商，必須先求出被除數(shù)是多少。我們可以先抓住錯(cuò)誤的得數(shù)，求出被除數(shù)：13×56+52=780。所以，正確的商是：780÷65=12?！揪氁痪殹?.小星在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)87錯(cuò)寫成78，結(jié)果得到的商是5，余數(shù)是45。正確的商應(yīng)該是多少？2.甜甜和蜜蜜在用同一個(gè)數(shù)做被除數(shù)。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32還余6，蜜蜜計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該是多少？3.小虎在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1250寫成1205，結(jié)果得到的商是48，余數(shù)是5。正確的商應(yīng)該是多少？難度

◎王功勛在計(jì)算被除數(shù)和除數(shù)的末尾都有0的除法時(shí)，我們可以運(yùn)用商不變的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，即被除數(shù)和除數(shù)的末尾同時(shí)去掉相同個(gè)數(shù)的0再計(jì)算。比如：450÷50=45÷5=9，720÷80=72÷8=9。利用這種方法，我們還可以對(duì)下面的題目進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。（1）120÷15=（120×2）÷（15×2）=240÷30=8（被除數(shù)和除數(shù)都變成末尾有一個(gè)0的數(shù)）（2）2100÷25=（2100×4）÷（25×4）=8400÷100=84（被除數(shù)和除數(shù)都變成末尾有兩個(gè)0的

數(shù)的積也錯(cuò)了。被除數(shù)的前兩位數(shù)29小于除數(shù)40，不夠除，要看被除數(shù)的前三位，也就是除到被除數(shù)的個(gè)位，所以商要寫在個(gè)位上。另外，商乘除數(shù)的積是280，個(gè)位上的0要寫上。（2）錯(cuò)在余數(shù)比除數(shù)大了，說明商4小了，要調(diào)大一些。30里面還有1個(gè)27，所以應(yīng)把商改為5。正確的答案是：例題2用豎式計(jì)算。（1）860÷17；（2）970÷50。診治（1）錯(cuò)在商的個(gè)位上漏寫了0。第一次除后的余數(shù)1與被除數(shù)個(gè)位落下來的0組成10，除以17不夠商1，應(yīng)在對(duì)齊被除數(shù)的個(gè)位上商0。

日 星期四 晴被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)，最近學(xué)的有余數(shù)的除法讓我們有點(diǎn)兒暈（yūn）。今天放學(xué)的時(shí)候，我沒排路隊(duì)，而是和媽媽一起走回家的。到家后，媽媽一邊忙著洗魚準(zhǔn)備做菜，一邊給我出了一道關(guān)于有余數(shù)的除法的題：“在一個(gè)有余數(shù)的除法算式里，把被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)全加起來，和是66，你能把這個(gè)算式寫出來嗎？”“這……”我張了張嘴，然后大叫起來，“哎呀，有四個(gè)數(shù)，我哪兒知道被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)分別是多少！”媽媽說：“別急呀，還有兩個(gè)數(shù)學(xué)信息呢，商是6，余數(shù)是2

的時(shí)候我就知道被除數(shù)是什么了。老師以前說過被除數(shù)等除數(shù)乘商，除數(shù)等于被除數(shù)除以商。商等于被除數(shù)除以除數(shù)。當(dāng)時(shí)我知道這個(gè)小和秘密的時(shí)候我也是有一點(diǎn)驚訝的，但是現(xiàn)在我要把這個(gè)小秘密分享給你們。而且老師也說過這個(gè)很簡(jiǎn)單的，你只要把這些搞清楚，就會(huì)覺得很簡(jiǎn)單的。所以要把除法的小秘密弄清楚，弄清了就知道這要怎么做了！啊，原來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是這么有趣的事情呀.

×9=27（比被除數(shù)?。?，3×10=30（比被除數(shù)大），確定商是9，然后再用被除數(shù)28減去除數(shù)3與商9的積，即可得到余數(shù)1。記?。河鄶?shù)一定要比除數(shù)小。只有余數(shù)比除數(shù)小時(shí)，才說明剩下的部分不夠平均分了，否則還要繼續(xù)平均分下去。 列豎式計(jì)算： 練一練 1.列豎式計(jì)算下面各題。 35÷7= 38÷7= 24÷3= 26÷3= 2.小醫(yī)生。（將題目中的錯(cuò)誤在原題上改正）

×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)。大家運(yùn)用這些知識(shí)可以解決不少除法中的數(shù)學(xué)問題。例1：在一道除法算式里，被除數(shù)是除數(shù)的 18 倍，商和除數(shù)的和是20，那么被除數(shù)是多少？思路點(diǎn)撥：根據(jù)條件“被除數(shù)是除數(shù)的 18 倍”可以想到，18 就是被除數(shù)除以除數(shù)的商。再根據(jù)“商和除數(shù)的和是 20”，可以求出除數(shù)是20-18=2，最后根據(jù)被除數(shù)等于商乘除數(shù)，就能解決問題。解：20-18=2……除數(shù)18×2=36……被除數(shù)答：被除數(shù)是36。例2：已知被除數(shù)除以除數(shù)的商是2、余數(shù)是3，又

…1是否正確？被除數(shù)前兩位上的數(shù)字組成的數(shù)52比除數(shù)26大，商應(yīng)該是兩位數(shù)，而現(xiàn)在的商是一位數(shù)，顯然計(jì)算錯(cuò)誤。二、估算商的范圍例2判斷827÷32＝31……15是否正確？把除數(shù)看作30，用827除以30，商的最高位上的數(shù)字應(yīng)是2，即商的結(jié)果是二十幾，而現(xiàn)在的商是31，所以可判斷出計(jì)算錯(cuò)誤。三、估算被除數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字例3判斷958÷43＝22……13是否正確？根據(jù)帶余除法“商×除數(shù)＋余數(shù)＝被除數(shù)”的關(guān)系，可還原計(jì)算22×43＋13。注意這里無須算出結(jié)果，只

.經(jīng)歷研究商與被除數(shù)的大小關(guān)系是由被除數(shù)是否大于1決定的過程，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。2.學(xué)會(huì)用舉例子的方法進(jìn)行驗(yàn)證，初步形成不完全歸納的思想。3.能運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行判斷。教學(xué)過程：一、談話激趣同學(xué)們，今天我們這堂課叫作“有趣的商”。商怎么會(huì)有趣呀？商有趣在哪里呀？（看來大家對(duì)課題都挺好奇的。好奇往往是發(fā)現(xiàn)真理的第一步，那讓我們帶著好奇心來探尋今天的真理）設(shè)計(jì)意圖：通過課題“有趣的商”引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，打開探索的大門。二、引發(fā)猜想1.提供材料第一組：6÷3=22

，同學(xué)們知道，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以一個(gè)相同的數(shù)（零除外），商不變。比如120÷30=12÷3=4。那下面故事中地主分錢的結(jié)果你們同意嗎？如果有問題，問題出在哪里呢？故事中，地主把170÷60看成了17÷6來計(jì)算，結(jié)果是商2余5，符合商不變的規(guī)律。但是利用“商×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)”來驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn)60×2+5=125，而不是170，顯然是出現(xiàn)了問題。仔細(xì)思考，從豎式中能看出，170÷60 看成17÷6，是把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小為原來的。我們可以看作是把17

30÷70”的被除數(shù)和除數(shù)的末尾都有0，計(jì)算時(shí)可以在被除數(shù)和除數(shù)的末尾畫去同樣多的0，也就是說，把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小相同的倍數(shù)，然后再除。二、擴(kuò)倍法例2：325÷25 450÷15思路分析：“325÷25”的除數(shù)是25，“450÷15”的除數(shù)是15，兩個(gè)除數(shù)都在50 以內(nèi)，且個(gè)位都是5。計(jì)算時(shí)可以把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來的2倍，然后再除。三、分解法例3：750÷25 828÷36思路分析：“750÷25”的除數(shù)25可以看作“5×5”；“828÷36”

。以上三式中，被除數(shù)的個(gè)位與商的個(gè)位之間有什么關(guān)系？4+6=10，4+6=10，7+3=10，它們之間互補(bǔ)（就是相加等于10）。我們發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)能被9 整除的數(shù)，被除數(shù)的個(gè)位與商的個(gè)位互補(bǔ)。有了這樣的結(jié)論，我們可以大膽設(shè)想一下，任何一個(gè)能被9 整除的數(shù)，可不可以用加減法求其結(jié)果呢？例：365418÷9，因?yàn)楦魑坏臄?shù)字3、6、5、4、1、8 之和為27，是9 的倍數(shù)，說明365418 能被9 整除。365418 →被除數(shù)，第一步，因?yàn)?+2=10，所以商的

冬做題粗心，將被除數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)顛倒了，結(jié)果商為7。正確的被除數(shù)是多少？【分析與解】要求出“正確的被除數(shù)”，就要首先求出“錯(cuò)誤的被除數(shù)”（我們把個(gè)位與十位上的數(shù)顛倒以后的被除數(shù)看作是“錯(cuò)誤的被除數(shù)”）。已知除數(shù)是9，又知由“錯(cuò)誤的被除數(shù)”而得出的商是7，由此可以算出“錯(cuò)誤的被除數(shù)”是：7×9=63 （被除數(shù)=商×除數(shù)）因?yàn)椤板e(cuò)誤的被除數(shù)”是63，所以“正確的被除數(shù)”就是36。（36÷9=4，正確的商是4）例2：一道除法題，除數(shù)是6。把被除數(shù)個(gè)位與十位上

三道題的商都比被除數(shù)大，說明商不一定小于被除數(shù)，這是什么原因呢？莉莉弄不明白。要弄清這個(gè)問題，我們先來做如下分析：題目：一條繩子長(zhǎng)4 米，平均剪成長(zhǎng)2 米、1米、0.4米的短繩，各可以得到多少段？（1）4÷2=2（段）（2）4÷1=4（段）（3）4÷0.4=10（段）觀察上面的線段圖，我們可以看出，平均剪的段數(shù)越短，得到的段數(shù)就越多。從上面算式（2）中還可以看出4÷1=4，表示把4 平均分成1 個(gè)1 份，可以分成4 份；從算式（3）中可以看出4÷0.4，表

。以上三式中，被除數(shù)的個(gè)位與商的個(gè)位之間有什么關(guān)系？4+6=10，4+6=10，7+3=10，它們之間互補(bǔ)（就是相加等于10）。我們發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)能被9整除的數(shù)，被除數(shù)的個(gè)位與商的個(gè)位互補(bǔ)。有了這樣的結(jié)論，我們可以大膽設(shè)想一下，任何一個(gè)能被9整除的數(shù)，可不可以用加減法求其結(jié)果呢？例：365418÷9，因?yàn)楦魑坏臄?shù)字3、6、5、4、1、8之和為27，是9的倍數(shù)，說明365418能被9整除。365418→被除數(shù)，第一步，因?yàn)?+2=10，所以商的個(gè)位是2;第二

一直在想除數(shù)和被除數(shù)的問題，昨晚我竟做了一個(gè)關(guān)于除數(shù)和被除數(shù)的夢(mèng)。我夢(mèng)見被除數(shù)王國(guó)和除數(shù)王國(guó)發(fā)生了“戰(zhàn)斗”。被除數(shù)王國(guó)里面住著被除數(shù)國(guó)王和他的衛(wèi)兵。國(guó)王正坐在寶座上享用水果大餐呢，突然有偵（zhēn）察兵來報(bào)告：“國(guó)王，除數(shù)王國(guó)又來攻打我們了！”被除數(shù)國(guó)王有點(diǎn)緊張，站起來問：“來了多少兵馬？”偵察兵說：“只來了一個(gè)4?！?span id="syggg00" class="hl">被除數(shù)國(guó)王大笑起來：“只來了個(gè)4？好對(duì)付。一年前他們派來8，被我們的9打敗了，我們還剩下一個(gè)1呢?！迸赃叺拇蟪迹╟hén）說：“那兩次戰(zhàn)斗

題思路是：根據(jù)被除數(shù)、除數(shù)的變化，運(yùn)用商不變的性質(zhì)、商的變化規(guī)律等知識(shí)，觀察題目的變化，直接寫出計(jì)算結(jié)果。由于這些知識(shí)本身就是難點(diǎn)，四年級(jí)下學(xué)期學(xué)生們?cè)诔鯇W(xué)時(shí)就掌握的不熟練，經(jīng)過一段時(shí)間，有很多學(xué)生把所學(xué)知識(shí)部分遺忘了，加之這道題的數(shù)據(jù)變化復(fù)雜，孩子們更是不知如何去觀察思考，而作對(duì)的學(xué)生中，有的也是依靠計(jì)算而不是依靠觀察思考得來的。經(jīng)過反復(fù)思考，我把練習(xí)題進(jìn)行了重組，調(diào)整了三個(gè)梯度，準(zhǔn)備用這道題上一節(jié)練習(xí)課，以加深學(xué)生們的理解記憶。一、小學(xué)數(shù)學(xué)商的變化規(guī)律

現(xiàn)了什么？生：被除數(shù)和除數(shù)都變了，商沒有變。師：在除法中，到底什么情況下，商不變呢？這節(jié)課，我們一起來探索這個(gè)問題----商不變的規(guī)律。（板書課題：商不變的規(guī)律）[設(shè)計(jì)意圖]通過學(xué)生對(duì)一組算式的計(jì)算，讓學(xué)生初步感知其中的規(guī)律，在心中生成規(guī)律，即使還說不清楚是什么樣的規(guī)律，從而使學(xué)生心中產(chǎn)生想知道的沖動(dòng)。二、齊心合力，快樂學(xué)習(xí)1.找規(guī)律8÷2=480÷20=4800÷200=4從這組算式中，你發(fā)現(xiàn)了什么？生1：第一個(gè)算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘10變成了第二個(gè)算

式中可以看出，被除數(shù)的百位上應(yīng)該是7，商的百位上應(yīng)該是1，因?yàn)樯痰陌傥粩?shù)和7相乘后得到一位數(shù)并且沒有余數(shù)。此外商的十位上應(yīng)該是0。（想一想：為什么？）確定了這些之后，此時(shí)再想一想，被除數(shù)的十位上可能是哪些數(shù)？很顯然，可以是1，2，3，4，5或6，也就是小于7但不是0。如果被除數(shù)的十位上是1，即71□÷7，根據(jù)第二次除的情況可以判斷，被除數(shù)的個(gè)位上就有可能是0，1，2，3，5，6，7，8或9，不可能是4。于是得到下面的答案：710÷7=101……3，711÷

變化規(guī)律”：“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。”“什么意思？舉例說說看?！鄙荷和嶂X袋，滿臉疑惑。“如計(jì)算‘165÷15’時(shí)，可以把被除數(shù)‘165’和除數(shù)‘15’同時(shí)乘2，變成330和30，然后再除；計(jì)算‘9100÷70’時(shí)，可以把被除數(shù)‘9100’和除數(shù)‘70’同時(shí)除以10，變成910和7。”靈靈說完，在電腦上打出了具體的計(jì)算過程。珊珊認(rèn)真聽，細(xì)心看，受到靈靈的啟發(fā)，想到了另外一個(gè)“商的變化規(guī)律”，說：“除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大多少倍，商

，總結(jié)歸納商與被除數(shù)、除數(shù)之間大小關(guān)系的變化規(guī)律，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律。3.在練習(xí)的過程中經(jīng)歷猜測(cè)、分析和驗(yàn)證的過程，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律，發(fā)展思維。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：鞏固除數(shù)是小數(shù)的除法的算法，對(duì)商不變的規(guī)律有更深的認(rèn)識(shí)。難點(diǎn)：通過對(duì)比練習(xí)總結(jié)歸納商與被除數(shù)、除數(shù)之間大小關(guān)系的變化規(guī)律，幫助學(xué)生應(yīng)用規(guī)律。教學(xué)方法指導(dǎo)練習(xí)，自主練習(xí)，小組合作交流。教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件。教學(xué)過程一、基礎(chǔ)練習(xí)師：前面幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了小數(shù)的除法計(jì)算，那我們就比一比看誰算得又對(duì)

幾組算式中商與被除數(shù)的關(guān)系。通過觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)，第一行算式中的商都比對(duì)應(yīng)算式中被除數(shù)小，第二行算式中的商都比對(duì)應(yīng)算式中被除數(shù)大，原因在哪里呢？大家只要再仔細(xì)觀察，就可以發(fā)現(xiàn)，第一行每個(gè)算式中的除數(shù)都比1大，第二行每個(gè)算式中的除數(shù)都比1小。因此我們可以得到這樣的結(jié)論：一個(gè)數(shù)（0除外）除以比1大的數(shù)，商比被除數(shù)小；一個(gè)數(shù)（0除外）除以比1小的數(shù)，商比被除數(shù)大。運(yùn)用這個(gè)結(jié)論就可以直接比較它們的大小了。例如：在○里填上“＞”“＜”或“=”。

，你一定知道：被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)。對(duì)于除數(shù)是一位數(shù)除法的計(jì)算，相信你也能做得很熟練！但你知道“被除數(shù)”“除數(shù)”“商”和“余數(shù)”用英語怎么表達(dá)嗎？你知道一道除法計(jì)算文字題如何用英語表達(dá)嗎？和小靈通一起來學(xué)習(xí)一下吧！Write the number sentences and then calculate.（1）The dividend is 180 and the divisor is 6.What is the quotient？（2）When 719

法計(jì)算簡(jiǎn)便，即被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0時(shí)，計(jì)算時(shí)可以在被除數(shù)和除數(shù)的末尾劃去同樣多的0；也就是說，可以把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小相同的倍數(shù)，然后再除。說完，寫出了兩道簡(jiǎn)便計(jì)算的題目并進(jìn)行說明。“小花貓”學(xué)習(xí)小組研究的是“擴(kuò)倍法”。他們邊舉例邊說，除數(shù)的個(gè)位數(shù)是“5”，而且在50以內(nèi)的，可以把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來的2倍，然后再除?！伴L(zhǎng)頸鹿”小組指著“560÷35”“828÷36”兩道例題，十分自信地說：“我們小組研究的是‘分解法’，560÷35的除數(shù)‘35’

的變化的因素有被除數(shù)和除數(shù)，且它們的作用是相反的，單獨(dú)、孤立地進(jìn)行學(xué)習(xí)很容易產(chǎn)生負(fù)遷移，因此教師應(yīng)將它們統(tǒng)一起來進(jìn)行教學(xué)。[關(guān)鍵詞]商的變化規(guī)律；除數(shù)；被除數(shù)；教學(xué)方法[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2018）33-0025-02教學(xué)“商的變化規(guī)律”這一內(nèi)容時(shí)，學(xué)生雖然易于理解“除數(shù)不變時(shí)，商隨被除數(shù)同時(shí)變化”，但是對(duì)“被除數(shù)不變時(shí)，商與除數(shù)反向變化”的理解就有了困難。同時(shí)，學(xué)生雖能容易背記商的不變規(guī)律，但不

數(shù)的積也錯(cuò)了。被除數(shù)的前兩位數(shù)29小于除數(shù)40，不夠除，要看被除數(shù)的前三位，也就是除到被除數(shù)的個(gè)位，所以商要寫在個(gè)位上。另外，商乘除數(shù)的積是280，個(gè)位上的0要寫上。（2）錯(cuò)在余數(shù)比除數(shù)大了，說明商4小了，要調(diào)大一些。30里面還有1個(gè)27，所以應(yīng)把商改為5。[處方]（1）293÷40=7……13 （2）138÷27=5……3[病例2]用豎式計(jì)算。（1）860÷17；（2）970÷50。[病癥]（1）860÷17=5……10 （2）970÷50=19……2[

上的數(shù)字是2，被除數(shù)最高位上的數(shù)字是7，就可以推出除數(shù)十位上的數(shù)字是3。由最后的兩數(shù)相減：□2－□□=0，可以推出除數(shù)個(gè)位上的數(shù)字與商的個(gè)位上的數(shù)字相乘的積的個(gè)位上的數(shù)字是2，這樣就有幾種可能：1×2=2，2×6=12，3×4=12，4×8=32，6×7=42，8×9=72。經(jīng)檢驗(yàn)，1×2=2，3×4=12，4×8=32，6×7=42，8×9=72都不符合題意，只有2×6=12符合題意。所以除數(shù)的個(gè)位上應(yīng)填6，商的個(gè)位上應(yīng)填2，被除數(shù)的十位上應(yīng)填9。最后把

0”往往是除到被除數(shù)的末位，仍有余數(shù)，則在余數(shù)的末尾“添0”再繼續(xù)除。如例1，在個(gè)位商2之后，余數(shù)6不夠除，故在6之后添上0，轉(zhuǎn)化為“60個(gè)十分之一”后繼續(xù)除。需要“商0”的情況則稍復(fù)雜一些。比較常見的有下面三種情況：第一種情況：被除數(shù)的整數(shù)部分不夠除，直接商0，然后除到小數(shù)部分。如例2，被除數(shù)的整數(shù)部分不夠7除，要先商0，然后結(jié)合十分位上的6，轉(zhuǎn)化為“56個(gè)十分之一”再商8。第二種情況：被除數(shù)的某一位上的數(shù)不夠除，商0后結(jié)合下一位的數(shù)一起再除。如例3，十

商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變。例2：計(jì)算10÷1.25÷0.8分析與解：根據(jù)除法的運(yùn)算性質(zhì)“從被除數(shù)里面連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，等于被除數(shù)除以這兩個(gè)數(shù)的積”。先求1.25×0.8=1，再用10除以1得出計(jì)算結(jié)果。例3：計(jì)算1÷2.5÷0.4分析與解：根據(jù)除法的運(yùn)算性質(zhì)“從被除數(shù)里連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，交換這兩個(gè)除數(shù)的位置，商不變”。先交換2.5和0.4的位置，再計(jì)算。例4：計(jì)算17.8÷（17.8×4）分析與解：根據(jù)除法的運(yùn)算性質(zhì)

商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；除到商的哪一位上不夠商1，就在哪一位上寫0占位；如果除到被除數(shù)的末尾有余數(shù)，就在余數(shù)后面添0繼續(xù)除?！崩纾?0÷8=6.25“遇到除數(shù)是小數(shù)的除法時(shí)，我們可以這樣考慮?！甭斅斀又f，“先向右移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變?yōu)檎麛?shù)；再看除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也相應(yīng)地向右移動(dòng)幾位，位數(shù)不夠的，在被除數(shù)末尾用‘0’補(bǔ)足；然后按除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算?！崩纾?.4÷0.56=15同學(xué)們，小數(shù)除法的知識(shí)你都掌握了

上式中，a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)，g叫做a除以b(或稱b除a)所得的商，符號(hào)“÷”叫做除號(hào)。由除法的意義可知，a除以b，就是要求一個(gè)數(shù)g，使它與b相乘的積等于a，即：bg=a.從上述關(guān)系可以看出，除法是乘法的逆運(yùn)算。在數(shù)學(xué)中，除號(hào)有時(shí)用“÷”來表示，即把被除數(shù)放在除號(hào)的左邊，除數(shù)放在除號(hào)的右邊；有時(shí)用一條短的線段“/”來表示，即把被除數(shù)放在短的線段上邊，把除數(shù)放在短的線段下邊。這樣a除以b，就可以用兩種方法來表示：a÷b=g 或 a/b=g。一、除法的特殊

有14位小數(shù)，被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)同時(shí)向右移動(dòng)14位，而被除數(shù)只有13位小數(shù)，被除數(shù)的小數(shù)位不夠，要用0補(bǔ)位，即原式可以轉(zhuǎn)化成2250÷15=150。獲獎(jiǎng)小提示：運(yùn)用轉(zhuǎn)化法，把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。Round 2：難度☆☆☆☆☆跳跳虎在計(jì)算一道除法題時(shí)，把一個(gè)兩位小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)漏掉了，用它除3.515后得到的商是0.019，那么原來除法算式中的除數(shù)是多少？把一個(gè)兩位小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)漏掉，也就是把這個(gè)兩位小數(shù)（即除數(shù)）擴(kuò)大到原數(shù)的100倍。根據(jù)被除數(shù)不變

由于除數(shù)14比被除數(shù)的前兩位13大一些，我們可以這樣想：這就是“同頭無除商八九”的試商方法。被除數(shù)與除數(shù)首位上的數(shù)相同，俗稱“同頭”，但被除數(shù)第二位上的數(shù)小于除數(shù)第二位上的數(shù)，不夠商1，俗稱“無除”，那就可以用9試商，如果商9大了，再改商8。你來試一試，使用“同頭無除商八九”的方法來試商并計(jì)算下面這道題吧！635÷67=

、 注意在除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)時(shí)，需要補(bǔ)“0”再除。例1：50÷8=6.25溫馨提示：除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)2，要在2后面補(bǔ)“0”再除；在繼續(xù)除時(shí)，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。二、注意在整數(shù)部分不夠商1時(shí)，需商“0”。例2：1.278÷18=0.071溫馨提示：整數(shù)部分“1”不夠除，商“0”，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)后，與十分位上的“2”合成“12”后，還不夠除，得再次寫上商“0”，才能繼續(xù)往下除。三、 注意在移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)時(shí)，如果位數(shù)不夠需補(bǔ)“0”再除。例3：

法進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)被除數(shù)里有小數(shù)點(diǎn)時(shí)，商的小數(shù)點(diǎn)就與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；當(dāng)整數(shù)部分不夠商1時(shí)，就在個(gè)位上面商0；當(dāng)被除數(shù)也是整數(shù)時(shí)，小數(shù)點(diǎn)就在被除數(shù)的個(gè)位后面，商的小數(shù)點(diǎn)同樣與個(gè)位后面的小數(shù)點(diǎn)上下對(duì)齊；當(dāng)除數(shù)是10、100、1000……時(shí)，只要把被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)分別向左移動(dòng)一位、二位、三位……二、只有除數(shù)是小數(shù)的除法除數(shù)是小數(shù)的除法時(shí)，要利用商不變的性質(zhì)，把除數(shù)變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)的末尾就要添上幾個(gè)相同數(shù)位的0，然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行

乘數(shù)×乘數(shù)=積被除數(shù)÷除數(shù)=商也就是說除數(shù)×商=被除數(shù)。清楚了乘除法的關(guān)系，我們?cè)賮硌芯肯旅娴木毩?xí)?！纠弧?7÷（ ）=3這道題的未知數(shù)是除數(shù)。根據(jù)乘除法的關(guān)系將算式變形為（ ）×3=27，思考幾乘3得27。利用口訣“三九二十七”，求出（ ）里填9?！纠浚?）÷6=7這道題的未知數(shù)是被除數(shù)，根據(jù)乘除法的關(guān)系將算式變形為6×7=（ ），思考6乘7得幾？利用口訣“六七四十二”，求出（ ）里填42?！纠浚?）÷（ ）=5這道題是開放題，此題的未知數(shù)是被

法。除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大到原來的幾倍或縮小到原來的幾分之一，商也要擴(kuò)大幾倍或縮小到原來的幾分之一。讓學(xué)生在練習(xí)中找出除數(shù)不變，被除數(shù)變化的習(xí)題，學(xué)生很快就完成了。接著我又出示一組整數(shù)除法練習(xí)：被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大幾倍或縮小到原來的幾分之一，商反而縮小到原來的幾分之一或擴(kuò)大到原來的幾倍。再次出示一組題目：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大幾倍或縮小到原來的幾分之一，商不變。作業(yè)本中的被除數(shù)和除數(shù)都變化的習(xí)題，對(duì)于學(xué)生來說比較難，但是前兩題是被除數(shù)和除數(shù)縮小相同的倍數(shù)，所以

出，除數(shù)不變，被除數(shù)和商發(fā)生變化。生：三道題如果填的一樣，被除數(shù)、除數(shù)和商都沒有變化。生：同一組題，不會(huì)填成一樣的。2.表象化抽象，書寫算式。師：同學(xué)們的辯論很精彩！確實(shí)不會(huì)出現(xiàn)被除數(shù)、除數(shù)、商一樣的這種情況。我們發(fā)現(xiàn)除數(shù)不變，被除數(shù)和商發(fā)生變化，你能舉出一組除法算式的例子嗎？生：8÷2=4。師：你能在除數(shù)2不變的情況下，把被除數(shù)8分別乘幾，然后算出商嗎？生：40÷2=20，80÷2=40。（板書：除數(shù)不變8÷2=4 40÷2=20 80÷2=40三個(gè)算式

生掌握商不變時(shí)被除數(shù)、除數(shù)的變化規(guī)律，從而抽象概括出“商不變的規(guī)律”。本節(jié)課要使學(xué)生自主探索、理解和掌握“商不變的規(guī)律”，并能運(yùn)用“商不變的規(guī)律”進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括以及發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探求新知的能力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.理解掌握商不變的規(guī)律。2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象概括等能力。3.通過體會(huì)“變”與“不變”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生感受辯證唯物主義思想。【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：理解商不變的規(guī)律。難點(diǎn)：歸納商不變規(guī)律的過程?！窘虒W(xué)過程】一、除數(shù)不變，被除

，關(guān)鍵是要求出被除數(shù)是多少，應(yīng)該從哪里入手呢？我們不妨將錯(cuò)就錯(cuò)，按照馬小虎看錯(cuò)的算式來計(jì)算。（）÷ 56＝15……54，被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)，可以求出被除數(shù)是15×56+54＝894。馬小虎只是把除數(shù)看錯(cuò)了，被除數(shù)并沒有變化，所以原來的被除數(shù)就是894，正確的除法算式應(yīng)該是894÷65，于是就可以列豎式（如下式）算出正確的商是13，余數(shù)是49。例2.馬大哈列豎式時(shí)，把被除數(shù)344看成了334，最后得到的商是20，余數(shù)是14。你能求出正確的得數(shù)嗎？我是這樣

嬌[摘 要]“被除數(shù)等于除數(shù)與商的積加余數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)。然而，對(duì)于此“約定俗成、亙古不變”的結(jié)論，教師教學(xué)時(shí)是直接告訴學(xué)生，還是讓學(xué)生自由探究呢？為了體現(xiàn)教學(xué)的價(jià)值，教師應(yīng)該注重從具體的情景中抽取出數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生在合作探究中直抵?jǐn)?shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)不僅“知其然”，而且“知其所以然”。[關(guān)鍵詞]反思 問題 數(shù)學(xué)本質(zhì) 被除數(shù) 除數(shù) 商[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）29-01

，我會(huì)！1.從被除數(shù)的高位除起，先看被除數(shù)的前一位，如果前一位比除數(shù)小，就要看前兩位；2.除到被除數(shù)的哪一位，就把商寫在哪一位的上面；3.余下的數(shù)必須比除數(shù)小。所以，通關(guān)密語是我有更簡(jiǎn)便的方法：只要各個(gè)位上的數(shù)字之和是3的整數(shù)倍，那么這個(gè)數(shù)除以3就沒有余數(shù)。例如：36 3+6=9=3x3222（ ）+（ ）+（ ）=（ ）=3×（ ）156（ ）+（ ）+（ ）=（ ）=3×（ ）你學(xué)會(huì)了嗎？喜羊羊和小伙伴打開了第一扇門，還有第二扇門擋住去路，你能快速找到

越今天，一道求被除數(shù)的思考題，一下子把我難住了。題目是這樣的：在一道沒有余數(shù)的除法中，被除數(shù)、除數(shù)與商的和是97，商是6。求被除數(shù)是多少？這道題只告訴了我們商是6，通過計(jì)算也只能得出被除數(shù)+除數(shù)=97-6=91。怎么才能求出被除數(shù)呢？我拿起題目，認(rèn)真觀察，反復(fù)琢磨，果然發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘。商是6就說明被除數(shù)是除數(shù)的6倍。在上面的題目中，我們只要把除數(shù)看作1份，那么被除數(shù)就有這樣的6份；被除數(shù)與除數(shù)的和是91，可以得出（6+1）份是91，那么這樣的1份就是91

1）除數(shù)不變，被除數(shù)乘或除以幾，商也乘或除以相同的數(shù)。（2）被除數(shù)不變，除數(shù)乘或除以幾，商反而除以或乘相同的數(shù)。（3）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以幾，商不變。應(yīng)用商的變化規(guī)律，可以根據(jù)一個(gè)算式的得數(shù)，直接寫出其他相關(guān)算式的結(jié)果，還可以使口算和筆算簡(jiǎn)便。例1.根據(jù)864€？4=36，直接寫出下列各算式的結(jié)果?！痉治雠c解】這三組除法算式，都可以應(yīng)用商的變化規(guī)律直接寫出得數(shù)。左邊一組的兩個(gè)算式與已知算式相比，被除數(shù)分別縮小和擴(kuò)大了，除數(shù)不變，可以應(yīng)用規(guī)律（1）計(jì)算。

1……4，雖然被除數(shù)是個(gè)三位數(shù)，而且十位上是0，但它的商卻是兩位數(shù)。有的小朋友是這樣思考的：既然商的中間有沒有0，和被除數(shù)的十位上是不是有0沒有直接的關(guān)系，那么當(dāng)被除數(shù)的十位上不夠商1時(shí)，我們就寫“0”占位。只要被除數(shù)的十位上的數(shù)字比除數(shù)5小，就一定能保證商的十位上的數(shù)字是0。這種想法還是不夠全面，因?yàn)樗豢紤]到了被除數(shù)的十位，沒有考慮到百位。例如：219÷5=43……4，雖然被除數(shù)是個(gè)三位數(shù)，而且十位上的數(shù)字比除數(shù)5小，但商卻是兩位數(shù)，中間也沒有0。有的

同舍同入法：把被除數(shù)跟著除數(shù)一起舍或入，然后試除，例如，112÷28，如果把除數(shù)看作30，則被除數(shù)看作120（同入）；如果把除數(shù)看作20，則被除數(shù)看作110（同舍）。2.三段舍入法：這也是課本上的方法。把除數(shù)首位的下一位數(shù)劃分為三段：1、2、3為下段；4、5、6為中段；7、8、9為上段。下段和上段按四舍五入法試商，中段看成中間數(shù)試商（即除數(shù)是幾十四、幾十五、幾十六時(shí)，看作幾十五去試除）。但是用中間數(shù)試商，需要熟記中間數(shù)的倍數(shù)，要求較高，一般只有在除數(shù)是十幾

商之前需要比較被除數(shù)與除數(shù)位數(shù)相同的部分是否夠減，不夠減商位0，夠減商為1[3]。由于這種試商操作是從被除數(shù)的高位開始的，為了保證位數(shù)的一致性，將被除數(shù)的最高位填寫3個(gè)”0”，然后進(jìn)行4位數(shù)的比較。每次得到的部分差要左移一位，最低位要由被除數(shù)沒參加比較的下一位填充。當(dāng)被除數(shù)的最低位數(shù)碼經(jīng)過試商，前次部分差和此次一位商與除數(shù)的積相減后，得到的部分差就是余數(shù)。分析該手工除法運(yùn)算方法可知：當(dāng)部分積為0時(shí)，要直接將前次部分差左移一位，使之低3位的成為下一次的被減數(shù)

家：“馬小虎把被除數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字顛倒了，除數(shù)是9，結(jié)果除得的商是4。你們知道正確的商是多少嗎？”大家聽了，撓撓頭，一副無計(jì)可施的模樣。樂樂說：“不知道被除數(shù)??？”惠老師呵呵一笑：“難道不可以想辦法求嗎？”貝貝突然眼前一亮：“除數(shù)沒有變，還是9。根據(jù)€？=4，可以求出錯(cuò)誤的被除數(shù)是4€？=36。”聽他這么一說，大家恍然大悟。歡歡說：“交換36的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字，正確的被除數(shù)是63?！瘪R小虎紅著臉，說：“正確的商應(yīng)該是：63€？=7！以后抄題目時(shí)我一

四個(gè)數(shù)分別湊成被除數(shù)和除數(shù)，使它們的商為24?？梢韵却_定除數(shù)，如確定4為除數(shù)，那么被除數(shù)就是24×4=96，于是就可以得到（6+6）×8÷4=24；也可以先確定被除數(shù)，如把6×8=48當(dāng)作被除數(shù)，那么除數(shù)就是48÷24=2，于是就可以得到（6×8）÷（6-4）=24。方法三選擇最后一步運(yùn)算是減法，把四個(gè)數(shù)分別湊成被減數(shù)和減數(shù)，使它們的差為24。可以先確定一個(gè)數(shù)為減數(shù)，如先確定8為減數(shù)，則被減數(shù)就是24+8=32，于是可以得到（6×6-4）-8=24；也可以

的問題：如果當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)增加（或減少）一個(gè)相同的數(shù)，商變不變？問題一經(jīng)提出，一石激起千層浪，學(xué)生積極討論，各抒己見。有的說，商變大；有的說，商變小；有的說，商不變。老師敏銳地捕捉住這個(gè)“最佳時(shí)機(jī)”又提出：誰能舉出一個(gè)“當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)增加（或減少）一個(gè)相同的數(shù)，商變大了，商變小了或商不變”的例子？問題一經(jīng)提出，引導(dǎo)出如下一些打開思路的有趣例子：學(xué)生甲：例“1.8÷9＝0.2”，當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)增加1就得（1.8＋1）÷（9＋1）＝2.8÷10＝0

除法題時(shí)，誤把被除數(shù)個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字看顛倒了，除數(shù)是6，算出來的得數(shù)是4。正確的結(jié)果是多少?同學(xué)們想，既然把被除數(shù)看錯(cuò)了，算出來的得數(shù)也是錯(cuò)的，這道題根本沒法算，同學(xué)們都沒做出來。我想，小虎在計(jì)算過程中，只把被除數(shù)的個(gè)位和十位看顛倒了，除數(shù)沒看錯(cuò)，這樣可以根據(jù)沒看錯(cuò)的除數(shù)和錯(cuò)誤的商，算出看錯(cuò)的被除數(shù)，那么看錯(cuò)的被除數(shù)是6×4=24?？村e(cuò)的被除數(shù)的個(gè)位和十位與正確的顛倒了，那么正確的被除數(shù)的個(gè)位是“2”，十位上是“4”，即是42，所以正確的商是42+6=7

的近似數(shù)，再把被除數(shù)看做除數(shù)的整數(shù)倍數(shù)、整十倍數(shù)、整百倍數(shù)、整千倍數(shù)等相近的數(shù)，最后口算出近似商。估算與求近似數(shù)是密不可分的，那么在除法估算中如何求近似數(shù)呢?一、用“四舍五入法”求近似數(shù)這是最常用的求近似數(shù)的方法。如果用“四舍五入法”求得的被除數(shù)的近似數(shù)恰好是除數(shù)或除數(shù)的近似數(shù)的整數(shù)倍數(shù)、整十倍數(shù)、整百倍數(shù)、整千倍數(shù)……時(shí)，我們就用“四舍五入法”求除數(shù)和被除數(shù)的近似數(shù)。例如：402/4，402＝400，400+4=100，所以，402÷4＝100：再如：8