姜家鳳

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,如何根據(jù)知識的形成和發(fā)展規(guī)律,聯(lián)系學(xué)生的認(rèn)知水平,有效突破傳統(tǒng)教學(xué)模式,創(chuàng)建以學(xué)生為主體的教學(xué)模式,使教學(xué)過程充滿情趣,教師教得輕松,學(xué)生學(xué)得愉快,是當(dāng)前課堂教學(xué)改革的主旋律。下面以人教版數(shù)學(xué)六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中“雞兔同籠”為例談?wù)勛约旱恼J(rèn)識。

一、情境激趣

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的催化劑,是推動學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅的課堂氣氛,遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)律,通過數(shù)學(xué)的藝術(shù)性、形象性、直觀性、趣味性來調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！半u兔同籠”是我國著名的算術(shù)著作《孫子算經(jīng)》中的內(nèi)容,此題具有典型性,因此,課開始,我從古題引入。

師:中華文化源遠(yuǎn)流長,《孫子算經(jīng)》是我國古代一部非常重要的數(shù)學(xué)名著,里面記載了很多有趣的數(shù)學(xué)名題,其中有這樣一個問題(電腦顯示):“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足。問雉兔各幾何?”

師:在這道題中,你有不明白的詞語嗎?

生:“雉”是什么意思?(電腦顯示:“雉”讀“zhì”,就是野雞。)

師:誰來說一說,這道題給出了哪些條件?提出了什么問題?

生:有一些野雞和兔關(guān)在一個籠子里,從上面看,共有35個頭,從下面看,共有94只腳。問有多少只雞,多少只兔?

師:古人對這樣的題目有著獨到的見解,我們把類似于這樣的問題統(tǒng)稱為“雞兔同籠問題”。今天,我們就來研究“雞兔同籠問題”。

〔反思〕教學(xué)是對文化的傳承與弘揚,數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外。用古代數(shù)學(xué)名題導(dǎo)入,不僅讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的悠久與魅力,而且激發(fā)了學(xué)生探究的興趣和動機(jī)。

二、積極猜想

猜想是依據(jù)已有的材料或知識經(jīng)驗,對研究的數(shù)學(xué)對象(或數(shù)學(xué)問題)做出符合一定規(guī)律的推測性想象。猜想是一種直覺性的比較高級的思維方式,對于探索性和發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)來說,猜想是一種重要的思維方法。波利亞說:“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中,猜想是合理的、值得尊重的、是負(fù)責(zé)任的態(tài)度?！彼€認(rèn)為,在有些情況下,教猜想比教證明更為重要。所以出示例1后,啟發(fā)學(xué)生積極猜想。

師:為了便于研究,我們從簡單問題入手,把題中的“35個頭”和“94只腳”分別換成“8個頭”和“26只腳”。

例1:籠子里有若干只雞兔,從上面數(shù),有8個頭,從下面數(shù),有26只腳,雞和兔各有幾只?

師:請同學(xué)們猜一猜,雞兔可能各有幾只?

學(xué)生猜測、匯報。

師:可能只有一種動物嗎?為什么?

生:不可能。如果都是雞就只有16只腳,而題中的是26只腳;也不可能全是兔,因為如果都是兔就有32只腳。

〔反思〕由于學(xué)生已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗和知識儲備,他們會猜測出各種答案(但絕不會猜測全部是雞或全部是兔子),這樣的猜測不僅為解決問題指明了方向,還增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)感,發(fā)展了推理能力。

三、科學(xué)驗證

實驗驗證是科學(xué)研究的重要方法。實驗中,學(xué)生會想方設(shè)法尋找一種證明“自己是對的”操作方法。

師:你們的猜想對不對呢?你能想一個辦法來推出你的猜測是正確的嗎?請同學(xué)們小組內(nèi)討論交流。(學(xué)生討論交流,教師巡視指導(dǎo)。)

師:誰愿意展示自己的方法?

(綜合學(xué)生的解法,有以下四種方法。)

(1)列表法。

師:你們是怎樣想的?

生:從有1只雞開始,一個一個地試,把試的結(jié)果列成表格。從表中看出3只雞5只兔符合題目要求。

師:除了列表法外,還有其他方法嗎?

(2)畫圖法。先畫8個圓圈代表8個動物的頭,再為每個動物畫2只腳。這樣,還少了10只腳,因為每只兔子少了2只腳,所以是5只兔子,3只雞。

師:畫圖的方法便于觀察,也容易理解。

(3)假設(shè)法。

師:兔有4只腳,雞只有2只腳,這豈不是不公平嗎?

生:雞還有2只翅膀呢!

師:如果翅膀也算“腳”,總共該有多少只腳呢?

生1:8×4=32(只)腳,若翅膀不算“腳”,只有26只腳,可多出32-26=6(只)翅膀,這樣,雞就有6÷2=3(只)。

生2:假如我給這群小動物發(fā)口令:“雞不動,兔子起立!這樣,它們都只有2只腳在地面上了,就得到16只腳(8×2=16),那就少了10只腳,就可以知道兔子是10÷2=5(只)。

師:你怎么會想到這樣方法?能告訴大家嗎?

生:我讓兔子起立,實際上是把兔子的腳分為兩部分,一部分和雞一樣多,另一部分是比雞多出的。

(4)代數(shù)法。

師:除了以上方法外,還有其他方法嗎?

生:還可以用方程解答。

師:請同學(xué)們試一試用方程解答。

生:設(shè)有x只兔子,雞就有(8-x)。列方程:4x+2(8-x)=26 解:x=5,即兔子有5只,雞有8-5=3(只)。

〔反思〕教師組織學(xué)生多層面、多角度地探索問題。學(xué)生先用“列表法”和“畫圖法”驗證。在驗證過程中,不斷發(fā)現(xiàn)新的問題,提出解決策略“假設(shè)法”與“代數(shù)法”,并在解決新問題的過程中不斷完善自己的猜想,發(fā)揮創(chuàng)造才能,最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

四、溝通聯(lián)系

從傳統(tǒng)的解“應(yīng)用題”到新課程提出的“解決問題”,發(fā)生了根本性的變化。解決問題更加關(guān)注的是當(dāng)學(xué)生在生活中遇到實際問題時,如何運用數(shù)學(xué)思想探求解決問題策略。解決問題的策略是多樣的,當(dāng)學(xué)生用幾種方法解決了“雞兔同籠”問題后,引導(dǎo)學(xué)生反思,溝通策略之間的聯(lián)系并優(yōu)化解法是必要的。

師:請同學(xué)們回憶一下,剛才解決雞兔同籠問題時,用了哪些方法?

生:列表法、畫圖法、假設(shè)法和代數(shù)法。

師:要你們解決《孫子算經(jīng)》中的原題,你會選擇哪種方法?為什么?

生:我選擇假設(shè)法。

生:我選擇代數(shù)法。因為當(dāng)頭和腳的只數(shù)較多時,用列表法和畫圖法比較麻煩,而且有一定的局限性,是不容易找到答案的。

師:這些方法之間有聯(lián)系嗎?

生:有聯(lián)系。通過列表法,我們知道了可以假設(shè)雞分別有1、2、3只……兔子就對應(yīng)著7、6、5只……這是假設(shè)法的基礎(chǔ)。

生:畫圖法也是假設(shè)法的基礎(chǔ)。

生:從列表中,我們還可以看出,如果雞有1、2、3只……兔子就有8-1=7只、8-2=6(只)、8-3=5(只)……也就是說,如果雞有x只的話,兔子就有(8-x)只。

師:用你喜歡的方法解答《孫子算經(jīng)》中的原題。(學(xué)生自行回答。)

〔反思〕列表、畫圖、假設(shè)與代數(shù)法都是解決問題的策略,列表法和畫圖法直觀形象,簡便易行,但有其局限性。教學(xué)時要讓學(xué)生理解這些策略的特點,恰當(dāng)?shù)剡x擇運用,在分析問題和解決問題中體驗解決問題策略的多樣

性。

五、建構(gòu)模型

數(shù)學(xué)模型是人們以數(shù)學(xué)方式認(rèn)識具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。人們以數(shù)學(xué)方式通過分析、比較、判斷、推理等思維活動,探究具體事物的本質(zhì)及聯(lián)系,最終以符號、模型等將其規(guī)律揭示出來,使復(fù)雜的問題本質(zhì)化、簡潔化、一般化,使某類問題的解決有了共同的程序與方法?？梢哉f,數(shù)學(xué)模型反映了數(shù)學(xué)思維的過程。建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)特征的反映,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和課程改革的重要任務(wù)。因此,當(dāng)學(xué)生理解了“雞兔同籠”問題后,讓學(xué)生對生活中的一些例子開展練習(xí)活動并進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建構(gòu),是教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)。

1.出示兒歌:“一隊獵人一隊狗,兩隊并著一隊走,數(shù)頭一共49,數(shù)腳一共176,有幾個獵人幾只狗?”

師:讀這首兒歌,你知道了什么?能用解答雞兔同籠問題的方法求解嗎?

2.育紅小學(xué)“環(huán)保衛(wèi)士”小分隊12人參加植樹活動,男同學(xué)每人栽3棵樹,女同學(xué)每人栽2棵樹,一共栽了32棵樹。男女同學(xué)各有幾人?

〔反思〕學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程,實際上是對一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過程。學(xué)生在探索數(shù)學(xué)模型的過程中,同時獲得了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決實際問題的思想、程序與方法,二者對學(xué)生的發(fā)展來說,其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于僅僅獲得某些數(shù)學(xué)知識。重視滲透模型化思想,正是順應(yīng)了這種改革的趨向和要求。讓學(xué)生聯(lián)系生活實際練習(xí),一方面鞏固新知,另一方面從題型的結(jié)構(gòu)中理解“雞兔同籠”問題的特征,促進(jìn)了數(shù)學(xué)思想及方法的內(nèi)化。

作者單位

江蘇省溧陽市教師進(jìn)修學(xué)校培訓(xùn)處

◇責(zé)任編輯:李瑞龍◇