劉學(xué)詠

（湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北 武漢430205）

探討概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的新模式

劉學(xué)詠

（湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北 武漢430205）

主張?jiān)诮虒W(xué)中注重理論聯(lián)系實(shí)際的原則，把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中去，開(kāi)展學(xué)生的多邊思維交流活動(dòng)，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)，來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性。

教學(xué)方法；理論聯(lián)系實(shí)際；多邊思維；實(shí)驗(yàn)課

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科的基礎(chǔ)課程相對(duì)抽象、枯燥、難懂，更重要的是很多學(xué)生對(duì)它們的應(yīng)用和它們對(duì)學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)管理課程的重要性缺乏了解、認(rèn)識(shí)，有些同學(xué)甚至認(rèn)為，學(xué)它們沒(méi)用，因此對(duì)它們不感興趣，學(xué)習(xí)積極性不高，導(dǎo)致學(xué)習(xí)成績(jī)下降，有些同學(xué)甚至干脆放棄對(duì)它們的學(xué)習(xí)。基于以上原因，在教學(xué)中注重理論聯(lián)系實(shí)際原則，開(kāi)展學(xué)生的多邊思維交流活動(dòng)，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)，是至關(guān)重要的。

一、注重從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，得出數(shù)學(xué)概念、方法和規(guī)律

在教材中，許多概念和方法都是從解決實(shí)際問(wèn)題中引入的，這實(shí)際上體現(xiàn)了理論聯(lián)系實(shí)際的原則，我們應(yīng)該對(duì)這點(diǎn)足夠重視，并盡可能的將概念和方法回歸到實(shí)際背景，并將這一過(guò)程貫徹始終。針對(duì)經(jīng)濟(jì)、管理類(lèi)學(xué)生，他們對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的實(shí)際問(wèn)題更感興趣，因此最好多從一些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題出發(fā)。例如，在學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的兩個(gè)數(shù)字特征——數(shù)學(xué)期望和方差時(shí)，可以首先提出如下問(wèn)題讓學(xué)生思考，進(jìn)而通過(guò)科學(xué)的抽象引入數(shù)學(xué)期望與方差的定義。

某一公司有兩個(gè)投資機(jī)會(huì)，A投資機(jī)會(huì)是一高科技項(xiàng)目，B項(xiàng)目是一個(gè)老產(chǎn)品并且是必需品。假設(shè)未來(lái)的經(jīng)濟(jì)情況有三種：繁榮、正常和衰退。發(fā)生概率分別為0.3、0.4、0.3。A項(xiàng)目預(yù)期收益率分別為佳。0.9、0.15、-0.6。B項(xiàng)目預(yù)期收益率分別為佳0.2、0.15、0.1。如果你是該公司老板，作為風(fēng)險(xiǎn)回避者，你會(huì)投資那一個(gè)項(xiàng)目？學(xué)生首先會(huì)想到，評(píng)價(jià)兩項(xiàng)目?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)：預(yù)期收益率及風(fēng)險(xiǎn)。首先計(jì)算預(yù)期收益率：A為0.3×0.9+ 0.4×0.15+0.3×(-0.6)=0.15.B為0.3×0.2+0.4×0.15+0.3×0.1= 0.15。結(jié)果發(fā)現(xiàn)相等，這時(shí)學(xué)生會(huì)考慮風(fēng)險(xiǎn)，那么風(fēng)險(xiǎn)怎樣衡量呢，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)表示收益的不確定性，因此可用各種可能的收益率與預(yù)期收益率的平均偏離程度來(lái)衡量，衡量平均偏離程度的標(biāo)準(zhǔn)很多，為了便于計(jì)算，我們用可能的收益率與預(yù)期收益率的差的平方的加權(quán)平均數(shù)來(lái)衡量，投資A和投資B的風(fēng)險(xiǎn)分別為0.3375和0.0015。結(jié)果發(fā)現(xiàn)A的風(fēng)險(xiǎn)大于B的風(fēng)險(xiǎn)，作為一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)回避者，應(yīng)投資B項(xiàng)目。問(wèn)題解決以后，就可給出數(shù)學(xué)期望和方差的概念。其中A，B的預(yù)期收益率，即各種可能收益率以概率為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)，就是A，B的收益率的數(shù)學(xué)期望，A，B的風(fēng)險(xiǎn)即收益率與預(yù)期收益率之差的平方的以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)就是收益率的方差。這樣一來(lái)，學(xué)生不僅理解了數(shù)學(xué)期望與方差的含義，而且對(duì)他們?cè)诮?jīng)濟(jì)學(xué)科中的應(yīng)用也有了一定的了解，這樣無(wú)疑激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

二、開(kāi)展學(xué)生的多邊思維交流活動(dòng)

與其他數(shù)學(xué)分支相比，概率問(wèn)題具有自身的特點(diǎn)：分析角度更加靈活，解題思路更加多樣。從給定的信息中，盡可能周全的、具體的從可個(gè)方面考慮同一問(wèn)題。教師要引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展多邊思維交流活動(dòng)，使學(xué)生在這種活動(dòng)中自主地調(diào)整自己的思維方向，形成自己的思路。例如在古典概型的教學(xué)中，解答“在5雙不同的鞋中任取4只，求至少有2只配成一雙的概率。”求解的基本思路是利用公式顯然，這里關(guān)鍵是求出由乘法原理，學(xué)生一般認(rèn)為140（從5雙中任取一雙，即配成一對(duì)，再?gòu)氖Ｓ嗟?只中任取2只）。故其結(jié)果與正確答案截然不同，原因何在？針對(duì)這個(gè)問(wèn)題仔細(xì)分析一下：表示從5雙中任取1雙，即配成1對(duì)；表示從剩余的8只中取2只，可能配對(duì)，也可能不配對(duì)（配對(duì)與否都滿(mǎn)足題意）。若中取法都不配對(duì)，則與中取法沒(méi)有重復(fù)；但若中取法也配對(duì)，即4只配成2對(duì)，這與中取法就可能出現(xiàn)重復(fù)，且重復(fù)個(gè)數(shù)是=10種。由此給出mA=130。則P（A）=130/210=13/21。由此可以看出，對(duì)概率問(wèn)題分析、求解，考慮要全面，不能有重復(fù)。另一方面，事件={至少有2只配對(duì)}={4只恰好有2只配對(duì)}∪{4只恰好配成2對(duì)}=A1∪A2（A1，A2為互不相容事件）。而mA1=120，（即從5雙中取1雙，然后從剩余的4雙中取2雙，而且從這2雙的每雙中可取1只），mA2=10（即從5雙中取2雙）。由加法原理，從而mA=120+10=130。這個(gè)問(wèn)題還可以用如下幾種簡(jiǎn)單解法：

（方法1）隨機(jī)試驗(yàn)E為5雙不同的鞋子中取4只，它共有種取法。設(shè)A={4只中至少2只配對(duì)}，則P（A）=1-P（A軍）。又在A軍中樣本點(diǎn)：4只是一只一只取出的，第1只可以任意取，有10種取法，第2只只能取剩下的且除去和已取的第1只配對(duì)的另1只后的8只中任取1只，它有8種取法。同理第3只、第4只各有6、4種取法所以樣本點(diǎn)總數(shù)為10×8×6×4，故P（A）=13/21。

一題多解是盡可能周全地、具體地從各個(gè)方面考慮和思考同一問(wèn)題。能夠不受現(xiàn)有知識(shí)的束縛，敢于提出新奇的構(gòu)想，往往會(huì)出現(xiàn)思路轉(zhuǎn)移的創(chuàng)新局面。當(dāng)然，并非每一道題都有多種解法，一題多解不是目的而是手段。在實(shí)際的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，要讓學(xué)生主動(dòng)去想，要敢想，只有不拘泥于現(xiàn)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)答案的教學(xué)思想地束縛，才能充分發(fā)掘?qū)W生的想象潛能，更好地促使學(xué)生提出自己的創(chuàng)新。

三、加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)方法一般采用講授和上機(jī)相結(jié)合的方法，開(kāi)課方法可分為兩種模式：基本教學(xué)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)和開(kāi)放性實(shí)驗(yàn)?；窘虒W(xué)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)課一般需要8～10課時(shí)，在理論課程學(xué)習(xí)過(guò)程中，穿插上機(jī)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)順序與理論課教學(xué)一致，但可滯后些。在理論課堂上把實(shí)驗(yàn)課內(nèi)容所用到得定理、公式講清。在實(shí)驗(yàn)課上教師利用20～30分鐘的時(shí)間進(jìn)行演示，60～70分鐘由學(xué)生根據(jù)教師演示的內(nèi)容和方法完成本節(jié)課布置的題目。開(kāi)放性實(shí)驗(yàn)是單獨(dú)開(kāi)設(shè)一門(mén)課程，有興趣的學(xué)生自愿參加，以學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)為主，一般在10～18學(xué)時(shí)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)課的重點(diǎn)不在于講解理論、原理及計(jì)算，基本實(shí)驗(yàn)是通過(guò)演示加深學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)理論方法的理解和學(xué)會(huì)概率統(tǒng)計(jì)中基本方法的應(yīng)用和應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件完成計(jì)算；開(kāi)放性實(shí)驗(yàn)是教師提出問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)自己做實(shí)驗(yàn)，觀察和分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)自己調(diào)查研究的問(wèn)題作出結(jié)論。開(kāi)放性實(shí)驗(yàn)既不規(guī)定具體的實(shí)驗(yàn)步驟，也不預(yù)先告訴學(xué)生實(shí)驗(yàn)結(jié)果，給學(xué)生充分的探索余地，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)方法解決問(wèn)題，得出結(jié)論。即使結(jié)論與理論結(jié)果有偏差，甚至不一樣，我們也給予適當(dāng)?shù)墓膭?lì)，可以讓學(xué)生重新設(shè)計(jì)與探索，以便在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中漸漸培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)性與興趣。

在教學(xué)中首先選擇一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)軟件平臺(tái)，如SAS它具有常用統(tǒng)計(jì)方法的過(guò)程模塊，不需要編寫(xiě)較大的程序就能夠方便地實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)內(nèi)容。具體教學(xué)方法為：

（一）確定實(shí)驗(yàn)課內(nèi)容后編寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，報(bào)告內(nèi)容包括每次實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、主要?nèi)容和要求學(xué)生完成的題目。

（二）利用統(tǒng)計(jì)軟件（SAS），編寫(xiě)程序，在實(shí)驗(yàn)課上演示后還可供學(xué)生調(diào)用、修改。

（三）學(xué)生根據(jù)教師的演示，通過(guò)修改、編寫(xiě)程序完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告上的實(shí)驗(yàn)題目。

要求學(xué)生課前復(fù)習(xí)理論課相關(guān)內(nèi)容，學(xué)習(xí)好所需的必備知識(shí)，了解實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?/p>

開(kāi)放性實(shí)驗(yàn)首先由教師根據(jù)理論課內(nèi)容方法，給出一種方法的應(yīng)用，然后布置問(wèn)題。學(xué)生2～3人為一組，進(jìn)行數(shù)據(jù)調(diào)查，數(shù)據(jù)整理，上機(jī)實(shí)驗(yàn)，分析運(yùn)算結(jié)果，作出結(jié)論寫(xiě)出報(bào)告。實(shí)驗(yàn)報(bào)告中要求學(xué)生針對(duì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)的方法和實(shí)施實(shí)驗(yàn)的步驟，清晰地表達(dá)問(wèn)題、體驗(yàn)問(wèn)題和理解問(wèn)題。觀察實(shí)驗(yàn)過(guò)程、分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果和思考問(wèn)題，并能實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出假設(shè)、猜想。在新的情境中檢驗(yàn)所形成的觀念或猜想的實(shí)用性和普遍性。

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