張 艷

談二項分布的近似計算及其在保險問題中的應(yīng)用

張 艷

泊松定理、棣莫弗－拉普拉斯定理給出了二項分布的近似計算公式，擬對定理中的應(yīng)用條件進(jìn)行整理研究，并通過實(shí)例，將這兩種近似計算公式分別應(yīng)用于保險問題的計算中。

二項分布;近似計算;泊松分布;正態(tài)分布;保險問題

二項分布B(n，p)是概率論中最重要的分布律之一，在研究產(chǎn)品質(zhì)量、氣候狀況、工作效能等實(shí)際問題中得到了廣泛應(yīng)用。在對這些問題進(jìn)行決策時，不可避免地要涉及到關(guān)于二項分布的計算問題。當(dāng)n很大時，直接計算是相當(dāng)繁瑣的，若用泊松定理和棣莫弗－拉普拉斯定理得到的近似計算公式計算，則會使計算過程簡便的多，但是如果對定理中的近似條件不加以區(qū)別，隨意使用近似計算公式的話，則會產(chǎn)生較大的誤差。為此，首先給出這兩個定理，并整理研究定理中n，p的應(yīng)用條件。

1 二項分布的近似計算

對于服從二項分布的隨機(jī)變量，我們經(jīng)常借助以下兩個定理進(jìn)行近似計算:

1.1 泊松定理。

設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布，其分布律為

又設(shè)np=λ(λ＞0是一常數(shù))，則有

根據(jù)定理，可以得到二項分布的近似計算公式:當(dāng)n充分大，且np=λ(λ是常數(shù))則有

1.2 棣莫弗－拉普拉斯定理。

若隨機(jī)變量 ηn(n=1，2…)服從參數(shù)為 n，p(0＜p＜1)的二項分布，則對于任意x，有

這個定理表明，當(dāng)n充分大時，二項分布隨機(jī)變量ηn的標(biāo)準(zhǔn)化變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即

我們可以利用上式來計算二項分布概率的近似值，當(dāng)n充分大時，對于任意正整數(shù)x，有

并且由于是用一個連續(xù)分布來近似離散分布，在實(shí)際應(yīng)用中，為了減少誤差常用如下的修正公式:

對于泊松定理的應(yīng)用，定理的條件np=λ(常數(shù))意味著當(dāng)n很大p必定很小，在實(shí)際計算中，教材［1］提到，當(dāng) n≥10，p≤0.1時就可以用近似公式(1)進(jìn)行計算，且可以通過查泊松分布表得到結(jié)果，計算較為方便。

但是，對于棣莫弗－拉普拉斯定理進(jìn)行近似計算，公式的應(yīng)用條件，則簡略的多，當(dāng)充分大時，可做近似計算，這就給初學(xué)者或非專業(yè)的應(yīng)用人員造成一種錯覺，似乎只要比較大，在任何情況下都可以用公式(3)作近似計算，公式(2)(3)比公式(1)優(yōu)越得多，但事實(shí)并非如此，下面通過一個實(shí)例來加以說明。

例1:某種疫苗導(dǎo)致人過敏的概率為0.2%，目前注射該種疫苗的人有1000人，求這1000人中，最終過敏的人數(shù)不超過2個人的概率。

設(shè)1000人中因疫苗過敏的人數(shù)為隨機(jī)變量X，服從二項分布 B(1000.0.002)，直接計算得

P(X≤2)=P(X=0)+P(x=1)+P(X=2)=0.676677

由公式(1)得

顯然公式(1)給出了很好的近似結(jié)果，而公式(2)給出的結(jié)果則有相當(dāng)大的誤差，用了修正公式(3)以后，雖然減小了誤差，但是仍不如泊松分布的近似程度好。雖然由此可見，與公式(1)一樣，應(yīng)用公式(2)，不僅要求n，對p也有一定的要求，換句話說，所謂的n足夠大是與p密切相關(guān)的。因此在使用公式(2)或(3)時，尤其要注意分析公式的應(yīng)用條件。在教材［1］中提到，要使np(1－p)＞9，在文獻(xiàn)［2］中，作者從數(shù)理統(tǒng)計的觀點(diǎn)出發(fā)，根據(jù)顯著性水平α，得到了更為精確的結(jié)論:當(dāng)α=0.05時，np(1－p)＞11，當(dāng) α=0.01時，np(1－p)＞277。在文獻(xiàn)［3］中，作者通過計算機(jī)編程，得到了如下結(jié)論:當(dāng)0.1≤p＜0.2，n≥60，當(dāng) 0.2≤p≤0.9，n≥30。

2 二項分布的近似計算在保險問題中的應(yīng)用

2.1 保險公司的利潤問題。

例2:10000名同年齡且同社會階層的人參加了某保險公司的一項人壽保險，每個投保人在每年初需交納200元保費(fèi)，而在這一年中若投保人死亡，則受益人可從保險公司獲得100000元的賠償費(fèi)。據(jù)生命表知這類人的年死亡率為0.001。試計算:(1)保險公司虧本的概率;(2)至少獲利500000元的概率。

解:設(shè)X為10000名投保人在一年中死亡的人數(shù)，則X服從二項分布B(10000，0.001)

一方面，因?yàn)閚=10000很大，p=0.001很小，λ=np=10，考慮用公式(1)進(jìn)行近似計算:

(1)保險公司在這項業(yè)務(wù)上一年的收入為200×10000=2000000(元)，保險公司在這項業(yè)務(wù)上“虧本”就相當(dāng)于{X＞20}，因此所求概率為

(2)保險公司在這項業(yè)務(wù)上“至少獲利500000元”就相當(dāng)于{X≤15}，因此所求概率為

另一方面，因?yàn)?n=10000 很大，p=0.001，np(1 －p)=10000×0.001 ×0.999=9.99 ＞9，滿足教材中的要求，考慮用公式(3)進(jìn)行近似計算:

在解決上述例題時，考慮到了公式(3)的應(yīng)用條件，由此得到的兩種近似計算結(jié)果相差不到1%，因此可以認(rèn)為這兩種近似方法都得到了比較精確的結(jié)果，同時也說明了保險公司虧本的可能性是很微小的。

2.2 保費(fèi)的確定問題。

例3:有10000名同年齡且同社會階層的人參加了某保險公司的一項人壽保險，每個投保人在每年初需交納一定的保費(fèi)，而在這一年中若投保人死亡，則受益人可從保險公司獲得10000元的賠償費(fèi)。據(jù)生命表知這類人的年死亡率為0.001。若保險公司想以99%的把握保證公司不虧本，試求投保人每人每年需交納的最低保費(fèi)額度為多少?

解:設(shè)這一年中最大死亡人數(shù)為時，保險公司不會虧本，即 P{X≤x}≥0.99

一方面，我們用公式(1)進(jìn)行近似計算:

另一方面，我們用公式(3)進(jìn)行近似計算:

查表［1］可得 Φ(2.33)=0.9901，解得 x=17，此時需支出賠償費(fèi)17000000，因此最低保費(fèi)為170元。

由于此時x必須為整數(shù)，兩種近似結(jié)果相差了1，屬于正常的誤差范圍，可以認(rèn)為這兩種近似方法都到了可靠的結(jié)果。保險公司為了保證利潤，不妨把最低保費(fèi)定為180元，更有把握盈利。

3 結(jié)語

對于二項分布的計算問題，當(dāng)n很大時，常用泊松定理和棣莫弗－拉普拉斯定理得到的近似計算公式計算。

［1］盛驟，謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］王雅玲.二項分布近似公式的限制條件及修正［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007(6).

［3］杜勛明，陳冬娥，姚云.二項分布和泊松分布的正態(tài)近似條件分析［J］.湖北醫(yī)科大學(xué)學(xué)報，1998(2).

［4］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程［M］.北京:高等教育出版社:2004(7).

Talk About Approximate Calculation for Binomial Distribution and Application in Insurance

Zhang Yan

Poisson theorem，Di mo eph－Laplace theorem provide us with an approximate calculation formula for the binomial distribution.In this paper，the conditions to adopt the theorem are studied and the two approximate calculation formula are used to calculate the insurance problems.

binomial distribution;approximate calculation;poisson distribution normal distribution;insurance problem

O211.3

A

1672－6758(2012)01－0045－2

張艷，碩士，講師，江蘇科技大學(xué)張家港校區(qū)基礎(chǔ)教學(xué)部，江蘇·張家港。郵政編碼:215600

Class No.:O211.3Document Mark:A

(責(zé)任編輯:宋瑞斌)