所以線段PS的中垂線方程為又k1+k2=0,將k1換為?k1,同理,得線段PT的中垂線方程為性質(zhì)2已知點(diǎn)P在雙曲線C:0,b >0)上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與雙曲線C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)雙曲線C在點(diǎn)P處的切線為l,若k1+k2=0,則?PST的外接圓與l相切.性質(zhì)3已知點(diǎn)P在拋物線C:y2=2px(p>0)上,過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的直線PS,PT,與拋物線C分別交于另一點(diǎn)S,T,設(shè)拋物線C在點(diǎn)P處的切線為l,若

的方法；推導(dǎo)了中垂線單點(diǎn)測(cè)流方法及中垂線表面流量公式，對(duì)提高灌區(qū)測(cè)流效率具有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。1 材料與方法1.1 研究區(qū)概況對(duì)于常用的梯形渠道，按水力最佳斷面設(shè)計(jì)的渠道斷面往往是窄深式的。為此，應(yīng)求一個(gè)寬淺式的梯形斷面，使其水深和底寬有一個(gè)較廣的選擇范圍以適應(yīng)各種情況的需要，而在此范圍內(nèi)又能基本上滿足水力最佳斷面的要求，這種斷面稱為實(shí)用經(jīng)濟(jì)斷面[8]。周春霞[16]通過(guò)《灌溉與排水工程設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50288—99)來(lái)設(shè)計(jì)梯形干渠實(shí)用經(jīng)濟(jì)斷面

BB][″]的中垂線，兩條中垂線與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)[M].解：設(shè)點(diǎn)B落在x軸的B'點(diǎn)處，如圖2①所示，點(diǎn)M在y軸的正半軸上，∵直線y? =? [43] x + 4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴A（-3，0），B（0，4）．∵將△ABM沿AM折疊，∴[AB'=AB]．∵OA = 3，OB = 4，∴[AB=5=AB']，∴[B'O=AB'-OA=2]．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），則[B'M=BM=4-m]，[在Rt△B'OM中，∠MOB'=90°]

時(shí)，發(fā)現(xiàn)與弦的中垂線有關(guān)的題型出現(xiàn)的頻率較高，學(xué)生由于儲(chǔ)備知識(shí)不足或者運(yùn)算能力不夠，常常是做的苦不堪言.希望通過(guò)整合歸納，期待對(duì)學(xué)生有一點(diǎn)幫助.1、與焦點(diǎn)弦的中垂線有關(guān)的性質(zhì)圖1圖2圖3圖4推論3.3 已知AB為拋物線y2=2px過(guò)焦點(diǎn)F的弦，AB的中垂線分別與AB和x軸以及準(zhǔn)線交于C,D,G三點(diǎn)，則A,B,D,G四點(diǎn)共圓.2、與頂點(diǎn)弦的中垂線有關(guān)的性質(zhì)圖53、與一般弦的中垂線有關(guān)的性質(zhì)圖6與圓錐曲線有關(guān)的定值問(wèn)題，一直是高考熱點(diǎn)考查的對(duì)象，因此在解題教學(xué)

低點(diǎn)電荷連線的中垂線上各點(diǎn)的電勢(shì)均為零。例3如圖3所示，在兩個(gè)固定的等量異種電荷連線的垂直平分線上有a、b、c三點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。A.a點(diǎn)電勢(shì)比6點(diǎn)的高B.a、b兩點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，且b點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度比a點(diǎn)的大C.a、b、c三點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)相等D.將一帶電粒子（不計(jì)重力）從a點(diǎn)無(wú)初速度地釋放，則它將在ab連線上運(yùn)動(dòng)解析 因?yàn)榈攘慨惙N點(diǎn)電荷連線的中垂線上各點(diǎn)的電勢(shì)均為零，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確。因?yàn)榈攘慨惙N點(diǎn)電荷連線的中垂線上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向與其

跡方程.三、從中垂線的特征入手經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又稱“中垂線”.中垂線的性質(zhì)主要有：（1）中垂線垂直且平分其所在的線段;（2）中垂線上的任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.在解答兩圓相交問(wèn)題或者圓中弦問(wèn)題時(shí)，可從兩圓公共弦的中垂線入手，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，找到垂直關(guān)系或等量關(guān)系，便可快速解題.例3.求圓心在直線3x+4y-1=0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2-x+y-2=0與x2+y2=5的交點(diǎn)的圓的方程.解：記

點(diǎn)F所成線段的中垂線，所以我們?cè)趫A上再取個(gè)動(dòng)點(diǎn)，注意圓上的動(dòng)點(diǎn)是這樣構(gòu)造的，點(diǎn)擊第二個(gè)工具箱的右下角的小箭頭，選擇其中的“對(duì)象上的點(diǎn)”，點(diǎn)擊繪圖區(qū)的圓周，即可得到圖中的點(diǎn)C.（此方法得到的點(diǎn)只能在圓周上移動(dòng)，也可使用指令：描點(diǎn)（c）.即可構(gòu)造圓c上的動(dòng)點(diǎn)）步驟4選擇第三個(gè)工具箱右下角的下拉箭頭選擇“線段”，再點(diǎn)擊繪圖區(qū)的點(diǎn)C和點(diǎn)F，構(gòu)造線段C.再選擇第四個(gè)工具箱中的“中垂線”，在繪圖區(qū)點(diǎn)擊線段（F，即可作出線段C的中垂線.步驟5在繪圖區(qū)右鍵點(diǎn)擊中垂線，選擇

用k表示出圓和中垂線的方程，過(guò)程和方向明確．此外，兩個(gè)交點(diǎn)可以看作是由點(diǎn)N繞圓心旋轉(zhuǎn)得到，因此可以由旋轉(zhuǎn)關(guān)系得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓方程建立不等式．另一方面，容易看出點(diǎn)N是定點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上的位置決定了交點(diǎn)位置，所以可以分析圖形的變化規(guī)律，把握交點(diǎn)在橢圓邊界上時(shí)的臨界狀態(tài)，求出此時(shí)k的值，進(jìn)而確定k的取值范圍．2 解法探究評(píng)析聯(lián)立方程求出交點(diǎn)，其中涉及化簡(jiǎn)、因式分解等過(guò)程，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了一定要求，包括最后解不等式，代數(shù)運(yùn)算貫穿整個(gè)過(guò)程，主要思路為“

1可得邊AB的中垂線方程是(x-x1)2+(y-y1)2=(x-x2)2+(y-y2)2①同理可得邊AC的中垂線方程是②用行列式法解①②組成的二元一次方程組，得到的解就是△ABC外心Ω的坐標(biāo)(因?yàn)槿我馊切蔚耐庑拇嬖谇椅ㄒ?，所以此方程組的解也存在且唯一)，通過(guò)解方程組可得：從而可得欲證成立.證法2可證△ABC外接圓的方程(可見(jiàn)盛祥耀，葛嚴(yán)麟，胡金得，張?jiān)戮帯陡叩葦?shù)學(xué)輔導(dǎo)(下冊(cè))》(1983年清華大學(xué)出版社)第17頁(yè)第7.7題)再用配方法可得欲證結(jié)論成立.

2)兩電荷連線中垂線上關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向相反，電勢(shì)相等；中垂線外關(guān)于中垂線對(duì)稱的兩點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向與中垂線的夾角相等，電勢(shì)相等。3.等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的對(duì)稱：(1)兩電荷連線上關(guān)于連線中點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向相同，電勢(shì)不等；連線外關(guān)于連線對(duì)稱的兩點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向與連線的夾角相等，電勢(shì)相等。(2)兩電荷連線中垂線上關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向相同，電勢(shì)相等；中垂線外關(guān)于中垂線對(duì)稱的兩點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向

態(tài)正面觀1.頭中垂線：穿過(guò)臉中間；由前額，鼻子到下巴總體觀察：頭應(yīng)該朝向正前方，無(wú)旋轉(zhuǎn)和側(cè)屈2.肩膀中垂線：穿過(guò)胸骨柄、胸骨和劍突總體觀察：兩肩基本等高；兩肩鎖骨等高3.腰脊椎中垂線：穿過(guò)肚臍總體觀察：肚臍應(yīng)在正中間4.骨盆中垂線：將骨盆分成兩半；穿過(guò)恥骨聯(lián)合總體觀察：兩側(cè)髂骨前上棘等高；兩側(cè)髂骨前上棘與中垂線等距5.大腿中垂線：與兩側(cè)大腿等距總體觀察：股骨應(yīng)筆直，無(wú)內(nèi)旋或外旋；兩側(cè)大腿肌肉體積等大6.膝關(guān)節(jié)和小腿中垂線：在膝關(guān)節(jié)股骨內(nèi)側(cè)髁之間；與兩條小腿

，連線BBx做中垂線，轉(zhuǎn)動(dòng)角一般78°-82°，按82°設(shè)計(jì)，確定A點(diǎn)，確定動(dòng)臂長(zhǎng)度。圖2 四種狀態(tài)及A、D點(diǎn)確定（2）確定D點(diǎn)。初選連桿長(zhǎng)度，一般550-630mm，取590mm，連線BC，過(guò)C點(diǎn)半徑590mm圓與AB交于P點(diǎn)，另一點(diǎn)Pz，PPz連線延長(zhǎng)線交于過(guò)Cx點(diǎn)半徑590mm圓于Dx,檢驗(yàn)BxCx和CxDx夾角必須大于10°，否則按夾角10°取Dx；連接CPz，以此線為中垂線，鏡像P點(diǎn)，得到D點(diǎn)。為保證機(jī)構(gòu)不產(chǎn)生死角滿足動(dòng)力性，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程 CBD

作兩圓連心線的中垂線，然后在中垂線上取一點(diǎn)作為圓心。前者能完成，后者無(wú)論怎樣變半徑都不能完成。師：有的同學(xué)畫(huà)出來(lái)了，但他們畫(huà)的兩個(gè)已知圓是等圓，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一下畫(huà)圓過(guò)程？生：作00，的中垂線，在中垂線上任取一點(diǎn)0，連接00（或002）交O0于A，以0為圓心，以O(shè)A為半徑畫(huà)圓，則這樣的圓與Oq，002都外切。師：能證明嗎？這樣的圓有多少個(gè)呢？這些圓的圓心構(gòu)成的軌跡是什么呢？（這些問(wèn)題學(xué)生們都能一作答）師：在前面的問(wèn)題中，如果已知的三個(gè)圓都是等圓，要畫(huà)一個(gè)與它們都外

據(jù)：兩個(gè)炮孔間中垂線方向、第1炮孔水平線方向、第1炮孔中垂線方向以及第2炮孔中垂線方向，應(yīng)力時(shí)程數(shù)據(jù)總共200種。最后通過(guò)比較爆破后巖石的爆破范圍與鏟狀，尋求最佳匹配方案。1.1 算法及建模條件ANSYS/LS-DYNA是一種以Largrange算法為主，兼有ALE和Euler算法，以顯示求解為主兼有隱式求解功能的大型非線性有限元程序[10]。本次數(shù)值模型由炸藥和巖石組成，巖石介質(zhì)采用拉格朗日算法建模，考慮到?jīng)_擊波在固體礦石的傳播過(guò)程中，涉及到兩種不同性質(zhì)

同種電荷連線的中垂線上和均勻帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)定量分析過(guò)程.1 等量同種電荷連線中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)1.1 定性分析真空中的兩個(gè)等量同種電荷電場(chǎng)分布情況大致如圖1所示，中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)變化情況我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中常做這樣的定性分析：兩電荷連線中點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零，無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)也為零，其他位置場(chǎng)強(qiáng)不為零.故在中垂線上，從圖1中O點(diǎn)開(kāi)始，沿x軸正方向場(chǎng)強(qiáng)先增大，再減小，中間某處存在場(chǎng)強(qiáng)的最大值.然而，最大值的位置究竟在哪呢？我們可以結(jié)合圖1作如下的定量計(jì)算.圖1 等量同種電荷

為x軸，以PQ中垂線所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x,y），則二、試題拓展三、方法拓展即S△ABC取到最大值。解法二：以AB所在直線為x軸，以AB中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C（x,y），則A（-1,0），B（1,0），由得化簡(jiǎn)得（x-3）2+y2=8，故點(diǎn)C的軌跡為以（3,0）為圓心，以為半徑的圓（與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)除外），解法二：如圖，以BC所在的直線為x軸，以線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0,a）

上存在使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）【評(píng)析】這是一道較難的選擇題，學(xué)生不易從條件中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，從而確定離心率的取值范圍。關(guān)鍵語(yǔ)句“右準(zhǔn)線上存在P使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2”。嘗試著畫(huà)圖，圖像告訴我們，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為“以為F2圓心，焦距為半徑畫(huà)圓。當(dāng)圓與右準(zhǔn)線有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)P與F1的連線就是圓的一條弦，弦的中垂線必過(guò)圓心F2?！痹谏钊胪诰蚱鋷缀翁卣骱?，我們揭開(kāi)了本題的神秘面紗，其本質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題。所以，只需 。即【評(píng)析】本

電荷的連線及其中垂線上電場(chǎng)線的畫(huà)法，彌補(bǔ)了一個(gè)空白，為學(xué)生判斷該類問(wèn)題提供了有效的方法。也嘗試從多個(gè)角度解釋這種畫(huà)線的理由。關(guān)鍵詞：等量同種點(diǎn)電荷；中垂線；電場(chǎng)線中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）41-0190-02電場(chǎng)線是人們?yōu)榱诵蜗罄斫怆妶?chǎng)而引入的假想曲線，最早是由法拉第提出的。弄清電場(chǎng)線帶電體周周的電場(chǎng)線和等勢(shì)面分布，對(duì)學(xué)生理解電荷周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)特點(diǎn)十分重要。但筆者發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等量同種點(diǎn)電荷的連線及其

同種點(diǎn)電荷連線中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)研究殷正徐(江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)，江蘇 沭陽(yáng) 223600)本文利用GeoGebra軟件研究了等量同種點(diǎn)電荷連線中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)，從動(dòng)態(tài)演示驗(yàn)證規(guī)律、數(shù)形結(jié)合全面認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)算求出極值等三個(gè)方面深入剖析，從定性到定量，從形象到抽象，由表及里，層層遞進(jìn)，使學(xué)生對(duì)等量同種點(diǎn)電荷連線中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)有深刻認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。GeoGebra軟件；同種電荷；電場(chǎng)疊加；數(shù)形結(jié)合1 高考原題及分析例題(2014年江蘇卷

O1在AM 的中垂線上;因?yàn)镺1為△DCE的外心,所以O(shè)1在EC的中垂線上,即在KM 的中垂線上,所以O(shè)1為△AKM外心;因?yàn)镕為AK 的中點(diǎn),所以O(shè)1F ⊥AK,即∠AFO1=90°.評(píng)析 這種方法構(gòu)造難度最大,首先想到利用中垂線證垂直是不容易的,其次外心是三角形三條中垂線的交點(diǎn),那么如何構(gòu)造一個(gè)三角形使得O1F是其一邊上的中垂線,O1是它的外心就是最大的難點(diǎn).同時(shí)在證明O1是△AKM的外心時(shí),各種關(guān)系的轉(zhuǎn)化也是較難的.(2)作O1N ⊥ DE于N,因?yàn)?/div>

中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2017年16期2017-09-05

點(diǎn)電荷連線及其中垂線）上仍有其規(guī)律性，為研究方便，設(shè)它們帶電量為Q，兩電荷連線AB長(zhǎng)度為L(zhǎng)，中點(diǎn)為O。一、等量的同種電荷形成的電場(chǎng)的特點(diǎn)1.場(chǎng)強(qiáng)特點(diǎn)①兩點(diǎn)電荷連線上：任取一點(diǎn)P，設(shè)AP長(zhǎng)度為x，則P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)EP為兩點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)EA、EB的矢量和，方向沿AB連線，O點(diǎn)左側(cè)從A指向B，右側(cè)從B指向A（沿兩電荷連線指向較遠(yuǎn)一側(cè)電荷，若兩電荷為等量負(fù)電荷則反之）。P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小知：EP=，∴當(dāng)x=時(shí)，EP=0，即在兩電荷連線中點(diǎn)O處場(chǎng)強(qiáng)最小，從O點(diǎn)向兩側(cè)逐漸

平分線（簡(jiǎn)稱“中垂線”），垂直平分線就是：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線。它也簡(jiǎn)稱中垂線。運(yùn)用中垂線也能很快得求出角的度數(shù)。例如：已知ABC中∠BAC=120°，AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，你能求出∠EAF的度數(shù)嗎？（此題考查了中垂線的應(yīng)用）解：∵AB、AC是BA、AC的中垂線∴BE=EAAF=FC∴∠EBA=∠EAB∠FAC=∠FCA∵∠BAC=120°∴∠CBA+∠FAC=180°-∠BAC=180°-120°=60°即：∠EAB

.二、正確使用中垂線性質(zhì)例2 如右圖所示，AD垂直平分BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證DE=DF.證明 ∵AD是BC的中垂線,∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱.又∵A、D在直線AD上,∴A和它本身對(duì)稱，D也和它本身對(duì)稱,∴△ABD和△ACD關(guān)于AD對(duì)稱,故∠BAD和∠CAD能夠重合.∴∠BAD=∠CAD.又∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF.總結(jié)：要證明DE=DF，只需要證明AD是∠BAC的平分線，而AD是BC中垂線可得B、C兩點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱，

工具，如作圓、中垂線等；④操作簡(jiǎn)單，能輕松實(shí)現(xiàn)拖動(dòng)、平移、縮放等。通過(guò)Euclidea游戲進(jìn)行幾何學(xué)習(xí)先說(shuō)說(shuō)尺規(guī)作圖，很簡(jiǎn)單，就是用一把沒(méi)有刻度的直尺、一個(gè)可以作任意半徑圓的圓規(guī)和一支筆這三樣?xùn)|西來(lái)繪制幾何圖形，如畫(huà)線段中垂線、作角平分線、過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線等。下面簡(jiǎn)單說(shuō)說(shuō)如何利用Euclidea來(lái)學(xué)幾何知識(shí)。1.游戲規(guī)則游戲共有13大類120關(guān)，用希臘字母α、β來(lái)命名，進(jìn)入關(guān)卡后就會(huì)給出一些繪圖操作工具，然后利用給定工具，在給定條件下完成作圖

的線段以及一條中垂線，一般情況下畫(huà)中垂線，需要用尺來(lái)測(cè)量該線段，然后畫(huà)出中垂線。但是如果使用圓規(guī)來(lái)繪制，過(guò)程會(huì)更加精確。圖1 弧線的繪制方法先來(lái)畫(huà)兩個(gè)滅點(diǎn)，借助圓規(guī)設(shè)定好圓規(guī)的半徑，半徑的大小比連接滅點(diǎn)的線段短一些。通常將半徑設(shè)定于該線段的3/4處比較好，將圓規(guī)定心針?lè)旁谄渲幸粋€(gè)滅點(diǎn)上，然后在連接滅點(diǎn)的線段上下分別畫(huà)兩條弧線。不用改變圓規(guī)的設(shè)定，將圓規(guī)定心針?lè)旁诹硪粶琰c(diǎn)上，再連接滅點(diǎn)的線段上下分別畫(huà)兩條弧線，與另一對(duì)弧線相交，畫(huà)一條中垂線，可以把中垂線畫(huà)長(zhǎng)

長(zhǎng)橫左端在左、中垂線中間，右端在中、右垂線之間，上下則在上、中水平線偏中處。3.橫畫(huà)在中水平線偏上，中點(diǎn)與中垂線合。4.橫畫(huà)在中水平線上，中點(diǎn)與中垂線合。5.橫畫(huà)在中、下水平線間偏上處，終點(diǎn)與中垂線合。6.中豎與中垂線合，起于上水平線與橫折間，止于中、下水平線中點(diǎn)。7.短豎在左、中垂線間偏中，走向趨中垂線。8.橫折在中、右垂線間偏中，走向趨中垂線。9.中垂線上放小橫。10.短橫封口，它的位置實(shí)際由字內(nèi)即可定下，可不看“米字格”了，這類問(wèn)題留待“框臨”部分時(shí)

等量同種點(diǎn)電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)最大值的再思考陳一垠(南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院江蘇 南京210097)摘 要：兩等量同種點(diǎn)電荷連線中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度存在一極大值點(diǎn)，高中階段學(xué)生由于數(shù)學(xué)知識(shí)不足,無(wú)法求出該極大值點(diǎn).本文通過(guò)代數(shù)求導(dǎo)法以較為簡(jiǎn)潔的步驟精確地求出該極大值點(diǎn)的位置以及場(chǎng)強(qiáng)的最大值.關(guān)鍵詞：點(diǎn)電荷等量電場(chǎng)強(qiáng)度最大值收稿日期：(2014-12-19)在高中物理“電場(chǎng)強(qiáng)度”這一節(jié)內(nèi)容中，有這樣一個(gè)問(wèn)題：真空中的兩個(gè)位置分別放有兩等量同種點(diǎn)電荷，從兩點(diǎn)電荷連線

等量同種電荷的中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度的分布*吳軍(東臺(tái)市時(shí)堰中學(xué)江蘇 鹽城224211)*江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究課題(2013年度第10期)“普通高中青年物理教師專業(yè)發(fā)展共同體建設(shè)的實(shí)踐研究”階段性成果之一，課題編號(hào)：2013JK10-L154摘 要：等量同種電荷中垂線上的電場(chǎng)分布是高考一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，本文用高中學(xué)生所能掌握的方法從定性和定量?jī)蓚€(gè)角度得出從連線中點(diǎn)沿中垂線向外延伸場(chǎng)強(qiáng)先變大后變小的結(jié)論，并將此結(jié)論推廣至均勻帶電圓環(huán)．關(guān)鍵詞：等量同種電荷中垂線電場(chǎng)分布

究，特別是連線中垂線上場(chǎng)強(qiáng)特點(diǎn)的研究都是非常重要的，本文對(duì)等量同種電荷連線及中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行了分析。點(diǎn)電荷，電場(chǎng)強(qiáng)度，最大值電場(chǎng)是一種看不到、摸不著的特殊物質(zhì)，為了形象地描述電場(chǎng)，我們引入了電場(chǎng)線來(lái)描述電場(chǎng)的方向和強(qiáng)弱。對(duì)于等量同種電荷而言，其形成的電場(chǎng)比較復(fù)雜，但又很有規(guī)律，我們都知道等量同種電荷的電場(chǎng)分布具有空間對(duì)稱性，高中物理教材也給出了其電場(chǎng)線分布情況，通過(guò)電場(chǎng)線的分布，我們可以定性的知道兩點(diǎn)電荷周圍空間電場(chǎng)的分布，如圖1，這種特殊的兩點(diǎn)電荷

作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線中垂線，看看他們能不能交于一點(diǎn)就可以了，但是很少有人給出明確的答案。因?yàn)槎鄶?shù)人心里想的是大概吧，也許吧，或許可以，應(yīng)該行。也就是因?yàn)檫@一點(diǎn)，所以才會(huì)有很多輔導(dǎo)資料上會(huì)出現(xiàn)有兩個(gè)正確答案的選擇題。比如，山東教育出版社出版的《初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練》，還有發(fā)行量很高的《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)?數(shù)學(xué)專頁(yè)》上均有這類題目。《基礎(chǔ)訓(xùn)練》P130頁(yè)的這道題，它與我們教科書(shū)上的課后習(xí)題2，變化方式一樣，《教師用書(shū)》中也已經(jīng)明確給出了四種變換方式，包括只用旋轉(zhuǎn)即可完成，當(dāng)

值。線段PN的中垂線x=3與線段PA的中垂線的交點(diǎn)即為所求圓心的坐標(biāo)。13. （1）由|a|<|b|，得，即解得或（2）由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立。當(dāng)m+l=0，即m=-1時(shí)，顯然不成立。則解得14.（1）設(shè)直線ι的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0。易得圓心C2（3，4）到直線ι的距離為，解得或故直線ι的方程為或，即4x-3y+4=0或3x-4y+3-0。（2）①設(shè)圓心C（x，y）。由題意得，即，化簡(jiǎn)得x+y-3=0，即動(dòng)

在兩圓心連線的中垂線上，從而形成如下的解法.解法2：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），兩圓心C1、C2的坐標(biāo)是（-3，1）、（4，5），設(shè)C1C2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是PC1⊥PC2且過(guò)點(diǎn)P、M的直線與直線C1C2垂直，有解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為思路3：根據(jù)試題特點(diǎn)的思路探究，對(duì)過(guò)所求的點(diǎn)P滿足題意的每一對(duì)直線進(jìn)行特殊化處理，即此直線對(duì)互相垂直.又所求點(diǎn)P在兩圓心連線的中垂線上，由等圓的方程相減易知中垂線的方程，從而形成如下的解法.解法3：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由兩等圓的方

為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示.解答錯(cuò)了！錯(cuò)在哪里？圖2錯(cuò)在以偏概全，只考慮了⊙C在△PMN內(nèi)部的情況，而遺漏了⊙C在△PMN外部的情況.正解1 同上，如圖1，知點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(頂點(diǎn)除外).如圖2所示，PD=PE，即PM+MD=PN+NE，得PN-PM=MD-NE=MB-NB=2，知點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的左支(頂點(diǎn)除外).綜上所述，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線(頂點(diǎn)除外)，其方程為正解2

，O為弦AB的中垂線L上的任意一點(diǎn)，且AO=R，OM=r，MG=m，則=2mR2-r2.（注：當(dāng)O在圓心O1上時(shí)，定理1即為引理1.）證法1假設(shè)點(diǎn)O在圓內(nèi)，因?yàn)锳M=AG+GM=AG+m，BM=BG-GM=BG-m，有1AM-1BM=1AG+m-1BG-m=-2mAG2-m2. 又AG2=OA2-OG2=OA2-（OM2-GM2）=OA2-OM2+GM2=R2-r2+m2，有1AM-1BM=-2mR2-r2+m2-m2=-2mR2-r2.由引理2得1PM-

邊AB、CD的中垂線交點(diǎn)就是該正六邊形的中心O，又由于等腰梯形上下兩底的中垂線重合，所以PM、PN的中垂線的交點(diǎn)也是O點(diǎn)，即△PMN的外心為O點(diǎn)．由于∠MPN=60°，由(1)可知∠MON=2∠MPN=120°(同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的兩倍)；原考題第(2)小題正是這條性質(zhì)．性質(zhì)2△PMN的重心G1始終在定直線AD上(如圖5).由三角形相似知識(shí)可得G2G3=故G1與G2重合且在AD上.性質(zhì)3△PMN的垂心始終在定直線AD上.證明由于任意三角形的外心、重心

的連線、連線的中垂線）上的電場(chǎng)入手進(jìn)行分析.1 等量異種點(diǎn)電荷連線上的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布圖如圖1所示，根據(jù)電場(chǎng)線的疏密程度，我們知道連線上越靠近中點(diǎn)O場(chǎng)強(qiáng)越小，兩側(cè)關(guān)于連線中點(diǎn)O對(duì)稱.可進(jìn)行理論證明如下：圖1 設(shè)兩點(diǎn)電荷電荷量分別為＋Q和－Q，兩電荷間的距離為2L，以O(shè)為原點(diǎn)，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖2所示，我們討論連線或連線的延長(zhǎng)線上P（x，0）點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.圖2 規(guī)定＋x方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度E的正方向，則由點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式及電場(chǎng)的疊加

直角三角形法、中垂線法、等距法。圖1 標(biāo)準(zhǔn)圓及其殘缺圓Fig.1 Standard circle image and it’s fragmentary form1.1 直角三角形法所謂直角三角形法就是構(gòu)造一個(gè)圓的內(nèi)接直角三角形，其原理是根據(jù)過(guò)圓上一點(diǎn)的一條非切線的直線與圓相交有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此來(lái)對(duì)圖像中的點(diǎn)沿著某一直線掃描，得到直角三角形的頂點(diǎn)，從而構(gòu)造出直角三角形，然后求得直角三角形斜邊的中點(diǎn)坐標(biāo)即為圓的圓心坐標(biāo)，圓的半徑就是直角三角形斜邊長(zhǎng)度的一半

開(kāi)始，沿兩電荷中垂線向外，電場(chǎng)強(qiáng)度的變化為A.一直減少 B.一直增加C.先增加后減少 D.無(wú)法判斷在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行判斷時(shí)，一般采用特殊位置分析法.兩電荷在O點(diǎn)分別產(chǎn)生的電場(chǎng)大小相等，方向相反，合場(chǎng)強(qiáng)為零.而在無(wú)窮遠(yuǎn)處，兩電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)趨近于零，所以合場(chǎng)強(qiáng)亦為零，而中垂線上其他位置由場(chǎng)強(qiáng)疊加可知，合場(chǎng)強(qiáng)不為零，由此推斷答案為選項(xiàng)C.答案有了，但總覺(jué)意猶未盡，場(chǎng)強(qiáng)先增后減，則一定有一個(gè)極大值，此極大值為多少？在何位置？拜讀了貴刊2010年第9期《兩等量同號(hào)點(diǎn)電荷

析等量同號(hào)電荷中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度.從連線中點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)的場(chǎng)強(qiáng)都為零，得出中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)變化規(guī)律，筆者在教學(xué)中碰到學(xué)生問(wèn)有沒(méi)有定量求出最大值的方法，引發(fā)了筆者對(duì)求極值方法的一點(diǎn)思考.【題目】相距2r的兩個(gè)等量正電荷帶電荷量為Q，求在其連線的中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的最大值及位置.解法一：均值不等式法如圖1所示，考慮到中垂線上任意一點(diǎn)P的情況，該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)可看成兩點(diǎn)電荷在該處所產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)E1，E2的合成.即圖1令y=cos2θsinθ則y2=cos4θsin2θ=所以EP有最大值

點(diǎn)電荷的連線和中垂線上場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分布特征,以此來(lái)幫助學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)兩個(gè)等量點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)的特點(diǎn).1 等量異種電荷如圖1為兩個(gè)等量異種電荷,電量均為 Q,距離為 2a,所產(chǎn)生電場(chǎng)的電場(chǎng)線如圖 1所示.圖11.1 兩點(diǎn)電荷連線之間(O點(diǎn)為兩點(diǎn)電荷連線中點(diǎn),連線上某點(diǎn)距O點(diǎn)的坐標(biāo)為x,下同)(1)場(chǎng)強(qiáng)與位置的關(guān)系(E、x取向右為正).其函數(shù)圖像如圖2所示,從圖像中可以看出,在兩點(diǎn)電荷連線之間各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均為正,即由正電荷指向負(fù)電荷,沿電場(chǎng)線方向先變小后變大,

等量同號(hào)點(diǎn)電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的極大點(diǎn)》一文，通過(guò)逼近法找出了場(chǎng)強(qiáng)極大點(diǎn)．筆者認(rèn)為雖然實(shí)踐中可操作，但理論上不精確，而且不能反映場(chǎng)強(qiáng)變化的單調(diào)性．本文對(duì)幾種電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的極值點(diǎn)和單調(diào)性的判斷進(jìn)行了完整的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，并用幾何畫(huà)板作圖研究場(chǎng)強(qiáng)隨空間位置的變化，使人們對(duì)單調(diào)性有直觀感受．1 等量同號(hào)點(diǎn)電荷中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)如圖1所示，點(diǎn)電荷A，B帶電荷量均為＋Q，相距2L，連線AB中點(diǎn)為O．中垂線上某點(diǎn)P的合場(chǎng)強(qiáng)為圖1 先討論極值，令f（α）＝sinαcos2α，求導(dǎo)可得令

等量同號(hào)電荷中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度極值【例2】如圖2所示，真空中有兩等量同號(hào)正電荷Q，間距為L(zhǎng)．討論中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度極值．圖2分析：取中垂線上某點(diǎn)M,與兩電荷連線夾角均為θ，由平行四邊形定則可得，M點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)令f(θ)=sinθcos2θ，得2f2(θ)=2sin2θcos4θ=(2sin2θ)(cos2θ)(cos2θ)利用基本不等式(2)可得(2sin2θ)(cos2θ)(cos2θ)≤即當(dāng)2sin2θ=cos2θ時(shí)f(θ)有最大值2.3 連接體的速度極值【

00)沿軸線的中垂線方向勻速運(yùn)動(dòng)的線性電四極子的電磁場(chǎng)鄧衛(wèi)娟(河池學(xué)院 物理與電子工程系,廣西 宜州 546300)利用相對(duì)論變換關(guān)系計(jì)算了沿軸線的中垂線方向勻速運(yùn)動(dòng)的線性電四極子的電磁場(chǎng) .線性電四極子;相對(duì)論變換關(guān)系;電場(chǎng)強(qiáng)度;磁感應(yīng)強(qiáng)度兩個(gè)相同的電偶極子相互非?？拷?兩偶極子間的距離l→0,但與電偶矩p的乘積pl則為一有限值),方向相反時(shí),便構(gòu)成電四極子[1].線性電四極子是指兩個(gè)電偶極子分布在一條直線上的電四極子.文獻(xiàn)[2-5]計(jì)算了勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電

點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零，中垂線上無(wú)限遠(yuǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)也為零，中垂線上其他點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不為零且是連續(xù)變化的，所以，中垂線上有個(gè)場(chǎng)強(qiáng)最大值的點(diǎn)．這個(gè)場(chǎng)強(qiáng)最大值的點(diǎn)在那里？在討論庫(kù)侖場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)碰到上述問(wèn)題.如果我們能明確知道這個(gè)場(chǎng)強(qiáng)最大值的位置，那么，對(duì)討論問(wèn)題有很大的幫助．本文就討論這個(gè)問(wèn)題．如圖1所示，為方便討論，假定兩點(diǎn)電荷的距離為2L．圖1大家知道，A、B兩點(diǎn)電荷在其中垂線上某點(diǎn)P的合場(chǎng)強(qiáng)為(1)積化和差，上式可轉(zhuǎn)化為(2)上兩式中，Q為點(diǎn)電荷所帶的電荷量，k為

個(gè)點(diǎn)電荷連線的中垂線，如圖3所示．試比較：(1)沿中垂線，從O到無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)的變化情況；(2)沿兩個(gè)點(diǎn)電荷連線，從Q到-Q場(chǎng)強(qiáng)的變化情況．教學(xué)過(guò)程：?jiǎn)栴}1：中垂線上一點(diǎn)C處的場(chǎng)強(qiáng)是誰(shuí)產(chǎn)生的？(從問(wèn)題入手思考)畫(huà)出C點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)．畫(huà)出O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)．(掌握疊加方法)比較沿中垂線，從O到無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)方向有什么特點(diǎn)？場(chǎng)強(qiáng)度大小怎樣變化？說(shuō)出你的依據(jù)．方法1：電場(chǎng)線法.(疏密，略)方法2：疊加法．根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式可知，距離O點(diǎn)越遠(yuǎn)，每個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)越??；而根

點(diǎn)電荷的連線及中垂線上的電場(chǎng)線沒(méi)有描繪,其實(shí)等量同號(hào)點(diǎn)電荷連線的中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度與位置關(guān)系就是該題E-X圖像的一個(gè)具體實(shí)例.下面以等量同號(hào)正點(diǎn)電荷為例,分析中垂線上有關(guān)電場(chǎng)強(qiáng)度E與位置X的變化規(guī)律.1 中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的變化規(guī)律現(xiàn)設(shè)兩正點(diǎn)電荷之間的距離為2a,它們的電荷量均為Q,如圖2所示由電場(chǎng)的疊加原理可得圖2中p點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度圖2式中θ∈(-90°,90°),現(xiàn)以y=sinθ(cosθ)2來(lái)討論并利用Excel工具定性判斷函數(shù)的單調(diào)性,如圖3所示.表1圖3

作任意兩條弦的中垂線，這兩條中垂線的交點(diǎn)就是圓心；② 利用垂徑定理的推論 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心.例1 有一塊圓形木板，小軍要在它的正中間打一個(gè)小孔，制一個(gè)玩具，而身邊只有一塊三角板（三角板的斜邊大于圓的直徑），你能幫他找到圓心嗎？解析： 借助三角板的直角，可以利用垂徑定理的推論來(lái)確定圓心.如圖1，首先將三角板的直角頂點(diǎn)放在圓周上任意一點(diǎn)，兩條直角邊交圓于A，B兩點(diǎn)，則AB就是圓的直徑.同樣方法再得到另一條直徑CD.兩條直徑交

角形，作BC的中垂線DO與∠BAC的內(nèi)角平分線AO相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作垂線OE，OF分別垂直于直線AB，AC，連接OB和OC(如圖1)，則△AOE與△AOF全等，△ODB與△ODC全等，△OBE與△OCF全等.若DO與AO相交于△ABC內(nèi)(圖1(1))，便有AB=AE+BE=AF+CF=AC；若DO與AO相交于三角形ABC外(圖1(2))，便有AB=AE-BE=AF-CF=AC.可見(jiàn)無(wú)論是哪種情況，三角形都是等腰三角形.上述證明的錯(cuò)誤在于推理依據(jù)證明者自己