孫雪梅

おぴ頗锨靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 655011

オ

弗賴登塔爾(Hans Freudenthal，1905—1990)提出 “數(shù)學(xué)應(yīng)該被看成是人類的一種活動(dòng)”的教育理念，以及他的“數(shù)學(xué)必須聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，必須貼近孩子，必須與社會(huì)相聯(lián)系；數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)不是讓學(xué)習(xí)者在一個(gè)封閉的系統(tǒng)中處理數(shù)學(xué)，而是讓他們在一種數(shù)學(xué)化的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程必須是由學(xué)習(xí)者自己主動(dòng)完成的，而不是任何外界強(qiáng)加的^[1]”等“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)教育”思想對(duì)數(shù)學(xué)課程理論、教學(xué)方法，以及大眾數(shù)學(xué)的主張產(chǎn)生了影響深遠(yuǎn).

RME (Realistic Mathematics Education)（即現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育）思想產(chǎn)生于以荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾為代表的荷蘭數(shù)學(xué)教育研究，它是對(duì)上世紀(jì)60年代美國“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)和荷蘭“機(jī)械數(shù)學(xué)教育”的挑戰(zhàn).

1 RME（現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育）思想的基本內(nèi)涵

RME是自1971年以來荷蘭弗賴登塔爾所研究、倡導(dǎo)和推行的一種開創(chuàng)性的數(shù)學(xué)教與學(xué)的途徑，被廣泛地視為弗賴登塔爾Institute的標(biāo)志.RME的基本觀點(diǎn)是，認(rèn)為從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)上看來，真實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)是可以促進(jìn)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的.學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，通過探究、建構(gòu)性活動(dòng)和對(duì)話交流等一系列數(shù)學(xué)化了的活動(dòng)來自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得數(shù)學(xué)理解^[1].

從上世紀(jì)60年代末開始的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育改革，經(jīng)過近四十年的發(fā)展，RME已形成了結(jié)構(gòu)完整、內(nèi)涵豐富的思想體系.對(duì)它的思想體系的把握，應(yīng)弄清RME中的“現(xiàn)實(shí)”和“數(shù)學(xué)化”這兩個(gè)重要概念.

1．1 現(xiàn)實(shí)（Realistic）

弗萊登塔爾主認(rèn)為“現(xiàn)實(shí)”就意味著獲得數(shù)學(xué)常識(shí)的經(jīng)歷是現(xiàn)實(shí)的，每個(gè)人都要在真實(shí)的過程中逐漸積累數(shù)學(xué)知識(shí)^[3].

RME中的“現(xiàn)實(shí)”的涵義是：首先，RME強(qiáng)調(diào)要給學(xué)生提供他們自己可以想象的現(xiàn)實(shí)問題情境.這就意味著問題的內(nèi)容可以是來自于現(xiàn)實(shí)世界的.

其次，RME中所涉及的現(xiàn)實(shí)，不僅包括與現(xiàn)實(shí)世界相聯(lián)系的一些問題情境，還包括那些成為常識(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，即“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.“現(xiàn)實(shí)”不一定限于具體的事物，作為屬于這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)本身，也是“現(xiàn)實(shí)”的一部分.每個(gè)人也都有自己所接觸到的特定的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.

最后，“現(xiàn)實(shí)”一詞還意味著學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)歷是真實(shí)的.每一位學(xué)生都親身經(jīng)歷、參與了知識(shí)獲得的全過程，他們有自己獨(dú)特的感受和體會(huì)，有自己的付出和收獲，更有同伴間的交流和幫助.這些經(jīng)歷都是真實(shí)存在的，是學(xué)生們的知識(shí)、技能、情感發(fā)展的真實(shí)反映.

由此，“現(xiàn)實(shí)”表達(dá)了RME的如下特征^[4]：①現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育是現(xiàn)實(shí)（realizing）的，即現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育與學(xué)生熟悉的生活密切相關(guān)，學(xué)生通過自己熟悉的生活來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，作為教育內(nèi)容的數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)始終緊密的聯(lián)系在一起.這一點(diǎn)體現(xiàn)出了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的“現(xiàn)實(shí)性”.②現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育是實(shí)現(xiàn)（realized）的，即現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”緊密相連，學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)不是教師課堂灌輸?shù)默F(xiàn)成數(shù)學(xué)成果，而是在教師引導(dǎo)下由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和得出的結(jié)論.這一點(diǎn)體現(xiàn)出了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育過程的“實(shí)現(xiàn)性”.

1．2 數(shù)學(xué)化(Mathematizing)

數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的主題^[5]，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育是關(guān)于數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的教育.這里的“再發(fā)現(xiàn)”就是數(shù)學(xué)化.所以，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育也可稱為是關(guān)于如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化的教育，數(shù)學(xué)化是現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想體系中最重要的概念.

弗賴登塔爾認(rèn)為，人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體的現(xiàn)象，并加以整理組織，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化.簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是數(shù)學(xué)化^[7].

一般來說，數(shù)學(xué)化是一種由現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題，由具體問題到抽象概念的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化活動(dòng)，是人類發(fā)現(xiàn)活動(dòng)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的具體表現(xiàn)^[8].RME中所說的數(shù)學(xué)化，泛指學(xué)習(xí)者從一個(gè)具體的情境問題開始，到得出一個(gè)抽象數(shù)學(xué)概念的教育全過程.這個(gè)過程中，就包括運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)的語言和數(shù)學(xué)的方法去處理現(xiàn)實(shí)材料^[4].

數(shù)學(xué)化分為兩個(gè)層次：水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化.水平數(shù)學(xué)化是指由現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，是把情境問題表述為數(shù)學(xué)問題的過程.大體包括以下內(nèi)容：確定情境問題中包含的數(shù)學(xué)成分；建立數(shù)學(xué)成分與已知的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系；通過不同的方法使這些數(shù)學(xué)成分形象化和公式化；找出蘊(yùn)涵在其中的關(guān)系和規(guī)則；考慮相同數(shù)學(xué)成分在不同情境問題中的表現(xiàn)；做出形式化的表述等.水平數(shù)學(xué)化是發(fā)現(xiàn)情境問題中的數(shù)學(xué)成分，并對(duì)這些成分作符號(hào)化處理的數(shù)學(xué)化過程，是從生活世界到符號(hào)世界的轉(zhuǎn)化過程.經(jīng)過水平數(shù)學(xué)化，現(xiàn)實(shí)問題變成了數(shù)學(xué)問題.垂直數(shù)學(xué)化隨之出現(xiàn)，它是從具體問題到抽象概念的轉(zhuǎn)化，是建立數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)系統(tǒng)之間關(guān)系的過程.垂直數(shù)學(xué)化大體包括以下內(nèi)容：用公式表示關(guān)系；對(duì)規(guī)則做出證明；嘗試運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)模型；對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行調(diào)整和加工；考慮不同數(shù)學(xué)模型的結(jié)合和形成統(tǒng)一的新模型；對(duì)得到的新數(shù)學(xué)概念做出公式化的精確表述；對(duì)問題一般化和推廣等.垂直數(shù)學(xué)化是在數(shù)學(xué)的范疇內(nèi)對(duì)已經(jīng)符號(hào)化了的問題作進(jìn)一步的抽象化處理的數(shù)學(xué)化過程，是從“符號(hào)”到“概念”的轉(zhuǎn)化^[4].

因此，水平數(shù)學(xué)化包括從現(xiàn)實(shí)世界到符號(hào)世界的過程；而垂直數(shù)學(xué)化就是符號(hào)世界中的活動(dòng)，即水平數(shù)學(xué)化讓學(xué)生從生活世界走進(jìn)符號(hào)世界，垂直數(shù)學(xué)化讓符號(hào)語言得以在數(shù)學(xué)范疇中塑造、被塑造，以及被操作等.

2 RME教學(xué)模式

在RME教學(xué)思想指導(dǎo)之下有三種教學(xué)方式^[3]：（1）通過漸進(jìn)式的數(shù)學(xué)化引導(dǎo)再創(chuàng)造（Guided Reinvention Through Progressive Mathematizing）；（2）教學(xué)的現(xiàn)象學(xué)分析（Didactical Phenomenology Analysis）；（3）即時(shí)建模（Emergent Models/Emergent Modeling）.“通過漸進(jìn)式的數(shù)學(xué)化引導(dǎo)再創(chuàng)造”，就是說學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實(shí)際上就是學(xué)生“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理的過程.在這個(gè)過程中，教師的作用是要對(duì)學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)過程進(jìn)行有利的引導(dǎo).“教學(xué)的現(xiàn)象學(xué)分析”重在于討論學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)——現(xiàn)實(shí)情境問題的有效創(chuàng)設(shè).而“即時(shí)建模”則是討論如何有效地使數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)思維從情境層次向更高層次發(fā)展的一種教學(xué)行為.

根據(jù)RME的思想，結(jié)合三種教學(xué)方式的內(nèi)涵，可以得到一個(gè)基本教學(xué)模式^[9]（見圖1）：

ね1 RME教學(xué)模式示意圖

其中的數(shù)學(xué)化過程是漸進(jìn)的，有四個(gè)層次^[2].

第一個(gè)層次是情境層次（situation level）.這個(gè)層次跟問題情境相關(guān)，它針對(duì)某一專題，促使知識(shí)能在情境中運(yùn)用.學(xué)生在這一層次的活動(dòng)主要是從背景信息中找出符合的條件，思考怎樣解決問題.

第二個(gè)層次是指涉層次（referential level/model of）.這個(gè)層次涉及利用具體的數(shù)學(xué)模型（或者是數(shù)學(xué)式子）去代表特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，所用到的數(shù)學(xué)模型和策略必須指涉問題所衍生的情境.

第三個(gè)層次是普遍層次（general level/model for）.這是一種過渡性層次，主要是使用具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型去分析蘊(yùn)含的關(guān)系.這時(shí)模型的建立不再依賴背景環(huán)境，而是單純地從數(shù)量關(guān)系中尋找數(shù)學(xué)關(guān)系.

第四個(gè)層次，也是理解的最高層次，稱為形式層次（formal level）.這個(gè)層次允許學(xué)習(xí)者進(jìn)行純粹思維、反思及欣賞活動(dòng)，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)引用在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)規(guī)范化的步驟和符號(hào)進(jìn)行表述和操作的緣故.

不同的數(shù)學(xué)化層次，從本質(zhì)上來說就是從尋求非正式的、與問題情境相聯(lián)系的結(jié)論到一定程度的系統(tǒng)化，再到對(duì)隱藏在問題情境背后的一般性原理的深層次的理解，以及能夠透過部分獲得對(duì)整體的把握等等.

數(shù)學(xué)化層次的變化，體現(xiàn)出的是數(shù)學(xué)化的變化過程（見圖2）.學(xué)生思維在情境層次、指涉層次的活動(dòng)，主要體現(xiàn)了其水平數(shù)學(xué)化，這是一個(gè)由現(xiàn)實(shí)世界到符號(hào)世界的過程.學(xué)生的行為處于“領(lǐng)受”階段；在符號(hào)世界中的活動(dòng)，即垂直數(shù)學(xué)化，主要涉及思維的普遍層次和形式層次.學(xué)生逐漸深入知識(shí)的內(nèi)部，領(lǐng)會(huì)知識(shí)的內(nèi)涵及發(fā)現(xiàn)知識(shí)生成的初步或基本的規(guī)律，拓展知識(shí)，即為“領(lǐng)悟”階段；處于形式層次的思維活動(dòng)，學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行反思、擴(kuò)展和欣賞，運(yùn)用知識(shí)解決其他問題，發(fā)展了知識(shí)的遷移，達(dá)到“提升”階段.

ね2 RME教學(xué)中的數(shù)學(xué)化層次示意圖

3 RME教學(xué)案例

案例^[10]：初中課題學(xué)習(xí)——打包問題.

教學(xué)過程：（1）創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

現(xiàn)實(shí)情景：有些商品是若干件被裝在一起按包銷售的，例如一包火柴中裝有10盒火柴、一大包紙巾中裝有10小包紙巾、一條香煙中裝有10包香煙等.不同商品的打包形式常常不同，請(qǐng)同學(xué)們收集一些這樣的商品，先看其外觀，再打開包裝看內(nèi)部的擺放形式.它們打包后的外包裝形式一樣嗎？哪一種包裝形式更能節(jié)省外包裝材料呢？

為了討論方便，先定義一種“規(guī)則打包”法：打包時(shí)要求包內(nèi)相鄰兩物體必須全等的側(cè)面對(duì)接，打包后是一長方體.

更數(shù)學(xué)化地提問：

問題1 火柴、香煙或其他長方體的物品，按“規(guī)則打包”的方法將10包打成一大包，打成一個(gè)大包，怎樣打包可使表面積最??？請(qǐng)以10包香煙（88mm×58mm×22mm）來進(jìn)行討論.

（2）活動(dòng)探究，解決問題

學(xué)生用實(shí)物進(jìn)行擺放，找出解決問題的方案：對(duì)各種可能的打包方式由具體數(shù)據(jù)算出面積，再從中挑出最小的，它對(duì)應(yīng)的打包方式就是我們所要的.

活動(dòng)1 根據(jù)方案，第一個(gè)要解決的問題是，按照規(guī)則打包，到底有幾種不同的擺放方式.這是問題的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在.

通過實(shí)物操作活動(dòng)，學(xué)生尋找不同的打包方式.但是很多學(xué)生不能找到所有的打包方式.

教師引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考：10的分解因數(shù)只有兩種：10＝1×10和10= 2×5.先就1×10的打包方式來看，一個(gè)煙盒有三個(gè)大小不同的面，把它們分別標(biāo)記為x、y、z，且x>y>z.只有三個(gè)方向可以1×10，由此對(duì)應(yīng)三種打包方式（見圖3（1）~（3））；而對(duì)于 2×5 型的打包方式中，“2”的方式就有三種，對(duì)于其中的每一種，“乘5”的方式還有兩種，故有六種打包方式（見圖3（4）~（6））.因此10包香煙按規(guī)則打包共有九種打包方式.

活動(dòng)2 先讓學(xué)生進(jìn)行直觀估算，哪些表面積一定大，又不美觀，哪些表面積會(huì)較小.然后再讓學(xué)生根據(jù)具體數(shù)據(jù)算出各種打包方式的表面積.

1×10型： S1=2x+20y+20z

=74448mm2

S2=20x+2y+20z=131872mm2

おS3=20x+20y+2z=144152mm2

2×5型：

S4=10x+4y+20z

=84304mm2

S5=4x+20y+10z

=94864mm2

S6=4x+10y+20z

=65296mm2

おS7=20x+10y+4z=126544mm2

S8=20x+4y+10z=122584mm2

おS9=10x+20y+4z= 71896mm2

ザ哉餼胖執(zhí)虬方式的表面積進(jìn)行比較，可知打包方式（6）是表面積最小的.

（3）探究討論，發(fā)展問題

問題2 如果不給出長方形三條邊a、b、c的具體數(shù)據(jù)，只給出a≥b≥c，你能否知道哪一種打包方式的表面積最小？

チ顇=ab,y=ac,z=bc，則有x≥y≥z，所以x的正系數(shù)越小面積就越小.說明面積大的面被對(duì)接的越多，面積被抵消的也越多，打包后的表面積就越小. 所以不給出具體的數(shù)據(jù)，也能知道哪種打包方式的表面積小.

問題3 是否方式（6）一定是表面積最小的？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，方式（1）～（3）中，方式（1）最?。环绞剑?）～（9）中，方式（6）最省.

而S1-S6 =10ac-2ab=2a(5c-b)，

故當(dāng)5c-b>0，方式（6）省.當(dāng)5c-b<0時(shí)，方式（1）省.

問題4 香煙的真正包裝方式是方式（4），并非方式（6），為什么？

因?yàn)橄銦煷虬紤]從長方形紙上下料，剩料最少；

表面積最小的打包形式不一定是美觀和實(shí)用的，方式（4）更便于攜帶；

打包的表面積最小和最省包裝并不完全一致；

……

（4）課外研究，應(yīng)用拓展：

①根據(jù)上面的結(jié)果，給出十包以下的物品打包后，具有最小面積的打包形式.

火柴：a=46mm, b=36mm,c=16mm

書本：a=183mm, b=129mm,c=20mm

②將6包香煙打成一包，表面積不同的打包方式有幾種？其中表面積最小的打包方式是怎樣的？

③選做：將上題中的6包改成12包或8包，結(jié)果怎樣？有沒有一個(gè)更一般的處理這類問題的程序？

④選做：你能設(shè)計(jì)一個(gè)新的打包問題嗎？由打包問題你還能聯(lián)想到哪些相關(guān)問題？你有解決這些問題的想法或方案嗎？

教學(xué)評(píng)析

首先，這個(gè)教學(xué)案例，在教學(xué)設(shè)計(jì)上體現(xiàn)了RME的教學(xué)模式.

創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生思考一個(gè)實(shí)際問題，然后通過學(xué)生的探究活動(dòng)和教師的引導(dǎo)，把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于問題解決，獲得了對(duì)問題的非正規(guī)性和正規(guī)性解答.并在解決問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣、深化，讓學(xué)生不僅會(huì)解決這一問題，而且會(huì)對(duì)更一般的問題建立數(shù)學(xué)模型，分不同情況討論結(jié)果.

其次，這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)出了RME思想.在解決問題的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)生了不同層次的變化.

情境層次.教師提出一個(gè)問題：火柴、香煙或其他長方體的物品，按“規(guī)則打包”的方法將10包打成一大包，打成一個(gè)大包，怎樣打包可使表面積最??？這個(gè)情境問題來源于真實(shí)情境.學(xué)生在這個(gè)真實(shí)情境中活動(dòng)，通過擺放實(shí)物的活動(dòng)來尋找求解的方案.

指涉層次.根據(jù)學(xué)生在尋找打包方式時(shí)的分類混亂，出現(xiàn)少找或多找了打包方式的情況.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考：10的分解因數(shù)只有兩種：10＝1×10和10= 2×5.由此對(duì)10包香煙打成一包所有可能的打包形式作簡明透徹的分析，然后再通過估算和計(jì)算，就很容易地解決了問題1.

普遍層次.接著教師又提出問題2和問題3，將問題的條件一般化，使結(jié)果有更好的適應(yīng)性.這樣既把前面的討論推廣到一般，讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，又使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度分析、考慮問題，從而使學(xué)生的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了一個(gè)飛躍.

形式層次.一方面，數(shù)學(xué)建模結(jié)果不一定和實(shí)際情況吻合.通過問題4，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行反思. 另一方面，再通過課后作業(yè)，這四道題有對(duì)知識(shí)的鞏固訓(xùn)練，也有對(duì)該問題的深化和拓展.使學(xué)生在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)，可利用形式化的數(shù)學(xué)方法解決各種相似甚至是相反的情境問題.比如第④題，同學(xué)會(huì)提出把長方體的包改成正方體、圓柱體的包（如飲料罐的打包問題），改變打包形式的打包問題，甚至提出打包問題的反問題：給定大包的尺寸，最多能放多少個(gè)小包？（如集裝箱問題）等.

4 RME對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示

プ魑一種新型的數(shù)學(xué)教育方式，RME是具有啟發(fā)性的.

（1）對(duì)改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式的促進(jìn)作用

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)是一種自上而下的教學(xué)，它從“具體的數(shù)學(xué)知識(shí)”或“現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)論”出發(fā)，教給學(xué)生數(shù)學(xué)的“現(xiàn)成結(jié)果”，教師在這一過程中處于主導(dǎo)地位；而RME教學(xué)是一種自下而上的教學(xué)，它從“現(xiàn)實(shí)情境問題”出發(fā)，要學(xué)生自己通過對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問題的解決去“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的這些結(jié)果，教師僅僅起著引導(dǎo)的作用.

教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)過程時(shí)，首先要明確這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，并且結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際情況，預(yù)測學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).在數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)合宜的現(xiàn)實(shí)情境問題，將所要討論和學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)融于現(xiàn)實(shí)情境問題之中.在解決問題的過程中，學(xué)生不斷地進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，其中就包括對(duì)問題的非正規(guī)性解答和正規(guī)性解答.教師處于一個(gè)引導(dǎo)者的角色，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)化過程的順利過渡.最終學(xué)生在親自參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中獲得感受和體驗(yàn)，最后又將這些感受和體驗(yàn)上升為新的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).在學(xué)習(xí)的過程中，要注重水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化的過程.低理解水平層次上的數(shù)學(xué)化，可以成為較高理解水平層次上探究的敲門磚.高理解水平的活動(dòng)是低理解水平積累和反思的結(jié)果.這意味著，一開始以非正規(guī)的方式所進(jìn)行的活動(dòng)，后來經(jīng)過反思以及作為反思的結(jié)果，會(huì)變得越來越正規(guī)了.學(xué)生一旦較好地經(jīng)歷了這兩個(gè)過程，理解了在這些過程中思維的發(fā)展變化，那么將有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)就不斷增加，他們數(shù)學(xué)能力也會(huì)得到提高.ィ2）對(duì)數(shù)學(xué)課程改革的指導(dǎo)性作用

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了“大眾數(shù)學(xué)”的教育目標(biāo)：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)、人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)、不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，則應(yīng)當(dāng)是“現(xiàn)實(shí)的”、“有意義的”、“富有挑戰(zhàn)性的”，內(nèi)容要“有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流”.學(xué)生的“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程”、“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.” ^[11]由此可見，我國正在進(jìn)行的新一輪的數(shù)學(xué)課程改革，與RME的教育思想有相似之處.對(duì)RME教學(xué)思想的理解，將有利于教師角色的轉(zhuǎn)變，有利于教師對(duì)新教材的理解、處理和把握.

特別是在中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，RME思想和教學(xué)模式為教師如何設(shè)計(jì)教學(xué)過程、怎樣體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)主體性提供了幫助.RME教學(xué)模式中“現(xiàn)實(shí)情境問題”的運(yùn)用，架起了現(xiàn)實(shí)世界與抽象世界之間的橋梁，不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，更讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和作用.教師在分析教材和進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要注意將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程，其中要有充分的活動(dòng)和交流，自己的體驗(yàn)和感受也是學(xué)習(xí)的一部分.通過學(xué)習(xí)過程中的活動(dòng)，能使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來解決現(xiàn)實(shí)問題，從而發(fā)展自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，激起學(xué)生更強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的求知欲和興趣.

げ慰嘉南祝

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プ髡嘸蚪椋核镅┟罰女，1970年生,云南大關(guān)縣人，副教授,公共數(shù)學(xué)與教材教法教研室主任. 云南師范大學(xué)碩士，學(xué)科教學(xué)論（數(shù)學(xué)）方向. 曾評(píng)為曲靖市中等職業(yè)學(xué)校第二批市級(jí)文化基礎(chǔ)學(xué)科（數(shù)學(xué)）帶頭人、云南省中等職業(yè)學(xué)校省級(jí)文化基礎(chǔ)學(xué)科（數(shù)學(xué)）帶頭人.有多篇論文發(fā)表，榮獲過第四次“全國優(yōu)秀職教文章”評(píng)選一等獎(jiǎng).