武瑞雪 王磊 魏本義

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要判斷一個數(shù)學(xué)命題是正確的，應(yīng)由已知條件和已學(xué)過的公理、定義、定理等，嚴(yán)密推理得出結(jié)論；要否定一個命題，只要舉一個反例即可。運用反例進行教學(xué)的方法稱為反例法。反例法與證明法對數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展同樣重要，是高中數(shù)學(xué)不可或缺的一種有效的教學(xué)方法。

一、反例法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解基礎(chǔ)知識

數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識是解題的依據(jù)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在基礎(chǔ)知識的教學(xué)中，教師不僅要運用正面的例子來闡明其本質(zhì)屬性，而且還要運用反例對其中的關(guān)鍵詞和本質(zhì)特征進行更深入地詮釋，幫助學(xué)生準(zhǔn)確、透徹、全面地理解基礎(chǔ)知識。

2.幫助學(xué)生快速判斷命題的真假

反例法在判斷命題的真假時，具有快速、說服力強的特點。

例2 判斷命題“對于任意正整數(shù)n，n2+n+41都是質(zhì)數(shù)”的真假。

很多同學(xué)，通過取n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…，甚至更多的n值（一直連續(xù)取到39），很容易判斷上述命題為真。

但是，當(dāng)我們?nèi)〉絥=40（是一個反例）時，得n2+n+41=41×41，故此時n2+n+41為合數(shù)。

事實上，n2+n+41=n（n+1）+41，所以，當(dāng)n=41k 或n+1=41k（k∈Z*）時，n2+n+41都是合數(shù)。一個數(shù)學(xué)問題用一個反例就得以解決，讓人倍感興奮和愉悅。

3.幫助學(xué)生規(guī)避錯誤類比

新的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力作為培養(yǎng)目標(biāo)之一。事實上，在高中數(shù)學(xué)中許多概念、結(jié)論之間都有類似的地方，在新概念的提出，新結(jié)論的證明過程中，恰當(dāng)運用類比的方法，以舊導(dǎo)新，有利于建構(gòu)新知識，能讓學(xué)生對新知識的記憶更牢固，理解更深刻。在高中數(shù)學(xué)中，可通過類比法引入的概念或結(jié)論非常多，如：復(fù)數(shù)、平面向量的有關(guān)概念或結(jié)論可類比實數(shù)給出；立體幾何的有關(guān)概念或結(jié)論可類比平面幾何給出，等等。

但類比得出的結(jié)論不一定成立，對于不再成立的結(jié)論，舉一個反例驗證即可。

例3 以下結(jié)論在實數(shù)范圍內(nèi)及復(fù)數(shù)范圍內(nèi)均成立①x+y=y+x， （x+y）+z=x+（y+z），xy=yx，（xy）z=x（yz），x（y+z）=xy+xz， zmzn=zm+n，（zm）n=zmn，（z1z2）m=z1mz2m；②|xy|=|x|·|y|；③|x|2=|x|2；④若xy=0，則x、y中至少有一個為零，等等。

而以下結(jié)論在實數(shù)范圍內(nèi)成立，但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不成立 ①x2≥0；②|x2|=x2；③若x2+y2=0，則x=y=0.

可舉反例加以驗證：①反例：取x=2i，此時|x|2=-4<0；②反例：取x=i，此時|x|2=1，x2=-1，此時|x|2≠x2；③反例：取x=3i，y=3，此時x2+y2=0，但x=y=0不成立。

例4 實數(shù)運算的有些法則對于平面向量仍然成立，如加法交換律、乘法交換律、乘法對加法的分配律，等等，但實數(shù)的有些法則對平面向量則不成立。

如，對實數(shù)a，b，c，有以下結(jié)論成立：

例5 下面的結(jié)論在平面、空間中均成立：①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形；③過直線外一點作直線的平行線有且僅有一條；④平行于同一條直線的兩條直線平行，等等。

而下面的幾個結(jié)論在平面中成立，在空間中則不成立：①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②四邊相等的四邊形是菱形。

可舉反例加以驗證：

① 反例：如圖1，直線a，b都垂直于c，但a，b不平行。

圖1

事實上，在空間，當(dāng)兩條直線平行于同一條直線時，這兩條直線可平行、可相交、可異面。

②反例：如圖2，在正四面體ABCD中，空間四邊形ABCD的四邊相等，但它不是菱形。

圖2

4. 幫助學(xué)生規(guī)避“想當(dāng)然”的錯誤

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有時由于知識掌握不夠熟練，或因缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，解題時往往因“想當(dāng)然”而導(dǎo)致錯誤。在教學(xué)過程中，通過反例教學(xué)法，可有效地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒅艿降?、深刻的思維習(xí)慣，規(guī)避一些“想當(dāng)然”的錯誤。

老師：學(xué)生1的解法對嗎？

可見，不能憑直觀或想當(dāng)然去得出數(shù)學(xué)結(jié)論，這樣往往會“失之毫厘，差之千里”。通過列舉反例，學(xué)生的認(rèn)知能力產(chǎn)生了飛躍，思維水平得到了升華。

二、設(shè)置反例的原則

（1）設(shè)置的反例要典型、恰當(dāng)、精準(zhǔn)、有針對性；

（2）盡量引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，老師不能包辦代替；

（3）設(shè)置反例的時機要適當(dāng)，應(yīng)放在學(xué)生對新知識有了初步的認(rèn)識之后；

（4）設(shè)置的反例要真實、生動、實用，應(yīng)在學(xué)生易錯處設(shè)置；

（5）反例題型要靈活多樣，可以為改錯題、判斷題、選擇題、問答題等；

（6）設(shè)置反例的思維過程要充分展現(xiàn)出來，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、批判性。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用反例法，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)方法，利于重點、難點的解決；可以幫助學(xué)生快速地駁斥謬論，及時地檢驗題目的解答是否正確，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、批判性思維的一個有效的途徑。