李樹臣　黃田田

有理數(shù)的運算是應(yīng)用最廣泛的一種基本運算，它是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后將要學(xué)習(xí)的實數(shù)運算、整式運算、分式運算、二次根式的運算等運算的基礎(chǔ). 同時它還是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的必備的知識. 因此，加強(qiáng)有理數(shù)的運算的研究與教學(xué)具有重要的意義. 本文以青島出版社和泰山出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》（以下簡稱《教科書》）為例，就“有理數(shù)的運算”的教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計、內(nèi)容的呈現(xiàn)形式及教學(xué)建議等進(jìn)行分析，以幫助一線教師更好的教好這一內(nèi)容.

1 教科書分析

1.1 內(nèi)容分析

1.1.1 本章的知識結(jié)構(gòu)

1.1.2 本章涉及的數(shù)學(xué)思想方法

①分類思想

本章在有理數(shù)的加法法則、乘法法則、乘方運算的符號法則等內(nèi)容時，都是按有理數(shù)分成正數(shù)、負(fù)數(shù)、0三類分別研究的.

②數(shù)形結(jié)合思想

本章中有理數(shù)加法法則就是利用數(shù)軸，運用數(shù)形結(jié)合的方法經(jīng)過探究得到的. 借助于數(shù)軸的直觀性，可以較容易的理解和掌握.

③化歸思想

本章中，有理數(shù)的減法就是利用“相反數(shù)”這一概念轉(zhuǎn)化為加法來運算的，得到了減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù). 這一轉(zhuǎn)化，使得加、減得到統(tǒng)一；有理數(shù)的除法就是利用“倒數(shù)”轉(zhuǎn)化為乘法來運算的，得到了除法法則：除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù). 從而使得乘、除法得到了統(tǒng)一.

1.1.3 本章的重點、難點和關(guān)鍵

有理數(shù)的運算貫穿于本章的始終，其中主要是有理數(shù)的加法和乘法，有理數(shù)的減法和除法分別可以轉(zhuǎn)化為加法和乘法，所以有理數(shù)的加法和乘法的法則以及運算律是本章學(xué)習(xí)的重點.

在重點內(nèi)容中的異號兩數(shù)相加和兩個負(fù)數(shù)相乘，比較抽象，不容易進(jìn)行直觀的理解，所以異號兩數(shù)相加的法則和兩個負(fù)數(shù)相乘的法則是同學(xué)們學(xué)習(xí)中第一個的難點. 另外，把有理數(shù)的加減混合運算式寫成省略加號的和的形式是本章的另一個難點.

克服難點的關(guān)鍵有三：一是引導(dǎo)學(xué)生搞清楚有理數(shù)的加法與減法、乘法與除法互為逆運算，并且加減運算可以統(tǒng)一為加法，乘除運算可以統(tǒng)一為乘法的算理；二是在實際應(yīng)用中加深對這些法則的理解，增強(qiáng)應(yīng)用意識；三是在解決問題的過程中注意滲透數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想.

1.1.4 課時安排

本章內(nèi)容安排在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)，本冊教科書共8章，其中“有理數(shù)的運算”是第3章，包含5節(jié)內(nèi)容，計劃用11課時完成，分別是：

3.1有理數(shù)的加法與減法，3課時

3.2有理數(shù)的乘法與除法，3課時

3.3有理數(shù)的乘方，2課時

3.4有理數(shù)的混合運算，1課時

3.5利用計算器進(jìn)行簡單的計算，1課時

回顧與總結(jié)，1課時.

1.2 教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置體現(xiàn)了新課程的價值要求

教科書遵循《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗稿）（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的理念，是從以下四個方面落實課程目標(biāo)的：

知識技能：（1）經(jīng)歷探索有理數(shù)的運算法則的過程、掌握有理數(shù)的加、減、乘、除運算；（2）理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的乘方運算及簡單的混合運算（以三步為主），會用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的有理數(shù)；（3）理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算；（4）能運用有理數(shù)的運算解決簡單的實際問題；（5）能用計算器進(jìn)行有理數(shù)的四則運算.

數(shù)學(xué)思考：（1）在探索有理數(shù)的運算法則的過程中，培養(yǎng)學(xué)生分類、歸納、概括能力，培養(yǎng)他們敢于作出合理的推斷和猜想的精神；（2）在具體的有理數(shù)運算中靈活運用運算律，發(fā)展思維能力.

解決問題：（1）在探索有理數(shù)的運算法則的過程中，培養(yǎng)主動提出問題的精神，并能用自己的語言清楚地表達(dá)獲得的結(jié)果；（2）在具體進(jìn)行有理數(shù)的運算中，能說出算理；（3）通過反思，獲得解決有理數(shù)運算問題的經(jīng)驗；（4）遇到問題能獨立提出自己的計算方法，并善于和同伴進(jìn)行交流.

情感與態(tài)度：（1）通過豐富的數(shù)學(xué)活動，從中發(fā)現(xiàn)問題，探索有理數(shù)運算的規(guī)律；（2）敢于面對計算中的困難，并積極創(chuàng)造條件克服困難；（3）主動參與有關(guān)計算問題的討論，敢于發(fā)表自己的見解.

從以上的描述可以看出，對目標(biāo)的要求不只停留在知識技能方面，而且還特別注重了讓學(xué)生參入數(shù)學(xué)活動的過程性方面. 注重了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的形成和培養(yǎng)，將教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)有機(jī)的融入到精心設(shè)計的情境中、過程中和應(yīng)用中. 所以說上述目標(biāo)涵蓋了數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的各個緯度，體現(xiàn)了新課程的價值追求.

1.3 教科書的編寫特點

科書為了落實上述目標(biāo)，以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，呈現(xiàn)出“問題情境——建立模型——求解、應(yīng)用和拓展”的教科書編排體系，就本章而言有以下特點：

1.3.1 以三門峽大壩為背景，提出挑戰(zhàn)性的問題

為了使學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用過程，體驗到有理數(shù)的運算與現(xiàn)實生活的密切關(guān)系，全章以三門峽大壩為背景，以真實的數(shù)據(jù)和富有挑戰(zhàn)性的問題，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生思考問題的積極性，引出本章的主要內(nèi)容和所要研究的主要問題. 同時通過雄偉的三門峽大壩激發(fā)學(xué)生對祖國大好河山的熱愛，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和努力學(xué)習(xí)的決心.

1.3.2 創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生探究得到有理數(shù)的運算法則

關(guān)于有理數(shù)的運算法則，教科書都是通過創(chuàng)設(shè)一定的富有實際意義的問題情境，讓學(xué)生在探索活動中得到的. 例如，在給出有理數(shù)的加法法則之前，教科書給出了海上鉆井平臺記錄潮起潮落的情況，以這一實際問題為例，利用海水漲落的6種不同的情境，引導(dǎo)學(xué)生在已有的算術(shù)數(shù)的加法意義和對正負(fù)數(shù)的認(rèn)識的基礎(chǔ)上，列出含有正、負(fù)數(shù)和0的算式，自己得到運算結(jié)果. 為幫助同學(xué)們理解運算結(jié)果的合理性，教科書針對上面的六個問題，分別用點在數(shù)軸上位置的變動進(jìn)行說明，讓同學(xué)們體會運算法則的合理性.

1.3.3 以數(shù)學(xué)思想方法為主線串聯(lián)本章內(nèi)容

在本章主要涉及三種數(shù)學(xué)思想方法，其中最為突出的是轉(zhuǎn)化的思想，在有理數(shù)的加減、乘除運算中都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，在對有理數(shù)的混合運算中，首先要將減法轉(zhuǎn)化為加法，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后再按照有關(guān)的運算法則和運算律進(jìn)行計算. 這樣處理既有助于引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高.

1.3.4 以解答實際問題為落腳點，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

教科書從生活、生產(chǎn)中選取了豐富、鮮活的素材，通過呈現(xiàn)多個現(xiàn)實問題情景的形式，給出了具體的問題，如股票的漲跌情況、足球隊比賽情況、黃河水位的變化等實際問題，讓學(xué)生嘗試用有理數(shù)運算的知識解答這些發(fā)生在學(xué)生身邊的問題. 這樣安排一方面可以把進(jìn)行有理數(shù)運算的技能訓(xùn)練與實際問題的解決融為一體，提高了學(xué)生的解題技能；同時學(xué)生在列算式解答它們的過程中，體驗到建模思想. 充分落實了《標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于“數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)”的理念.

1.3.5 利用計算器解答有關(guān)復(fù)雜的計算問題

為了使學(xué)生從繁雜的運算中解放出來，把更多的時間和精力放到更有意義的數(shù)學(xué)活動中，教科書鼓勵學(xué)生使用計算器.

2 學(xué)情和學(xué)法分析

2.1 學(xué)生在學(xué)習(xí)中常見的認(rèn)識誤區(qū)和思維障礙

2.1.1 同學(xué)們在做有理數(shù)的加減混合運算的題目時出錯

解答加減混合運算常出現(xiàn)的錯誤主要是：在把減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算時，在“相反數(shù)”上往往出錯；在交換加數(shù)的位置時，忽視了要連同加數(shù)前面的符號一起交換的要求.

2.1.2 在兩個有理數(shù)的乘（除）法運算中，不能正確地確定符號

在有理數(shù)的乘除法運算中，首先要確定符號，其次是計算大小. 在確定符號時，應(yīng)根據(jù)“兩數(shù)相乘或除，同號得正，異號得負(fù)”的原則確定. 初學(xué)的同學(xué)往往混淆有理數(shù)的乘法法則和加法法則，把“兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)”錯誤的理解為“同號兩數(shù)相加，取相同的符號”.

2.1.3 錯用運算律

在利用乘法對加法的分配律時，常出現(xiàn)的問題有二：忘記用括號外面的項去乘括號內(nèi)的每一項；符號出錯.

2.1.4 運算順序錯誤

同學(xué)們在進(jìn)行有理數(shù)的混合運算時，有時出現(xiàn)運算順序不對的情況. 在加、減、乘、除、乘方組成的混合運算中，應(yīng)先算第三級運算，再算第二級運算，最后進(jìn)行第一級運算. 對于同一級運算，按照從左到右的順序進(jìn)行這一法則. 初學(xué)的同學(xué)，印象不深，容易出錯.

2.2 學(xué)法指導(dǎo)

（1）有理數(shù)的運算與現(xiàn)實生活有著密切的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)的運算法則時，一定要從解決實際問題入手，抓住給出法則前的情境問題，讓學(xué)生思考如何解答這些問題，在解答這些問題的基礎(chǔ)上，歸納出運算法則.

（2）對于重點內(nèi)容，鼓勵學(xué)生自主探究，在相互交流的基礎(chǔ)上，得到運算法則. 本章的重點內(nèi)容是有理數(shù)的加法法則和乘法法則，對于這兩個法則，可通過分析情境問題的特點，然后概括出法則.

（3）在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流. 例如，學(xué)完加法法則后引導(dǎo)學(xué)生利用“相反數(shù)”的概念，把減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計算，從而得到減法法則，之后給出一些加減混合運算的題目，鼓勵學(xué)生自己獨立解答，然后進(jìn)行相互交流，在相互交流中提高自己的解題能力.

（4）注重知識的應(yīng)用. 有理數(shù)的運算有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)生熟練掌握有理數(shù)的運算基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生解答一些與生活、生產(chǎn)有關(guān)的實際問題，這樣安排一方面強(qiáng)化了對運算法則的應(yīng)用，培養(yǎng)了用所學(xué)知識解決實際問題的意識；另一方面，可以把有理數(shù)的運算的技能訓(xùn)練與實際問題的解決融為一體，達(dá)到在解決實際問題的過程中，鞏固和提高學(xué)生進(jìn)行有理數(shù)的運算技能的目標(biāo). 科學(xué)記數(shù)法更有應(yīng)用的空間和素材，引導(dǎo)學(xué)生用它解答實際問題可加深對科學(xué)記數(shù)法的理解.

3 教學(xué)建議

3.1 結(jié)合學(xué)生的生活實際，通過具體問題情境進(jìn)行教學(xué)

有理數(shù)的運算都有著具體的生活背景，特別是在應(yīng)用題的教學(xué)中，教師一定要創(chuàng)設(shè)豐富的、有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生弄清實際問題的意義、理解實際問題，在分析、思考的基礎(chǔ)上正確的列出計算式子.

3.2 注重有理數(shù)運算法則的形成過程

有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方等法則都是在解決實際問題的過程中產(chǎn)生的，注重過程教學(xué)是《標(biāo)準(zhǔn)》的要求之一，教科書就非常注重體現(xiàn)這一要求. 教學(xué)中我們要盡量引導(dǎo)學(xué)生參入這些法則的形成過程，讓學(xué)生在經(jīng)歷法則的形成過程中理解法則，從而真正掌握運算法則.

案例1 有理數(shù)加法法則的歸納過程.

為了歸納有理數(shù)的加法法則，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩次探究活動，首先利用海水漲落的6種不同的情境，列出含有正、負(fù)數(shù)和0的六個算式，學(xué)生通過探究自己得到運算結(jié)果. 然后通過點在數(shù)軸上位置的變動，再進(jìn)行探究. 在探究這兩個活動的同時，就經(jīng)歷了加法法則的形成過程.

3.3 重視轉(zhuǎn)化思想的滲透和應(yīng)用

有理數(shù)的減法法則和除法法則，分別利用“相反數(shù)”和“倒數(shù)”概念化歸為加法法則和乘法法則，在這里“轉(zhuǎn)化”起著關(guān)鍵性的作用. 教學(xué)中一定要使學(xué)生知道減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，從而明白能進(jìn)行轉(zhuǎn)化的道理.

案例2 有理數(shù)減法法則的教學(xué)過程.

引導(dǎo)學(xué)生思考：某足球隊在兩場比賽中共輸球3個，已知第一場輸球4個，第二場的輸贏情況如何？

如果將贏球記為正，輸球記為負(fù)，則第二場進(jìn)球個數(shù)為：（-3）-（-4）=？

這是根據(jù)減法的意義得到的算式，根據(jù)題意.

第二場贏球1個，應(yīng)有（-3）-（-4）=1.

另，根據(jù)有理數(shù)的加法，則有（-3）+（+4）=1.

由此可得:

3.4 注重學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，促進(jìn)學(xué)生的個性發(fā)展

《標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)要改變學(xué)習(xí)方式，鼓勵學(xué)生自主發(fā)展. 為落實這一要求，在引導(dǎo)學(xué)生探索運算法則和運算律時，教師應(yīng)設(shè)計并組織學(xué)生進(jìn)行觀察、思考、探索、交流、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在參入這些活動的過程中，鼓勵他們用自己的語言歸納出運算法則和運算律. 經(jīng)過小組和全班的交流，逐步形成較為規(guī)范的語言，使學(xué)生真正理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的運算法則和運算律的確切含義，會根據(jù)具體問題，運用相應(yīng)的法則和運算律去處理.

案例3 加法交換律的歸納過程.

為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)加法交換律在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然適用，可提出下面的問題讓學(xué)生進(jìn)行討論與交流：

（1）（-8）+5和5+（-8）的運算結(jié)果相等嗎？

（2）（-3.5）+（-4.3）與（-4.3）+（-3.5）的運算結(jié)果相等嗎？

（3）任意選擇兩個數(shù)相加，試一試.

……

你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請相互討論、交流.

（學(xué)生思考、議論、交流）

以上是筆者通過研究教科書和《標(biāo)準(zhǔn)》，對“有理數(shù)的運算”一章所作的教學(xué)研究，不妥之處敬請讀者批評指正，我們的目的只有一個，就是創(chuàng)造性地使用教科書，以它為平臺，提高學(xué)生的知識素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面、健康、和諧發(fā)展，這理應(yīng)是我們廣大教師的責(zé)任和義務(wù).