梁麗芬

（珠海市斗門區(qū)第二中學，廣東 珠海 519100）

數學大師波利亞曾說過：“良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至可能比知識的廣泛性更為重要.至少在有些情況下，知識太多可能反而成了累贅，可能會妨礙解題者看出一條簡單的途徑，而良好的組織則有利而無弊。”現在初三的復習很大程度上是通過解題教學來實現知識鞏固，同時題目的綜合性較強，需要學生對于題目有一個很好的認識.復習中的重點不是多講幾個題目、多做幾個練習，而應通過典型例題理清知識體系，培養(yǎng)學生的悟性，優(yōu)化知識結構。

“悟”是學習方法，是獨立思考；“悟”是學習品質，是感受體驗；“悟”是解除疑難，是開拓創(chuàng)新。為了讓學生能形成良好的知識結構，教師在問題解決過程中應更多地暴露思維過程，通過問題的合理設置激活學生原有的知識經驗，啟發(fā)他們形成新的理解、新的認識。因此數學課堂教學有效開展離不開教師的合理引導，教學中突出以問題為主線，啟迪學生思考，使學生在課堂中深刻地感受如何發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題的整個過程，理解和認識發(fā)生和發(fā)展的必然的因果關系，從而領悟到分析、思考和解決問題的數學思想方法，最終內化為自身知識結構的重要部分。

教學案例

這是我在初三復習課上講的一道習題。

如圖 1，一張三角形紙片 ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6。沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成ΔAC1D1和ΔBC2D2兩個三角形（如圖2所示）。將紙片ΔAC1D1沿直線 D2B（AB）方向平移（點 A，D1D2，B 始終在同一直線上），當點D1與點B重合時，停止平移。在平移過程中，C1D1與 BC2交于點 E，AC1與 C2D2、BC2分別交于點F、P。

（1）當ΔAC1D1平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的D1E與D2F的數量關系，并證明你的猜想；

（2）設平移距離 D2D1為 x，ΔAC1D1與 ΔBC2D2重疊部分面積為y，請寫出y與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；

（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的x的值；若不存在，請說明理由。

本例的難點是問題（2），很多同學都思路受阻，如何去表示這個陰影面積呢？因此我在教學中設計了以下問題引導學生去分析、解決問題。

一、看清問題

師：不規(guī)則圖形的面積計算，通常用什么方法？

生1：（有所悟）割補法，轉化為規(guī)則的圖形。

師：這里有沒有熟悉可計算的圖形？

生 2： 三 角 形 ， y=SΔBC1D2-SΔBED2-SΔFC1P 或y=SΔAPB-SΔAD2F-SΔBD1E

師：如何用x表示這些三角形的面積？還記得三角形面積的計算的方法嗎？

這樣的問題，思維指向清晰，有明確的教學目標，確定陰影面積y應該如何表示。當然這里“結果”啟發(fā)式的問題沿著教師事先設置好的“軌跡”前進，缺少了一定的開放性，但關鍵要看這樣的“問”是否調動學生參與的積極性，是否符合學生的認知水平，同時要注意問題的層次性，由易到難，前兩個問題的設置有助于增強學生解題的信心.教師的最后一問在此題解決中起到關鍵作用，學生剛開始腦海里還沒合適的求三角形面積的方法，容易聯想到最熟悉的公式S=ah。

師：這些三角形的底能用x表示嗎？高能用x表示嗎？

生4：底比較容易，分別是AD2=BD1=5-x,AB=10-x,BD2=5，C1F=x，高比較麻煩。

二、繞過障礙

師：我們不求高可否直接求三角形的面積？你有好方法嗎？

此問引起學生認知上沖突而促進他們更深入進行思考，引導他們從知識倉庫中提取用的東西，從而產生一個好的思路。把求不規(guī)則圖形的問題劃歸為學生熟悉的求三角形問題，有利學生調動頭腦中儲存的關于這類問題的各種知識。同時概括了三角形面積計算的三種方法，涉及了相似，解直角三角形等有關知識點，把原來相對孤立的知識點有效的串連起來，優(yōu)化學生的知識體系。

三、解決問題

帶參數的問題，通常把給定參數作為已知量運用如本題中的x，表示出所需的未知量，特別注意其中相等的量。引導學生找到對應的相似三角形，盡可能多地表示出相關的線段。對于例題中的難點問題（2），同學們討論得出兩種解法。

這一環(huán)節(jié)學生順著教師預設的“軌跡”到達了目的地，在這一過程中學生的知識結構得到了完善，使得他們通過對題目的重新認識，有了自己的思考和領悟。

四、回到起點

題目解完后是否真正解決了這個問題呢？首先，在問題解決過程中學生的“疑”和教師假想的“疑”并不一定完全吻合，通過問題的回顧可對教學進行調整和優(yōu)化。其次，學生的解題過程是在教師的“安排”下進行，思維有很大的直覺性和依賴性，可能顧及不到對自己思維過程進行分析、整理。所以解完后的總結反思就非常的必要。正是對于解題總結的重要性的認識，波利亞指出：“工作中最重要的那部分就是回去看一下完整的解答。通過考察他的工作過程和最后的解答形式，他會發(fā)現要觀察認識的東西真是千變萬化，層出不窮?！?/p>

師：解完后你對題目有沒有新的發(fā)現和想法。

生5：通過上面的解答，我發(fā)現利用相似比可求出三角形的高，公式S=ah也可行。

生 6：RtΔABC的三邊之比非常特殊 3∶4∶5，因此與它相似的三角形都可以利用這一特性來計算，如RtΔABP，RtΔC1FP的面積都可以利用這一特性簡化計算。

生7：我發(fā)現剛才在計算SΔBD1E，SΔAD2F可以把它們拼在一起就是一個Rt（E和F重合），而且它與RtΔABC相似，因此利用相似比和面積比的關系計算出它們的面積。

生5、生6是在回顧解法后進一步理解了相似在求線段和面積的作用提出的一個解法，原先的障礙得到了解決，而生7是打破了原有思路的的束縛有了更為巧妙的解法，抓住不規(guī)則圖形求面積的“割補”的原理.這是我沒有想到的，有了他的啟發(fā)下面的學生也有了更多的精彩的解答。

生8：（如圖3）連結EF，把原多邊形分成平行四邊形 D1D2FE 和 RtΔPFE，通過 RtΔPFE∽RtΔABC可求出SΔPFE，而平行四邊形D1D2FE的底是已知的，它的高就是三角形ΔAFD1的高也可以用相似求得，因此平行四邊形的面積也可求。

生9：平行四邊形D1D2FE面積可以這樣求，連接C1C2，S平行四邊形CCDD=x·（高等于Rt ΔABC的高），平

1212行四邊形D1D2FE與平行四邊形C1C2D1D2的面積比為D2F∶D2C1=（5-x）∶5，所以 S平行四邊形DDFE=x（5-x）.

12

生10：有了他的啟發(fā)RtΔPFE的面積可以這樣求，因為 SRtΔAEF=S平行四邊形CCEF，用上面的方法可以求出

12S平行四邊形C1C2EF=·S平行四邊形C1C2D1D2=x2，所以 SRtΔAEF=x2。

割補方式的不同可以產生不同的方法，目的是把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形。生8把其轉化為平行四邊形是一個突破，而生8，生9則充分挖掘了平行四邊形的特性，利用等底等高的面積轉化方式非常巧妙，計算簡便。

這節(jié)課雖然我只完成了一道例題，但是，學生給出的很多好的想法和思路是我沒想到的，也給了我很多啟發(fā)。教師在教學中如果能很好地抓住數學本質，以此為問題的載體，調動學生原有的認知，那么學生則會產生更多智慧的火花。教師在教學中不僅應使學生掌握具體的數學知識，而且也應幫助學生學會領會內在的思維方法。