jìn)行聯(lián)系，并構(gòu)造出更多的空間形式和幾何元素關(guān)系，為學(xué)生理解和分析空間元素提供豐富的模型，在現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展下，進(jìn)行空間幾何的教與學(xué)，將立體幾何圖形多維度進(jìn)行直觀的展示，豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力.

4. 滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)空間想象能力技巧

中學(xué)教學(xué)基本思想是指滲透在中學(xué)教學(xué)知識(shí)與方法中具有普遍而強(qiáng)有力適應(yīng)性的本質(zhì)思想. 發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的過(guò)程中，適當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行指導(dǎo)，會(huì)收到事半功倍的效果.

除了幾何實(shí)物模型、幾何圖形、幾何文字語(yǔ)言描述三者之間的轉(zhuǎn)換，在球類立體幾何的學(xué)習(xí)中，從空間向平面轉(zhuǎn)化，將球體進(jìn)行截面處理，將幾何體的基本量統(tǒng)一在平面截面圖形中進(jìn)行分析. 同時(shí)，空間中的射影變換，相似變換，等積變換等都促使空間理解化難為易. 解析幾何中的數(shù)形轉(zhuǎn)換把空間中形式與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)起來(lái)，相互促進(jìn)，增加理解. 分解思想的實(shí)質(zhì)是分解—組合、分割—拼合的辯證思想. 將其用于球類立體幾何的割補(bǔ)中，如將球心與四棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)相連，就將原模型分解成四個(gè)以球心為頂點(diǎn)的三棱錐；將正四面體補(bǔ)成正方體，他們具有同樣的外接球. 利用分解思想探索空間的結(jié)構(gòu)形式，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的和諧美與統(tǒng)一美，解題過(guò)程中達(dá)到觸類旁通、舉一反三的效果. 類比思想在球類空間幾何中更是無(wú)處不在，將平面的圓與球類比，用學(xué)生熟悉的處理圓的各種方法處理球的問(wèn)題，如將三角形的外接圓與四面體的外接球類比，四點(diǎn)共圓與多點(diǎn)共球類比，使學(xué)生在類比中學(xué)習(xí)思考，學(xué)習(xí)探索，提升能力.

總之，在立體幾何的教學(xué)中，應(yīng)聯(lián)系生活實(shí)際，借助現(xiàn)代多媒體技術(shù)將模型進(jìn)行直觀而全面的展示，循序漸進(jìn)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的引導(dǎo)，幫助學(xué)生系統(tǒng)地分析和理解空間圖形，進(jìn)而發(fā)展豐富的空間經(jīng)驗(yàn)和想象能力，實(shí)現(xiàn)新時(shí)代下新課改對(duì)學(xué)生的要求和素質(zhì)培養(yǎng).