楊　彥

に罩荽笱數(shù)學系 215006

オ

1 序 言

代數(shù)的抽象性使得學生在學習時遇到不少困難，往往需要結(jié)合一些具體的直觀形象來輔助學習，這與我國課程所提倡的“數(shù)形結(jié)合”思想不謀而合. 英國作為世界課程改革的先驅(qū)之一，其課程注重實用性和能力培養(yǎng)，具有鮮明的國家特征. 本文試通過對其初中代數(shù)課程進行仔細研讀，將課程呈現(xiàn)過程中“數(shù)形結(jié)合”的特點加以介紹，對比我國同類課程進行一定反思.

2 英國代數(shù)課程簡介

2000年，英國重新制定了新的國家數(shù)學課程. 新課程初中階段的代數(shù)課程是以數(shù)與代數(shù)相結(jié)合的形式呈現(xiàn)，其中代數(shù)部分是由方程、公式與恒等式（記為①），序列與函數(shù)（記為②），及函數(shù)圖像（記為③）三部分組成. ①主要是代數(shù)式、方程等傳統(tǒng)代數(shù)知識；②提供了大量幾何、序數(shù)等序列模式，對模式與關(guān)系進行探求，延伸到函數(shù)知識；③除了基本函數(shù)圖像之外，還涉及了許多有關(guān)函數(shù)圖像的實際問題. 在此之前的課程中并未涉及任何正式代數(shù)內(nèi)容，因此，課程是如何從算術(shù)自然過渡到抽象的代數(shù)內(nèi)容，正是本文的關(guān)注點.

3 代數(shù)課程中的“數(shù)形結(jié)合”思想

英國的數(shù)學課程是按照學生能力水平進行設(shè)計，因此本文對“數(shù)形結(jié)合”特點的介紹也遵從這一特征，按照代數(shù)課程不同的水平層次結(jié)構(gòu)，分層進行介紹.

層次1 “由數(shù)知形”且“由形識數(shù)”

代數(shù)課程中蘊含了大量抽象的數(shù)量關(guān)系以及符號表示，與直觀形象的幾何模式形成鮮明對比. 解析幾何的出現(xiàn)，使得這兩種截然相反的模式有了聯(lián)結(jié)和相互表征的可能性. 在英國初中的代數(shù)課程中就包含了部分解析幾何的知識，對某些特定內(nèi)容（如：函數(shù)、不等式解集）要求了解其幾何形式，將其蘊含之義立體化. 同樣的，課程還設(shè)計了大量具體、特殊的幾何模式，來歸納總結(jié)出一些形式化的代數(shù)知識，充分體現(xiàn)了英國課程對代數(shù)的理解：代數(shù)是從算術(shù)、從特殊例子、模式和序列中歸納總結(jié)的一種方式.

ネ1

例1 （7年級，③）開始考慮一次線性函數(shù)的性質(zhì)，y是根據(jù)x的取值要確定的. 比如，建立表格并用坐標紙畫出如下函數(shù)的圖形(如圖1)，對其進行解釋說明：

注意到函數(shù)y=mx的圖像：

均為過原點的直線;

不同的函數(shù)傾斜度不同;

和倍數(shù)的圖像相同, 但它是連續(xù)的, 而不是離散的.

例2 （8年級，②）生成整數(shù)序列并加以描述，將之與其幾何模式聯(lián)系起來.

ダ如：

2的乘冪(圖2)ネ2

將2的乘冪看作是：2個點組成的一排；4個點組成的方陣；2個4點方陣組成的縱排；4個4點方陣組成的方陣.

遞增的矩形（圖3）ネ3

如圖3，根據(jù)序列是遞增或遞減，以及遞增或遞減的步長是否相等來對熟悉的序列進行分類

層次2 “以形助數(shù)”，幫助理解抽象代數(shù)知識

代數(shù)的形式化與符號化，容易造成學生認知上的困難. 為了幫助學生從算術(shù)成功過度到代數(shù)，課程在呈現(xiàn)方程、代數(shù)式等傳統(tǒng)代數(shù)知識的過程中，安排了相當多的具體事例，以一種真實、形象化的手法，借助技術(shù)與現(xiàn)實幫助學生從幾何直觀的角度去看待抽象的代數(shù)知識. 對于某些抽象難懂的數(shù)學概念與性質(zhì)，改由觀察其“形”或者構(gòu)建有效的幾何模式，來幫助學生多角度理解與記憶. 從“數(shù)”與“形”兩種相反的性質(zhì)著手，達到優(yōu)勢互補的效果ネ4

例3 （9年級，①）利用幾何方法來建議一些代數(shù)結(jié)果.

使用紙筆、坐標紙或者圖形計算器畫出方程的圖像

*來解方程組：x+3y=11,5x-2y=4.

ト繽4，兩條直線的交點(2,3)給出了方程的近似解 . ね5

*y=x

y=x2+3.

ト繽6，將方程的解x=6，y=6與首項為1，“除以2，加上3”，代數(shù)表達式為x→x2+3的序列極限聯(lián)系起來.

ね6圖7

例4 （9年級，①）用幾何論據(jù)來說明這些結(jié)論.

展開下列代數(shù)式并化簡，證明他們是等價的.

a2-b2;

a(a-b)+b(a-b);

2b(a-b)+(a-b)(a-b) ;

(a-b)(a+b).

采用不同方式來計算如圖7的面積，利用幾何論據(jù)來說明以上代數(shù)式是等價的.

層次3 “數(shù)形結(jié)合”，解決實際問題

英國的數(shù)學教育重視實用性，“用數(shù)學”的意識和能力的培養(yǎng)貫穿課程始終，不論是在目標、還是手段和方式上都凸顯這一特征. 代數(shù)課程不再拘泥于嚴格的邏輯體系，重視模式與關(guān)系的探求，用符號表示一般規(guī)律(經(jīng)驗公式)，解釋表示現(xiàn)實生活情境的圖表與圖示，并學習如何用“形”幫助解決問題. 因此，教材中設(shè)計了相當多源自現(xiàn)實生活或跨學科的內(nèi)容，借助技術(shù)在解決這些復雜的問題過程中，將數(shù)形結(jié)合的思想灌輸其中，潛移默化的內(nèi)化成學生數(shù)學應用的一種意識.ネ8

例5 （7年級，③）對科學或地理中的直線圖像加以討論，并做出解釋. 比如：學生們在不同體積的罐子（200cm2—500cm2不等）下方點燃蠟燭，記錄下燃燒時間，制成如圖8.(1）討論圖像性質(zhì)：這些點可以連接起來嗎？需要幾個這樣的點才可以畫出精確的圖像？應該用直線把這些點連起來嗎?

(2)回答問題：如果罐子體積是450cm2，蠟燭可以燃燒多久？600cm2呢？

(3）下面哪句話最精確描述了體積與燃燒時間的關(guān)系？

A 體積越大，蠟燭越快熄滅；

B 最大的罐子，蠟燭滅的最慢；

C 體積增加，燃燒時間加長；

D 最小的罐子，蠟燭滅的最快

例6 （9年級，③）如圖9，根據(jù)兩變量間的大概關(guān)系畫出直線草圖，并同某個熟悉的情境聯(lián)系起來比如：水流以恒定速度流入各種形狀的瓶子里，畫出水面深度與時間關(guān)系的圖像,若換成其他形狀的瓶子，畫出相應的圖像,根據(jù)圖像的性質(zhì)，來預測瓶子的形狀.

ね9

4比較與反思

4.1 濃墨重彩VS蜻蜓點水

綜上所述，英國初中課程強調(diào)從算術(shù)“自然”過度到代數(shù)，為此在課程中安排了各種由形到數(shù)的鋪墊. 采用大量來自現(xiàn)實的豐富素材，恰當?shù)剌o之以信息技術(shù)，在數(shù)的抽象與形的具體之間建立起潛移默化的聯(lián)結(jié)，注重形到數(shù)的理解，并在理解的基礎(chǔ)上強調(diào)現(xiàn)實問題解決，整個代數(shù)課程中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想. 反觀我國初中數(shù)學，雖也有形到數(shù)的過度，但類似素材在課程中相對貧乏或者有點形式化，重解題輕理解，有蜻蜓點水之嫌. 如何從算術(shù)自然過渡到代數(shù)是改革的重點.

4.2 思想方法VS解題工具

數(shù)形結(jié)合在英國初中代數(shù)課程中主要表現(xiàn)為一種理念和思想方法，是學生遇到代數(shù)抽象知識時幫助理解的處理手段，最終內(nèi)化為解決現(xiàn)實問題的自覺意識. 而其對我國的師生來講，更多的是一種行之有效的解題工具，屢試不爽. 數(shù)學能力的培養(yǎng)離不開解題，但在各種國際測試中，擅長解題的中國學生在解決實際問題時，并沒比英國學生表現(xiàn)出更大的優(yōu)勢，甚至稍顯頹勢. 一些英國初中的課題，在我國要到高一才開始涉及，這一現(xiàn)象值得我們深思. 將一種非常有用的數(shù)學思想方法僅用作解題，豈不可惜？

げ慰嘉南

ぃ1］ Department for Education and Employment:2001,Key Stage1-4,Mathematics-The National Curriculum for England.

ぃ2］ 國家教育部.全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)［S］.北京:北京師范大學出版社，2001.

ぃ3］ 鄒堅.對初中學生“數(shù)形結(jié)合”能力的調(diào)查研究［J］. 數(shù)學教學,2006.(5).

プ髡嘸蚪椋貉鈦澹女，1983年生. 江蘇蘇州人，蘇州大學數(shù)學課程論專業(yè)研究生.研究方向為中學數(shù)學課程與教學論