曹雅玲　潘亭蓉

【摘要】本研究之主要目的在于探討小學(xué)教師的估算知識(shí)與估算教學(xué)。研究對(duì)象為臺(tái)北地區(qū)小學(xué)五年級(jí)擔(dān)任數(shù)學(xué)科教學(xué)教師，選取具數(shù)理背景及非數(shù)理背景共六位，進(jìn)行深入研究。訪談六位參與研究教師本身的估算知識(shí)，了解教師的估算知識(shí)與估算教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】估算；估算知識(shí)；估算策略；估算教學(xué)；小學(xué)教師

一、研究目的

縱觀國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，已有越來越多的國(guó)家重視估算教學(xué)，并強(qiáng)調(diào)其重要性。美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM,2000）出版《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)量標(biāo)準(zhǔn)》當(dāng)中的“數(shù)與計(jì)算”，建議學(xué)生要能熟練地計(jì)算，并能做合理的估計(jì)；除了繼續(xù)強(qiáng)調(diào)估算的重要性外，并建議加強(qiáng)估算的教學(xué)。估算在過去數(shù)學(xué)教學(xué)中，是較被忽略的課題，在聯(lián)考制度引導(dǎo)教學(xué)的情況下，為了獲得較高的數(shù)學(xué)成績(jī)，向來都強(qiáng)調(diào)筆算的技能、速度和唯一的答案，總是重視算則的機(jī)械式演練與計(jì)算技能的熟練，而缺乏思考、邏輯推理的培養(yǎng)（楊德清，2000）。但隨著教育不斷地改革，目前課程標(biāo)準(zhǔn)也越來越重視估算這部分領(lǐng)域，認(rèn)為估算學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生的數(shù)感以及數(shù)學(xué)思維有相當(dāng)程度的幫助。一般來說，數(shù)字感較好的學(xué)生，通常都能夠使用估算的技巧來協(xié)助計(jì)算、驗(yàn)算與解題。而經(jīng)由估算課題的教學(xué)，也更能促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、程序計(jì)算、解題三者間的聯(lián)結(jié)，有更深入的理解（教育部，2003）。可見各國(guó)數(shù)學(xué)教育界已逐漸重視估算能力的培養(yǎng)，估算教學(xué)亦成為改革的重要方向之一。

綜上所述，可以清楚了解到估算的應(yīng)用在日常生活當(dāng)中占有重要的角色，因此掌握這些基本能力是相當(dāng)重要的，目前估算教學(xué)已受到許多先進(jìn)國(guó)家的重視，并強(qiáng)調(diào)其重要性，而臺(tái)灣數(shù)學(xué)課程雖已包含了估算的內(nèi)涵，但是要如何將學(xué)校教學(xué)中所含的估算概念融入生活當(dāng)中與其作統(tǒng)整聯(lián)結(jié)，值得進(jìn)一步地探討。因此，估算的概念并不像我們所謂的分?jǐn)?shù)、小數(shù)一樣明確，對(duì)于教師能否在教學(xué)中融入估算的應(yīng)用去進(jìn)行教學(xué)，這是值得探討的部分。

二、文獻(xiàn)探討

估算意義與重要性

許多學(xué)者提出估算是綜合多種能力、技巧與數(shù)概念的運(yùn)算，并結(jié)合心算快速地計(jì)算出合理性的答案。林彩鳳（1995）也提出估算不是形式的計(jì)算，而是結(jié)合心算、數(shù)概念及一些運(yùn)算技巧，如取近似值、位值概念等快速地得到與精算結(jié)果接近且合理的約略訊息答案，這個(gè)過程完全是內(nèi)在運(yùn)思而不假借任何外界的計(jì)算工具。估算是個(gè)人對(duì)數(shù)字及運(yùn)算的一般性了解，即以彈性的方式運(yùn)用所理解的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)判斷，并發(fā)展有用的策略以處理面對(duì)數(shù)學(xué)情境的一種能力及傾向（楊德清，1997）。

三、估算策略

研究者整理學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)之估算策略，其內(nèi)容敘述如下：

首位法。取數(shù)值之首位來簡(jiǎn)化數(shù)值，通常會(huì)視情況將各數(shù)取頭（或去尾），并做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整再心算。（Reys，1982）

改良式首位法。比首位法更靈活，它是將首位和其他部分分開處理，再做結(jié)合運(yùn)算，使估算值更接近正確值。（Reys，1982）

叢集策略。先觀察算式中的數(shù)值接近何數(shù)值（估計(jì)平均值或較佳數(shù)值），再加以運(yùn)算。（Reys，1982）

四舍五入法。將原數(shù)值經(jīng)四舍五入后，產(chǎn)生較易計(jì)算的值，再運(yùn)算求出估算值。通常會(huì)在調(diào)整算式的過程中使用，是一個(gè)好的策略，因?yàn)檎{(diào)整時(shí)會(huì)高估其中一數(shù)低估另外一數(shù)。（Reys，1982）

兼容數(shù)字策略。選擇算式中的數(shù)字將原式處理成較易計(jì)算的形式。（Reys，1982、孟憲騰，1997）

利用特殊數(shù)字0，1，5，10，100，12或14等。每個(gè)人處理數(shù)字形式的習(xí)慣不同，因此會(huì)做各種數(shù)值形式間之轉(zhuǎn)換，以利運(yùn)算。（Reys，1982）

使用分?jǐn)?shù)。將問題中的數(shù)字看成分?jǐn)?shù)的形式來處理，但不改變?cè)瓎栴}的結(jié)構(gòu)。（Reys，1982）

使用已知或較理想的數(shù)。將算式以較熟悉或以熟知結(jié)果的形式做比對(duì)，利用該熟知結(jié)果的形式為依據(jù)做估算，不必再執(zhí)行煩瑣的計(jì)算。（Reys，1982）

舍入兩個(gè)數(shù)。在乘法問題中將兩數(shù)皆舍入，使答案成為十的非零乘冪。（Levine，1982）

舍入一個(gè)數(shù)。舍入問題中的其中一數(shù)，另一數(shù)不做改變，使問題更為容易估算。（Dowker，1992）

因式化。將問題中的數(shù)字做因子分解，或同時(shí)除以某個(gè)公因子，而簡(jiǎn)化原問題的數(shù)字，以便處理。（Dowker，1992）

前位算法。利用標(biāo)準(zhǔn)算法大約地計(jì)算出估算值。例如：12×11。4≈12×11得到132，再加上12×0。4＝4。8，而得到136。8。（Reys，1982）

分配律。利用a×（b+c）＝ab+ac的分配律規(guī)則處理問題中的數(shù)字運(yùn)算。（Reys，1982）

其他還有“取5為近似值”：將接近5的數(shù)值取近似值為5，接近0的數(shù)值取近似值為0，接近10的數(shù)值取近似值為10（林彩鳳，1995）；“心算法”：直接心算出答案或?qū)⑿乃闼弥鸢父臑楣浪愦鸢傅裙浪悴呗裕ㄖб憔?996）。

四、估算與估算教學(xué)相關(guān)研究

支毅君（1996）之研究，在估算教學(xué)上，多數(shù)教師聽過“估算”一詞，在解連加題目時(shí)，最普遍使用的是“四舍五入法”；亦有半數(shù)人會(huì)使用叢集策略，大部分的教師可以判斷答案的合理性。有五分之四的教師認(rèn)為估算在日常生活中很重要，并且認(rèn)為應(yīng)在小學(xué)課程中加上估算課程。估算教學(xué)能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的概念以及過程的了解，也就是在過程中不僅能學(xué)到估算技巧還能有助于位值、數(shù)值大小、數(shù)的事實(shí)概念以及各種運(yùn)算意義的學(xué)習(xí)，更能去察覺答案之合理性。孟憲騰（1997）認(rèn)為估算教學(xué)知識(shí)是指結(jié)合估算知識(shí)與教學(xué)知識(shí)，職前教師在進(jìn)行估算教學(xué)時(shí)能將估算的知識(shí)（例如：估算的策略、估算合理性的問題……）與教學(xué)知識(shí)結(jié)合而成的估算教學(xué)知識(shí)。在美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)(NCTM，1991）提出學(xué)童可以借由使用筆算、心算、估算及電算器等不同的方法來促進(jìn)數(shù)感發(fā)展。在教學(xué)過程中，鼓勵(lì)學(xué)童與同儕分享心算、估算的策略，可以促進(jìn)學(xué)童了解數(shù)字的基本關(guān)系與運(yùn)算法則，且在某些情境下想要了解一些概念，心算、估算比精算更有效。估算的進(jìn)步必須借由持續(xù)的練習(xí)，如同一些數(shù)學(xué)技巧必須經(jīng)由練習(xí)方能有所進(jìn)步。若將估算集中于某單元進(jìn)行教學(xué)，易使估算限于運(yùn)算系統(tǒng)的一部分，且學(xué)生見到估算題時(shí)會(huì)采取生硬的策略運(yùn)算（Sowder，1984）。另外教師在估算的教學(xué)過程中扮有重要的角色，因此教師必需激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)估算的動(dòng)機(jī)意愿，安排適當(dāng)?shù)恼n程內(nèi)容。

五、研究方法

研究設(shè)計(jì)與對(duì)象

本研究之主要目的在探討小學(xué)教師的估算知識(shí)與估算教學(xué)。研究對(duì)象為臺(tái)北地區(qū)小學(xué)五年級(jí)擔(dān)任數(shù)學(xué)科教學(xué)的教師，選取具數(shù)理背景及非數(shù)理背景共六位，進(jìn)行深入研究。訪談六位參與研究教師本身的估算知識(shí)，了解教師的估算知識(shí)與估算教學(xué)。研究者設(shè)計(jì)“教師估算知識(shí)訪談”題目，內(nèi)容涵蓋估算的內(nèi)涵、估算教學(xué)、估算解題等。文中凡提及之人名，皆以代號(hào)稱之，表1為參與研究教師之背景資料表。