陳夢(mèng)成，陳玳珩

(1.華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西南昌330013;2.日本東京理科大學(xué)機(jī)械工學(xué)科，東京162-8601)

近年來(lái)，蜂窩材料作為一種輕量化與高強(qiáng)化高性能先進(jìn)復(fù)合材料在機(jī)械和土木結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用，如何準(zhǔn)確確定其等效彈性參數(shù)亦備受關(guān)注。早期在分析由周期性胞元構(gòu)成的蜂窩材芯層強(qiáng)度時(shí)，通常假想地將其視為一塊均質(zhì)各向異性薄板，并通過(guò)一系列彈性參數(shù)和結(jié)構(gòu)特征胞元的變形滿足宏觀本構(gòu)方程來(lái)描述其宏觀等效的力學(xué)彈性參數(shù)。關(guān)于等效彈性參數(shù)的理論分析，到目前為止，已有不少報(bào)道[1-5]。但是，在這些研究結(jié)果中，均忽略了胞元壁板剪切變形的影響。實(shí)際上，當(dāng)蜂窩芯層較厚的時(shí)候，這種剪切變形不能忽略。在胞元壁板考慮剪切變形的情況下，本文擬就由圖1(a)所示的正六角形胞元周期性排列組成的圖1(b)中正六角形蜂窩芯層的面內(nèi)等效彈性參數(shù)進(jìn)行理論分析。

1 考慮剪切變形的面內(nèi)等效彈性參數(shù)理論分析

結(jié)構(gòu)的變形和失穩(wěn)問(wèn)題可以通過(guò)分析與母體力學(xué)結(jié)構(gòu)相似的結(jié)構(gòu)特征單元在相同載荷下的變形和失穩(wěn)現(xiàn)象得到比較簡(jiǎn)單而又直接的解決。整個(gè)蜂窩狀?yuàn)A芯層面內(nèi)變形的求解可以通過(guò)分析圖1(b)中點(diǎn)線范圍內(nèi)所示的單個(gè)代表性特征單元變形而獲得，本節(jié)擬開(kāi)展這方面工作。圖2(a)為從圖1(b)中點(diǎn)線范圍內(nèi)割出的單個(gè)單元示意圖，圖2(b)為蜂窩夾芯層受均勻拉伸作用時(shí)構(gòu)成單個(gè)單元的胞元壁ABB′A′、CBB′C′和DBB′D′在連接處所受的力和彎矩示意圖，圖中采用局部坐標(biāo)系(ξ，η，ζ)。整體坐標(biāo)系(x，y)平面和局部坐標(biāo)系(ξ，ζ)平面均置于胞元壁高半中腰位置。z坐標(biāo)軸與η坐標(biāo)軸重合，即z=η。胞元正壁和胞元斜壁的物理量分別用下標(biāo)v和l加以區(qū)分。另外，為了區(qū)別整體坐標(biāo)系下隔蜂窩狀結(jié)構(gòu)等效應(yīng)力與局部坐標(biāo)系下胞元各壁板應(yīng)力，整體坐標(biāo)系下應(yīng)力符號(hào)上方使用符號(hào)～。

圖1 蜂窩芯層結(jié)構(gòu)

圖2 結(jié)構(gòu)特征單元及其受力分析

首先來(lái)確定蜂窩芯層在x方向的材料性質(zhì)。為此，假定蜂窩芯層在無(wú)限遠(yuǎn)處受到x方向的均勻拉伸載荷作用，則作用在胞元正壁板的分布力為

作用在胞元斜壁上沿x方向和y方向的分布力px|l(η)與py|l(η)分別為

它們沿ξ方向(斜壁面內(nèi))和ζ方向(斜壁面外垂直)的分解力為

下面討論圖3中單元內(nèi)各個(gè)壁板沿x方向的變形δix和y方向的變形δiy的求解方法，它們分別是單元內(nèi)各壁板變形在x方向和y方向投影代數(shù)和。圖3中粗線代表胞元壁，細(xì)線方框內(nèi)表示的是分析單元的區(qū)域。胞元壁板的變形是在px|l(η)作用下，由力q|

ζl(η)引起的彎曲變形和剪切變形以及由力q|ξl(η)引起的伸縮變形共同形成的。

胞元正壁板由于沒(méi)有受到力的作用，所以其變形等于零，即

圖3 單元內(nèi)各胞元壁板變形投影疊加示意圖

它們?cè)趚方向和y方向的投影自然也就為零。

對(duì)于胞元斜壁板來(lái)說(shuō)，由于載荷和結(jié)構(gòu)對(duì)稱，所以只需要分析其中一塊斜壁板變形。胞元斜壁板一共受三種載荷作用，它們是彎矩Mη|l(η)、軸向力qξ|l(η)和剪力qζ|l(η)。因此，由材料力學(xué)知識(shí)，我們可以得到Mη|l(η)引起的胞元斜壁板彎曲變形撓度為

式中:Iξ=ht3/12;h為蜂窩芯層高度或胞元壁板寬度;l為胞元壁板長(zhǎng)度;t為胞元壁板厚度;Es為胞元壁板縱向彈性模量。在x方向和y方向投影|x和|y分別是

剪力qζl(η)引起的胞元斜壁板彎曲變形撓度為

剪力qζ|l(η)引起的胞元斜壁板剪切變形撓度為

式中:A為受剪截面面積;k是關(guān)于剪切變形的修正系數(shù)。本文為了研究方便，取k=1(Mind lin[6]研究中取k=π2/12;Reissner[7]研究中取k=5/6)。在x方向和y方向投影|x和|y分別是

伸縮力qξ|l(η)引起的胞元斜壁板伸縮變形為

綜上所述，單個(gè)單元在x方向產(chǎn)生的總變形為

相應(yīng)地，單個(gè)單元在x方向產(chǎn)生的線應(yīng)變?yōu)?/p>

單個(gè)單元在y方向產(chǎn)生的總變形為

相應(yīng)地，單個(gè)單元在y方向產(chǎn)生的線應(yīng)變?yōu)?/p>

根據(jù)Hooke定律，蜂窩芯層在x方向的等效彈性模量為

等效Poisson比υxy由定義得

同理，可以得到y(tǒng)方向的等效彈性模量

和等效Poisson比

以上式(18)-(21)即為蜂窩芯層面內(nèi)等效彈性參數(shù)新結(jié)果，它們分別可以退化到Gibson和Ashby公式[4]和宋明慧公式[5]。比較式(18)-(21)，蜂窩芯層材具有各向異性。面內(nèi)參數(shù)，還包含另一個(gè)剪切模量參數(shù)μxy，限于篇幅，我們擬在另文中報(bào)道。

2 結(jié)論

本文嚴(yán)格從材料力學(xué)出發(fā)，導(dǎo)出了蜂窩芯層面內(nèi)等效彈性參數(shù)的理論分析公式。該公式考慮了胞元壁板各種變形產(chǎn)生的影響，克服了過(guò)去公式不全面的弱點(diǎn)。

[1] GIBSON L J，ASHBYM F，SCHAJERGS，ROBERTSTONC I.Themechanicsof two-dimensional cellularmaterials[J].Proc Roy Soc，1982，A382:25-42.

[2] MASTERS IG，EVANSK E.Models for the elastic deformation of honeycombs[J].Compos Struct，1996，35(4):403-422.

[3] WARRENW E，KRAYNIK AM.The linear elastic response of two-dimensional spatially periodic cellularmaterials[J].Mech Mater，1987，6(1):27-37.

[4] GIBSON L J，ASHBYMF.Cellular Solids:Structures&Properties[M].Oxford:Pergamon Press，1988:89-93.

[5] 富明慧，伊久仁.蜂窩芯層的等效彈性參數(shù)[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，1999，31(1):113-118.

[6] MINDLIN RD.Influenceofrotatory inertiaand shear on flextualmotionof isotropic p lates[J].ASME JApp lMech，1951，18(1):31-38.

[7] REISSNERE.The effectof transverse shear deformation on the bending of elastic plates[J].ASME JApplMech，1945，12(1):69-77.