陶為群

（中國人民銀行南京分行，江蘇 南京 210004）

馬克思再生產(chǎn)模型中的最高、最低積累率

陶為群

（中國人民銀行南京分行，江蘇 南京 210004）

馬克思的兩部類再生產(chǎn)模型中的各部類和全社會最高與最低積累率問題，是尚未獲得完滿解決的難點(diǎn)問題。本文運(yùn)用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)最大、最小值方法，通過解析，給出了靜態(tài)意義下的各部類和全社會最高及最低積累率與兩個(gè)部類結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。并且引用和借鑒《資本論》中的舉例，對給出的函數(shù)關(guān)系式做了算例驗(yàn)證。

馬克思再生產(chǎn)模型；積累率；最大、最小值；結(jié)構(gòu)參數(shù)；單調(diào)函數(shù)

1 引言

馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)理論與模型對于研究國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的規(guī)律具有基礎(chǔ)性指導(dǎo)意義。積累是擴(kuò)大再生產(chǎn)的源泉，因而其中的兩個(gè)部類積累率之間關(guān)系的問題，以及與此相連的全社會積累率高低界限問題，都是非常重要的內(nèi)容，也是經(jīng)過多年研究、至今尚未獲得完滿解決的難點(diǎn)問題。解決這個(gè)問題對于將模型加以控制和優(yōu)化都是必須的。難點(diǎn)主要在于，兩個(gè)部類的產(chǎn)品實(shí)現(xiàn)和積累相互依賴和約束，因此兩個(gè)部類的積累率高低界限問題無法分割，必須一同解決。張忠任（2006）研究馬克思再生產(chǎn)體系的兩個(gè)部類積累率的調(diào)節(jié)機(jī)制時(shí)，明確給出了消費(fèi)資料部類積累率的表達(dá)式，以及生產(chǎn)資料部類的最大積累率表達(dá)式，但他認(rèn)為整個(gè)調(diào)節(jié)過程是從首先確定生產(chǎn)資料部類的積累率開始，消費(fèi)資料部類積累率是生產(chǎn)資料部類積累率的函數(shù)[1]。陶為群、陶川(2010、2011)研究馬克思的兩部類再生產(chǎn)模型時(shí)，引入兩個(gè)部類新創(chuàng)造價(jià)值之比例關(guān)系作為結(jié)構(gòu)參數(shù)，與各部類的資本有機(jī)構(gòu)成和剩余價(jià)值率一起，共同完整地反映了馬克思兩部類經(jīng)濟(jì)增長模型的結(jié)構(gòu)[2]，并明確給出了兩個(gè)部類積累率之間的相互約束關(guān)系式[3]。由于馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)模型是一個(gè)特別的兩部類經(jīng)濟(jì)增長模型，因而各部類的積累率必然存在高低界限；于是由兩個(gè)部類積累率加權(quán)形成的全社會的積累率也必然存在高低界限；各部類積累率、全社會積累率的高低界限應(yīng)當(dāng)是這個(gè)模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)。

2 對馬克思兩部類經(jīng)濟(jì)增長模型的結(jié)構(gòu)的辨識

馬克思經(jīng)濟(jì)增長理論和模型建立在勞動價(jià)值論的基石之上，含有價(jià)值構(gòu)成原理和實(shí)物構(gòu)成原理。價(jià)值構(gòu)成原理在社會產(chǎn)品價(jià)值上的體現(xiàn)是，產(chǎn)品的全部價(jià)值由生產(chǎn)它所消耗的生產(chǎn)資料價(jià)值、勞動力價(jià)值和剩余價(jià)值三部分構(gòu)成。實(shí)物構(gòu)成原理在社會生產(chǎn)上的體現(xiàn)是，劃分成分別生產(chǎn)生產(chǎn)資料、消費(fèi)資料的兩大部類。經(jīng)濟(jì)增長以社會總產(chǎn)品的實(shí)現(xiàn)為前提，這個(gè)實(shí)現(xiàn)過程必須通過兩個(gè)部類之間的產(chǎn)品等價(jià)交換完成。資本積累是剩余價(jià)值轉(zhuǎn)化成資本，是經(jīng)濟(jì)增長的源泉。馬克思兩部類經(jīng)濟(jì)增長模型設(shè)定了經(jīng)濟(jì)增長過程中各部類的資本有機(jī)構(gòu)成和剩余價(jià)值率不變，那么在每個(gè)部類內(nèi)部，不變資本、可變資本、剩余價(jià)值、新創(chuàng)造價(jià)值之間都保持著固定不變關(guān)系，因而兩個(gè)部類之間任一個(gè)對應(yīng)部分之間的比例關(guān)系，都足以表現(xiàn)整個(gè)部類之間的比例關(guān)系。陶為群、陶川（2010）為了便于和現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)增長模型比較，用兩個(gè)部類新創(chuàng)造價(jià)值之間的比例關(guān)系從總體上反映兩個(gè)部類之間的比例關(guān)系。分別以C，V，M，Y表示不變資本、可變資本、剩余價(jià)值、新創(chuàng)造價(jià)值，則Y=V+M；以下標(biāo)Ⅰ、Ⅱ表示生產(chǎn)資料部類和消費(fèi)資料部類，上標(biāo)（t）表示第t年。用h=C/V表示資本有機(jī)構(gòu)成，e、μ分別表示剩余價(jià)值率、剩余價(jià)值積累率，這些結(jié)構(gòu)參數(shù)再加上t年兩個(gè)部類新創(chuàng)造價(jià)值之間的比例關(guān)系，就共同完整地反映了馬克思兩部類經(jīng)濟(jì)增長模型的特殊結(jié)構(gòu)[2]。

3 部類間產(chǎn)品交換確立了兩個(gè)部類積累率之間的函數(shù)關(guān)系

由于馬克思兩部類經(jīng)濟(jì)增長模型中設(shè)不變資本的周轉(zhuǎn)周期為1年，因而固定資產(chǎn)折舊已經(jīng)計(jì)入生產(chǎn)資料消耗之中，當(dāng)年新創(chuàng)造價(jià)值對應(yīng)于統(tǒng)計(jì)上的國內(nèi)生產(chǎn)凈值。對確定了含義的字母前面加符號△表示增量。按照馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)理論，積累來自剩余價(jià)值，分解為△C和△V兩個(gè)部分。包括完成積累的社會總產(chǎn)品實(shí)現(xiàn)，必須經(jīng)過兩個(gè)部類之間的產(chǎn)品交換，并且在產(chǎn)品交換時(shí)生產(chǎn)資料生產(chǎn)部類對消費(fèi)資料的全部需求，等于消費(fèi)資料生產(chǎn)部類對生產(chǎn)資料的全部需求。這一交換等式可以表示成：

一個(gè)也就被隨之確定，不應(yīng)看作誰被誰決定?；蛘哒f，可以任取二者之一作為自變量，讓另一個(gè)成為其函數(shù)。 現(xiàn)在不妨取作為自變量，根據(jù)每個(gè)部類內(nèi)部不變資本、可變資本、剩余價(jià)值、新創(chuàng)造價(jià)值之間的關(guān)系式和φ（t）的定義，將用參數(shù)確定的部類結(jié)構(gòu)關(guān)系式帶入（2）式，可得到兩個(gè)部類的積累率之間的函數(shù)關(guān)系：

4 運(yùn)用求函數(shù)最大、最小值方法確定每個(gè)部類最高、最低積累率

對于某個(gè)取定的t年，兩個(gè)部類新創(chuàng)造價(jià)值之比例關(guān)系φ（t）是個(gè)已經(jīng)被確定的數(shù)值；而φ（t）可以取不同值。 因?yàn)橥瑯樱桑?）、（5）兩式可解得作為對應(yīng)的必要條件時(shí)，φ（t）的取值區(qū)間是：

5 運(yùn)用求函數(shù)最大最小值方法確定全社會最高、最低積累率

5.1 在第Ⅰ部類有機(jī)構(gòu)成高情形下確定全社會最高積累率

從（14）式看出：當(dāng)?shù)冖癫款愑袡C(jī)構(gòu)成高即 hⅠ＞hⅡ時(shí)，全社會積累率 μ（t）是的單調(diào)增函數(shù)。 這是由于，根據(jù)（1）式△C（t）是已經(jīng)相對被確定的，當(dāng) hⅠ＞hⅡ時(shí)消費(fèi)品部類的有機(jī)構(gòu)成低，增大意味著匹配增大該部類的新增可變資本△，因而增大全社會新增可變資本△V（t），就會提高全社會積累率。所以取值越大，全社會積累率 μ（t）越高。 將（14）式中的換成用（9）式表示的 Max（）帶入，得到 μ（t）的最大值 Max（μ（t））表達(dá)式：Max（μ（t））

5.2 在第Ⅱ部類有機(jī)構(gòu)成高情形下確定全社會最高積累率

同樣從（14）式看出：當(dāng)?shù)冖虿款愑袡C(jī)構(gòu)成高即 hⅠ＜hⅡ時(shí)， μ（t）是的單調(diào)減函數(shù)，越小則 μ（t）越大。 這是由于，（1）式中△C（t）是已經(jīng)相對被確定的，相對減少意味著增大，hⅠ＜hⅡ時(shí)投資品部類的有機(jī)構(gòu)成低，意味著必須匹配增大該部類的新增可變資本△因而增大全社會新增可變資本△V（t），從而會提高全社會積累率。所以取值越小，全社會積累率 μ（t）越高。 將（14）式中的換成用（11）式表示的 Min帶入，得到 μ（t）的最大值 Max（μ（t））表達(dá)式。Max（μ（t））

這時(shí)對于某個(gè)取定的t年，全社會積累率μ（t）是個(gè)確定的數(shù)值，與

5.3 在兩個(gè)部類有機(jī)構(gòu)成相同情形下確定全社會最高積累率

根據(jù)（14）式，當(dāng)兩個(gè)部類有機(jī)構(gòu)成相同即h=h時(shí)，取值大小都無關(guān)， μ（t）也就是積累率最大值Max（μ（t））。這是因?yàn)閮蓚€(gè)部類有機(jī)構(gòu)成相同，每個(gè)部類的新增可變資本都是按照新增不變資本的1/hⅡ（1/hⅠ）比例匹配的；（1）式中全社會新增不變資本△C（t）是已經(jīng)被確定的，所以全社會新增可變資本△V（t）也是按照△C（t）的 1/hⅡ匹配的，是個(gè)確定的數(shù)值；所以全社會積累率 μ（t）成為確定的數(shù)值。但是對于不同的年份 t，Max（μ（t））=μ（t）同樣可以看作是φ（t）的一元函數(shù)。

從Max（μ（t））的表達(dá)式看到，不管第Ⅰ、Ⅱ部類有機(jī)構(gòu)成高低相比較怎樣不同，全社會最高、最低積累率都與兩個(gè)部類的資本利潤率有關(guān)。綜合以上關(guān)于第Ⅰ、Ⅱ部類有機(jī)構(gòu)成高低比較的3種不同情形的解析，由于全社會積累率 μ（t）是的單調(diào)函數(shù)，同時(shí)的最大、最小值都可以看作是φ（t）的函數(shù)，所以，全社會積累率最大值 Max（μ（t））就可以看作是φ（t）的復(fù)合一元函數(shù)。 并且，Max（μ（t））是φ（t）的單調(diào)減函數(shù)。

5.4 區(qū)分不同情形確定全社會最低積累率

與以上關(guān)于第Ⅰ、Ⅱ部類有機(jī)構(gòu)成高低比較的3種不同情形分析的方法相同，能夠分別獲得全社會積累率最小值 Min（μ（t））的表達(dá)式。當(dāng)?shù)冖癫款愑袡C(jī)構(gòu)成高即 hⅠ＞hⅡ時(shí)，全社會積累率 μ（t）是的單調(diào)增函數(shù)，這時(shí) Min（μ（t））的表達(dá)式與 hⅠ＜hⅡ情形下的 Max（μ（t））表達(dá)式完全相同；當(dāng)?shù)冖虿款愑袡C(jī)構(gòu)成高即 hⅠ＜hⅡ時(shí)，μ（t）是的單調(diào)減函數(shù)，這時(shí) Min（μ（t））的表達(dá)式與 hⅠ＞hⅡ情形下的 Max（μ（t））表達(dá)式完全相同；當(dāng)兩個(gè)部類有機(jī)構(gòu)成相同即hⅠ=hⅡ時(shí)，對于某個(gè)取定的t年，全社會積累率μ（t）是個(gè)確定的數(shù)值，與μ取值大小無關(guān)，Min（μ（t））的表達(dá)式與 μ（t）的表達(dá)式（17）完全相同。 綜合關(guān)于第Ⅰ、Ⅱ部類有機(jī)構(gòu)成高低比較的 3種不同情形的解析，全社會積累率最小值 Min（μ（t））都可以看作是φ（t）的減函數(shù)。

表1 引用和借鑒《資本論》第二卷第二十一章中算例驗(yàn)證

6 引用和借鑒《資本論》的算例驗(yàn)證

下面引用和借鑒馬克思《資本論》第二卷第二十一章中的舉例，對以上論述與推導(dǎo)的部分關(guān)系式進(jìn)行算例驗(yàn)證，結(jié)果列于表1。馬克思在《資本論》第二卷第二十一章中舉了個(gè)的第二例，通過計(jì)算來說明兩個(gè)部類的擴(kuò)大再生產(chǎn)過程。在這個(gè)第二例當(dāng)中，馬克思設(shè)定基年的兩個(gè)部類結(jié)構(gòu)參數(shù)是：hⅠ=5，hⅡ=5.0175，eⅠ=eⅡ=1。該例作了連續(xù)4年的擴(kuò)大再生產(chǎn)計(jì)算。現(xiàn)在直接引用對前3年的計(jì)算結(jié)果列在表1中，作為全社會一般積累率的情形，與本文給出的全社會積累率最小值的情形對比。本文使用該例第1年的本原數(shù)據(jù)，僅僅換成按照本文給出的全社會積累率最小值算式條件，取值；再分別按照列出的算式，相應(yīng)獲得全社會積累率最小值和第Ⅰ部類積累率值；照此以各部類自身的縱向傳遞關(guān)系計(jì)算3年，計(jì)算結(jié)果列在表1中，驗(yàn)證了算出的各年全社會積累率都低于相應(yīng)的馬克思例示積累率。算例也驗(yàn)證了本文指出的積累率最小值可以看作是φ（t）的嚴(yán)格減函數(shù)的結(jié)論。

綜合以上研究有幾點(diǎn)結(jié)論：第一，由于馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)模型是一個(gè)具有特別結(jié)構(gòu)的兩部類經(jīng)濟(jì)增長模型，兩個(gè)部類的積累率是互相依賴、互為約束的，因而各部類積累率都有最大、最小值。第二，對于不同的年份t，兩個(gè)部類的積累率，的最大、最小值都可以看作是兩個(gè)部類新創(chuàng)造價(jià)值之比例φ（t）的一元單調(diào)函數(shù)，意味著為了實(shí)現(xiàn)兩個(gè)部類的擴(kuò)大再生產(chǎn)或者簡單再生產(chǎn)，，取值都受到兩個(gè)部類新創(chuàng)造價(jià)值之比例關(guān)系的約束。第三，為了實(shí)現(xiàn)兩個(gè)部類的擴(kuò)大再生產(chǎn)或者簡單再生產(chǎn)，任何年份φ（t）的取值都必須有上下界限。第四，由于全社會積累率是兩個(gè)部類積累率的加權(quán)平均數(shù)，因而也有最大、最小值，并且最大、最小值也都可以看作是φ（t）的一元單調(diào)函數(shù)。引入兩個(gè)部類新創(chuàng)造價(jià)值之比例關(guān)系φ（t）作為結(jié)構(gòu)參數(shù)至關(guān)重要。實(shí)際上通過將兩個(gè)部類產(chǎn)出相對化，簡化為相當(dāng)于單一部類的結(jié)構(gòu)。總的來說，各部類積累率、全社會積累率的最大、最小值都是由兩部類經(jīng)濟(jì)增長模型之結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定。當(dāng)在動態(tài)意義下，兩個(gè)部類新創(chuàng)造價(jià)值之比例φ（t）會隨著此前年份的取值和兩個(gè)部類的積累而變化，所以這種情形下的兩個(gè)部類和全社會最高、最低積累率需要另做研究。

[1]張忠任.數(shù)理政治經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京:經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2006.

[2]陶為群、陶川.馬克思經(jīng)濟(jì)增長模型中的儲蓄與勞動就業(yè)關(guān)系[J].當(dāng)代經(jīng)濟(jì)研究，2010，（7）.

[3]陶為群、陶川.馬克思經(jīng)濟(jì)增長模型中的特征值及其理論蘊(yùn)含[J].經(jīng)濟(jì)評論，2011，（3）.

[4]馬克思.資本論（第二卷）[M].北京:人民出版社，2004.

[5]陶為群.總供給總需求平衡與兩部類再生產(chǎn)的相合性[J].經(jīng)濟(jì)師，2011，(1).

THE HIGHEST AND LOWEST RATE OF ACCUMULATION IN MARX′S REPRODUCTION MODEL

TAO Wei-qun
（Nanjing Branch,The People′s Bank of China,Nanjing Jiangsu 210004）

It is a difficult question which has not solved satisfactorily that the highest and lowest rate of accumulation in Marx′s reproduction model.By means of analyzing,and using the property of monotone function and method of seeking the maximum and minimum of a function, this paper gives function expressions about the relation of the highest and lowest rate of accumulation of each social production department and whole society with structural parameters of two departments,by meaning of static state.Finally,with reference to the Das Kapital,the paper exemplifies the above-mentioned.

Marx′s reproduction model;the rate of accumulation;maximum and minimum;structural parameters;monotone function

F0-0

A

1672－2868（2011）04－0025－07

2011-04-18

陶為群（1955-），男，江蘇南京人。中國人民銀行南京分行高級經(jīng)濟(jì)師,安徽大學(xué)、安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)兼職教授，研究方向：社會再生產(chǎn)理論、數(shù)量經(jīng)濟(jì)。

責(zé)任編輯：澍 斌