李新良

（泰興中學(xué) 江蘇 泰興 225400）

《物理通報(bào)》2010年第9期《兩等量同號(hào)點(diǎn)電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的極大點(diǎn)》一文，通過逼近法找出了場(chǎng)強(qiáng)極大點(diǎn)．筆者認(rèn)為雖然實(shí)踐中可操作，但理論上不精確，而且不能反映場(chǎng)強(qiáng)變化的單調(diào)性．本文對(duì)幾種電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的極值點(diǎn)和單調(diào)性的判斷進(jìn)行了完整的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，并用幾何畫板作圖研究場(chǎng)強(qiáng)隨空間位置的變化，使人們對(duì)單調(diào)性有直觀感受．

1 等量同號(hào)點(diǎn)電荷中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)

如圖1所示，點(diǎn)電荷A，B帶電荷量均為＋Q，相距2L，連線AB中點(diǎn)為O．中垂線上某點(diǎn)P的合場(chǎng)強(qiáng)為

圖1

先討論極值，令f（α）＝sinαcos2α，求導(dǎo)可得

令f′（α）＝0，則有

查三角函數(shù)表知α＝35．264°，即α＝0．196π時(shí)中垂線上場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)極值．再討論單調(diào)性，由

可知，f′（α）的正負(fù)僅取決于（cosα－槡2 sinα）的正負(fù)．所以當(dāng)0≤α＜35．264°時(shí)，f′（α）＞0，場(chǎng)強(qiáng)E單調(diào)遞增；當(dāng)35．264°＜α＜90°時(shí)，f′（α）＜0，場(chǎng)強(qiáng)E單調(diào)遞減；當(dāng)α＝35．264°時(shí)，f′（α）＝0，場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)極大值．以上結(jié)論具有普適性．如圖2，利用幾何畫板作出函數(shù)f（x）＝sin x cos2x的圖像，在0～區(qū)間可以直觀驗(yàn)證上述普適結(jié)論．

圖2 幾何畫板1

2 等量異號(hào)點(diǎn)電荷連線之間的場(chǎng)強(qiáng)

如圖3所示，點(diǎn)電荷A，B帶電荷量分別為＋Q和－Q，相距2L，連線AB中點(diǎn)為O，連線AB之間有一點(diǎn)P，設(shè)PO＝l（0≤l＜L），則P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為

圖3

經(jīng)分析，AO之間場(chǎng)強(qiáng)E將隨l的增大而單調(diào)增大．根據(jù)對(duì)稱性，連線AB之間O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)最小，離O越遠(yuǎn)，場(chǎng)強(qiáng)越大，這一結(jié)論也能由電場(chǎng)線疏密定性得出．如圖4，以L為一個(gè)長度單位，利用幾何畫板作出函數(shù)的圖像，在0～1區(qū)間單調(diào)遞增，也能驗(yàn)證上述結(jié)論．

圖4 幾何畫板2

3 不等量異號(hào)點(diǎn)電荷連線之外的場(chǎng)強(qiáng)

如圖5所示，點(diǎn)電荷A，B帶電荷量分別為＋Q，－q，相距L．現(xiàn)討論直線AB上B點(diǎn)右側(cè)各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)．B點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)P，以水平向右為正方向，則P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為

圖5

引入函數(shù)

求導(dǎo)可得

分別令f（x1）＝0，f′（x2）＝0．解得

因?yàn)閚＞1，所以x2＞x1＞0，通過討論f（x）、f′（x）的正負(fù)，并考慮到函數(shù)的單調(diào)性與矢量單調(diào)性的聯(lián)系與區(qū)別，就能得到場(chǎng)強(qiáng)E的方向及單調(diào)性，結(jié)論見表1．

表1

由表1可知，場(chǎng)強(qiáng)極大值出現(xiàn)在x＝x2處．同樣，以L為一個(gè)長度單位，取n＝4，則

如圖6，利用幾何畫板作出函數(shù)f（x）的圖像，能夠?qū)ι鲜鼋Y(jié)論進(jìn)行枚舉法驗(yàn)證．

圖6 幾何畫板3