陳文進(jìn)

本文就幾位賽課教師所教學(xué)的“對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”一課的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程，以及實(shí)踐中的部分片段談?wù)劰P者的想法，僅供參考，不當(dāng)之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、“對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”到底是怎樣的一個(gè)性質(zhì)

當(dāng)前課堂教學(xué)所表現(xiàn)出的問(wèn)題要是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解不到位，無(wú)深層次思維及本質(zhì)的探索.而只有有了問(wèn)題或知識(shí)的源頭才能更好地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，從而上出一堂精彩的課.

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的靈活掌握，基于對(duì)對(duì)數(shù)式的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)，如：log3是什么？剛學(xué)完對(duì)數(shù)的概念，學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)式還有些陌生感，甚至?xí)鴮懮线€存在偏差，一下子很難從指數(shù)式變換到對(duì)數(shù)式.好像我們初中認(rèn)識(shí)，π等一樣，只是一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值源于一個(gè)運(yùn)算.我們?cè)陉P(guān)注對(duì)對(duì)數(shù)式的認(rèn)識(shí)時(shí)，只有弄清楚對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)到底是怎樣的性質(zhì)，才會(huì)有恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì).

二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一課的教學(xué)該如何設(shè)計(jì)

了解了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)的概念，再進(jìn)行設(shè)計(jì)教學(xué)也就有了根據(jù).

整個(gè)教學(xué)過(guò)程應(yīng)該圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行，所有的教學(xué)活動(dòng)也應(yīng)依據(jù)教學(xué)目標(biāo)而開(kāi)展.本節(jié)課的教學(xué)就是要讓學(xué)生明確：（1）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是怎么來(lái)的；（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的必要性.讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)這一性質(zhì)的實(shí)質(zhì)及必要性，為今后熟練運(yùn)用此性質(zhì)進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算奠定基礎(chǔ).

（1）情境設(shè)置一般都是提出問(wèn)題.看如下兩個(gè)引入問(wèn)題：

指數(shù)冪運(yùn)算有如下性質(zhì)：aa=a①，=a②，（a）=a③.

對(duì)數(shù)的運(yùn)算是否也有相應(yīng)的性質(zhì)？

（2）求lg2，lg5的值，那么lg2+lg5≈1還是lg2+lg5=1呢？

情境（1）存在的思維障礙是：無(wú)方向感，即使對(duì)數(shù)的運(yùn)算有相應(yīng)的性質(zhì)，但體現(xiàn)的形式究竟是怎樣的呢？通俗地說(shuō)，問(wèn)題問(wèn)得有點(diǎn)大，還得重新設(shè)置情境.

情境（2）問(wèn)題設(shè)置：lg2+lg5的值如何得到？計(jì)算器不是隨時(shí)都可以使用，且計(jì)算器不一定能計(jì)算復(fù)雜的代數(shù)式.要計(jì)算lg2+lg5的值，必須利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

讓學(xué)生感受問(wèn)題研究的必要性，激發(fā)學(xué)生思考，并使問(wèn)題明確，讓學(xué)生有效地研究，主動(dòng)地學(xué)習(xí)，才能保證有良好的教學(xué)效果.

指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)與對(duì)數(shù)的定義應(yīng)該是對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的根本.這就要求我們得清楚如何運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)得到對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

如指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中aa=a，另根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有a=N，我們令m=logM，n=logN，不難發(fā)現(xiàn)a·a=M·N，且a=a，則MN=a，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義把此式轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)式，即log（MN）=logM+logN.

有了性質(zhì)①的指引，學(xué)生自然會(huì)去使用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)②、③來(lái)接著推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).我們只要令m=logM，n=logN，其中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R，使得性質(zhì)的導(dǎo)出不再突然.至于教材對(duì)性質(zhì)①的證明，則使用了逆過(guò)程，即從對(duì)數(shù)再回到指數(shù).這樣就使得兩個(gè)性質(zhì)的內(nèi)容相得益彰，教學(xué)內(nèi)容也得以豐富、圓滿.

很顯然，其中“a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R”都是對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)成立的前提，如logx+log（2-x），化簡(jiǎn)為log（2x-x）的前提是x>0且2-x>0.所以每一個(gè)對(duì)數(shù)式的出現(xiàn)，其真數(shù)一定是大于0的，當(dāng)然底數(shù)a>0且a≠1亦是必需的.

學(xué)生在使用該性質(zhì)進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)時(shí)，多數(shù)是在套用.如例4，log（2×4），我們完全可以使用對(duì)數(shù)定義及指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解決.筆者認(rèn)為教材的編排意圖是讓學(xué)生初步體會(huì)公式的作用，能夠讓很大數(shù)的對(duì)數(shù)化歸為較小數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算.再如例5，通過(guò)lg2，lg3的值去求lg12的值，我們就能明顯感覺(jué)到對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的好處，性質(zhì)的存在就顯得十分必要.

還有兩個(gè)問(wèn)題，即真數(shù)大于0與公式的記憶對(duì)學(xué)生的要求.輔助練習(xí)中有如下幾題：

若a>0，a≠1，下列等式中不正確的是？搖 ？搖.

①log（M+N）=logM+logN；②log（M-N）=logM-logN；

③log（MN）=logM+logN；④log（MN）=logMlogN；

⑤log=；⑥（logM）=nlogM，n∈R.

對(duì)于這樣的鞏固練習(xí)到底是使學(xué)生記憶加深印象，還是造成混淆，筆者認(rèn)為值得商榷.譬如，對(duì)于③的不正確性，學(xué)生一片嘩然，老師解釋了以后有的才反應(yīng)過(guò)來(lái)，因?yàn)榇藭r(shí)的學(xué)生哪里能顧得了這么多.筆者認(rèn)為這樣的圈套不宜設(shè)置，特別是其中一位教師在剛介紹完公式及證明后，跟著就設(shè)置這樣的問(wèn)題就更不應(yīng)該了.你要真想鞏固“真數(shù)要大于0”，就可以直接地問(wèn)：log[（-2）×（-3）]是否等于log（-2）+log（-3）？還有①，筆者認(rèn)為這明顯是一種誤導(dǎo)，本來(lái)也許學(xué)生并沒(méi)有這樣的想法，這個(gè)錯(cuò)誤的等式就成了干擾.更何況學(xué)生正在進(jìn)行正確的記憶儲(chǔ)備，而且這個(gè)等式也不是一定不成立，如：log（2+2）=log2+log2.筆者認(rèn)為大可不必通過(guò)這種方式來(lái)鞏固等式成立條件及加深對(duì)公式的記憶，只要原理弄清摸透，加強(qiáng)正面訓(xùn)練，熟練掌握就會(huì)水到渠成.

其實(shí)教材中的練習(xí)足以讓學(xué)生對(duì)公式的使用進(jìn)行鞏固.當(dāng)然，如果學(xué)生的基礎(chǔ)比較好，可以加一些與其他知識(shí)綜合的問(wèn)題或綜合使用多個(gè)公式的問(wèn)題.蘇州市教研室陳兆華老師一次講座中講道：“上向量一節(jié)的內(nèi)容，要求學(xué)生證明一個(gè)不等式，學(xué)生均考慮用向量法；而我們是否能在上證不等式課時(shí)，讓學(xué)生用向量法呢？”意指我們的教學(xué)要讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，不要把數(shù)學(xué)課上成了心理課.

三、對(duì)教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中幾個(gè)片段的思考

筆者對(duì)幾位教師在教學(xué)實(shí)踐中的幾個(gè)片段談?wù)効捶?，以供再設(shè)計(jì)、再教學(xué)時(shí)參考.

片段1：對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)的設(shè)計(jì).

師：①計(jì)算：log8，log32，log（8×32）；

②若logM=p，logN=q，能否用p、q來(lái)表示log（MN），log，logM？

這兩個(gè)問(wèn)題能有效引發(fā)學(xué)生的思考，學(xué)生有能力且有興趣去解決.就在學(xué)生積極思考和演算時(shí)，老師又提出問(wèn)題：大家很容易發(fā)現(xiàn)①中什么結(jié)論？根據(jù)①的結(jié)論，你能猜出②的結(jié)論嗎？請(qǐng)學(xué)生回答，學(xué)生回答得倒也算流暢，如師所愿.

師：哪位同學(xué)來(lái)證明一下這個(gè)結(jié)論？

這么好的一個(gè)情境效果被大大打了折扣.我們憑什么去猜②的結(jié)論？猜的結(jié)論就一定是正確的嗎？如何談得上證明？一個(gè)好的情境引人深思，但不能充分利用，將事倍功半.教師在課堂教學(xué)中一定要關(guān)注提問(wèn)的有效性，要有明確的目的性、合理的針對(duì)性、耐人尋味的啟發(fā)性.

片段2：也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

師：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有了運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)來(lái)自于指數(shù)，對(duì)數(shù)是不是也應(yīng)該有呢？請(qǐng)看大家最熟悉的等式：5+3=8，5-3=2.

老師特意頓了一下，學(xué)生一臉詫異的表情，等待著下文.

師：我們根據(jù)上節(jié)課練習(xí)，已知恒等式：loga=b.這樣的話，我們可以有：

5+3=8？圯log2+log2=log2；5-3=2？圯log2-log2=log2.

若2=M，2=N，2=？則有什么樣的等式呢？

……

logM+logN=log（MN），下面我們來(lái)證明.

很巧妙的構(gòu)思，等式的發(fā)現(xiàn)、原理的闡述，都比較到位，很自然，使得教材中設(shè)logM=p，logN=q變得理所當(dāng)然，而非突如其來(lái)、奇思妙想.

美中不足的是，既然已經(jīng)提到了對(duì)數(shù)恒等式loga=b中的對(duì)數(shù)式是以a為底數(shù)，就沒(méi)有必要以2為底數(shù)以后，再舉例底數(shù)3，底數(shù)4，進(jìn)而再一般化為底數(shù)a，有些啰唆.

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)固然已為數(shù)學(xué)結(jié)論，前人已定，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，仍然需要“再發(fā)現(xiàn)”.問(wèn)題式情境導(dǎo)入，研究性探討學(xué)習(xí)，是新課程改革的主要導(dǎo)向.讓學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，重視結(jié)論的來(lái)源，增加學(xué)生數(shù)學(xué)思維“參與度”，應(yīng)成為如今數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要任務(wù)；讓學(xué)生成為實(shí)驗(yàn)者、研究者、創(chuàng)造者，應(yīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主要方向.