等積
- 圓錐曲線上定點定值子弦性質(zhì)的另證與應(yīng)用
證明了斜率等和與等積子弦的相關(guān)性質(zhì).文章研究內(nèi)容是近幾年高考考查的熱點問題,比如2020年新高考Ⅰ卷第22題,2022年新高考Ⅰ卷第21題,2022年全國高考理科乙卷第20題均涉及此類問題,這是廣大考生感覺到非常困難的問題.文[2]提出平移齊次化方法是處理這類問題的一種非常有效的手段[2].本文將基于一般化的圓錐曲線形式,利用平移齊次化方法證明定點定值子弦的相關(guān)性質(zhì),結(jié)論形式更加統(tǒng)一,證明過程更加簡潔.1 圓錐曲線上定點定值子弦的定義設(shè)點P是圓錐曲線上的一
數(shù)理化解題研究 2024年7期2024-04-12
- 圓中陰影圖形面積的特殊解法舉例
結(jié)合實例深入探究等積變換、割補拼接、圖形變化三種特殊方法的構(gòu)建思路，形成相應(yīng)的解題策略.【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；圓；陰影面積圓中陰影圖形面積問題十分常見，對于不規(guī)則圖形問題需要采用特殊的解法，常用的有等積變換法、割補拼接法、圖形變化法，下面結(jié)合實例具體探究.1? 等積變換法等積變換，顧名思義對所求圖形進行等面積變化，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積或易求圖形面積.利用等積變換求解不規(guī)則三角形面積時，可以充分利用同底等高模型，結(jié)合面積公式進行面積變換.可分兩步進行：第
數(shù)理天地(初中版) 2024年1期2024-01-12
- 用平行線之間的等積變形計算圖形的面積
應(yīng)用平行線之間的等積變形，把題目由難變易、由繁變簡，這是計算圖形面積的一種重要的策略。例題1圖2 中，小正方形的邊長是7厘米，大正方形的邊長是10厘米。陰影部分的面積是多少？圖2把三角形ACH 分為三角形ABH 和三角形BCH 兩部分。運用直線BE和直線CD的平行關(guān)系，把三角形BCH進行等積變形，將C拉動到D（如圖3），你會發(fā)現(xiàn)三角形BCH與三角形BDH同底（HB為底）等高（CB＝DE），所以面積相等。求三角形ACH的面積可轉(zhuǎn)化為求三角形ABD的面積。三角
數(shù)學(xué)小靈通·3-4年級 2023年11期2023-11-21
- 巧用等面積求解圖形轉(zhuǎn)化問題
“巧用平行線進行等積變換”選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學(xué)習(xí)和個性化提升。對于不易直接求得的四邊形或者三角形的面積，賴?yán)蠋煾鶕?jù)“平行線間距離處處相等”進行圖形的等面積轉(zhuǎn)化，“不易求”即刻變成“直接求”.模型構(gòu)建等積變換基本模型：如圖1，AB[?]CD，3對面積分別相等的圖形是：△ACD和△BCD，△CAB和△DAB，△ACE和△BDE.等積變換模型變式：1.如圖2
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2023年8期2023-09-12
- 例析等積法的解題技巧
實驗學(xué)校 朱紅艷等積法是等面積法的簡稱，等積法在初中平面幾何類解題中應(yīng)用十分廣泛，例如著名的勾股定理的推導(dǎo)與證明，就是以面積公式及由面積公式推得的相關(guān)性質(zhì)為基礎(chǔ)的.運用等積法解題的關(guān)鍵是，對同一幾何圖形的面積采用不同的分解、計算方法，通過轉(zhuǎn)換與推導(dǎo)得出面積關(guān)系式或者線段與角之間的關(guān)系式.下面通過典型例題來探討并總結(jié)運用等積法解決相關(guān)問題的方法與技巧.1 運用等積關(guān)系求面積對于不能直接用公式計算的多邊形面積類問題，通常是在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，先畫出示意圖，
中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年22期2022-12-27
- 挖掘?qū)W習(xí)深度促進思維躍遷
——拓展課《平行四邊形的等積變形》教學(xué)設(shè)計
形還有很多，明白等積變形背后的道理，這個性質(zhì)還可以推廣到后續(xù)三角形、梯形甚至更多的平面圖形面積中，實現(xiàn)從題教到類教。 因此從此題入手，整體考慮不同學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，深度整合相關(guān)習(xí)題，嘗試改一題為一課，從典型的長方形入手，逐漸將學(xué)生頭腦中關(guān)于平面圖形的認(rèn)知有序聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生操作實證，多向思考，把握平行四邊形等積變形本質(zhì)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.經(jīng)歷深度操作，畫面積相同的平行四邊形的過程，在獨立思考中培養(yǎng)分析推理能力，在動手操作中感悟等積變形思想，發(fā)展空間想象力。2.推
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-25
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-25
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-25
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2022年8期2022-11-25
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-25
- 例析等積法的解題技巧
實驗學(xué)校 朱紅艷等積法是等面積法的簡稱，等積法在初中平面幾何類解題中應(yīng)用十分廣泛，例如著名的勾股定理的推導(dǎo)與證明，就是以面積公式及由面積公式推得的相關(guān)性質(zhì)為基礎(chǔ)的.運用等積法解題的關(guān)鍵是，對同一幾何圖形的面積采用不同的分解、計算方法，通過轉(zhuǎn)換與推導(dǎo)得出面積關(guān)系式或者線段與角之間的關(guān)系式.下面通過典型例題來探討并總結(jié)運用等積法解決相關(guān)問題的方法與技巧.1 運用等積關(guān)系求面積對于不能直接用公式計算的多邊形面積類問題，通常是在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，先畫出示意圖，
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年22期2022-11-22
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
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中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
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——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
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——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
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中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-11-14
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中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-08-19
- 基于“兩個過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例
中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”進行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期2022-08-19
- 等積變換在圓錐曲線中的應(yīng)用
若能適時適地用上等積變換知識,可以將難求的圖形面積轉(zhuǎn)化為易求圖形的面積,大大減少運算量,提高解題正確率.由于教學(xué)的側(cè)重點和中考要求,等積變換知識在初中里有所提及,甚至也是考試的重點,但有些就比較偏,學(xué)生相對陌生.進入高中時銜接教學(xué)可能顧及不到,還有高中課程涉及平面幾何教學(xué)內(nèi)容較少,偶爾碰到也就題論題,不見得系統(tǒng)化,即使圓錐曲線中要用到,也不會專門組織教學(xué).筆者發(fā)現(xiàn)這類涉及面積的題目若能用上等積變換知識,如虎添翼.現(xiàn)將基礎(chǔ)知識作一介紹再選取各具特色的7 道例
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年9期2022-06-16
- 等積變形法VS割補法
說：“這道題就是等積變形的好例子。利用等積變形，可以讓一些圖形題變得很簡單。例1已知圖中大正方形的邊長是6厘米，小正方形的邊長是4厘米，求陰影部分的面積。觀察開始所求陰影部分是三角形，但這個三角形三條邊的長度都不知道，也沒有高的長度，不能直接求。常規(guī)思路如果用割補法解決的話，如右圖，先補出一個大長方形。然后再從大長方形的面積里減去白色部分的面積。長方形面積=（4+6）×6=60（平方厘米）三角形①面積=（6-4）×4÷2=4（平方厘米）三角形②面積=（6+
數(shù)學(xué)大王·中高年級 2021年5期2021-05-12
- 理解等積變形的轉(zhuǎn)化思想
雜圖形，怎樣利用等積變形將復(fù)雜問題變簡單？教師可設(shè)計以下學(xué)習(xí)活動。一、情境中找方法出示“曹沖稱象”的圖片，請學(xué)生敘述操作要點。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，借助水中的船，將無法分割的大象轉(zhuǎn)化成同等質(zhì)量的石頭，啟發(fā)學(xué)生將這一方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的解決中。二、轉(zhuǎn)化中尋策略1.利用底高關(guān)系進行轉(zhuǎn)化。圖1方法2：轉(zhuǎn)化法。將兩個小三角形進行等積變形，陰影部分轉(zhuǎn)化為底是12cm、高是8cm 的大三角形。學(xué)生發(fā)現(xiàn)借助平行線“軌道”，可以將三角形作等底等高的等積變形，轉(zhuǎn)化成已知底與高的三角
- 巧借周期性,妙解數(shù)列題
么這個數(shù)列稱為“等積數(shù)列”,其中常數(shù)k稱為這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是一個“等積數(shù)列”,且滿足a1＝1,a2＝2,公積為8,則數(shù)列{an}前2021項和S2021的值為________．解析根據(jù)創(chuàng)新定義可知anan＋1an＋2＝k,則有an＋1an＋2an＋3＝k,兩式對應(yīng)作商,得1,即an＋3＝an,故數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列,結(jié)合a1＝1,a2＝2,k＝8,可得a3＝4,所以S2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(a1＋a2＋a3)
高中數(shù)理化 2020年24期2021-01-29
- 等積變形
上把這種變化叫作等積變形。例1：在一個底面半徑是10厘米的圓柱形量杯中裝有5厘米高的水，把一個石塊浸沒在水里，水面上升到8厘米，求石塊的體積。思路分析：石塊是不規(guī)則的，無法直接求出它的體積。但石塊浸入水中后，上升的水的體積就是石塊的體積，因此求石塊的體積就是求上升的水的體積。解：3.14×102×（8-5）=942（立方厘米）答：石塊的體積是942立方厘米。例2：把一塊長19厘米，寬15厘米，高1厘米的長方體鐵塊和一個棱長是7厘米的正方體鐵塊，熔鑄成一個底
小學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(高年級) 2020年4期2020-12-15
- 《繩法經(jīng)》中的數(shù)學(xué)知識
方形，另一類則是等積的各種多邊形，這需要運用到很多的幾何作圖知識，如直角、正方形、邊長為整數(shù)的直角三角形、梯形等的作法;從面積為a的正方形出發(fā)，作面積為na的正方形;把直角三角形改為等積的正方形;等等，在這里，畢達哥拉斯定理得到了廣泛的應(yīng)用?！独K法經(jīng)》中詳細介紹了用線繩和竹桿拉出直角的方法，并用到很多的邊長為正整數(shù)的直角三角形及其相似形，如邊長為3.4.5;5.12.13;8.15.17;7.24.25;12.35.37;15.36.39等直角三角形，以及
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2020年6期2020-09-10
- 高考數(shù)學(xué)能力小題訓(xùn)練（8）
那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列｛an｝是等積數(shù)列，且a1=1，a2=2，公積為8，則a1+a2+a3+…+a12=6.直線ax+（2-a）y+2=0與x+ay+2a=0平行的充要條件為a∈7.執(zhí)行如圖的程序框圖，若程序運行中輸出的一組數(shù)是（x，-12），則x 的值為（第7題）8.一個袋中裝有匹個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2020年6期2020-07-17
- 借助聯(lián)想法 打開數(shù)學(xué)解題思路
,那么稱該數(shù)列為等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列為等積數(shù)列，且a1=1，a2=2，則a1+a2+a3+…+a12的值為( ).A.16 B.17 C.18 D.19該題目為新定義題，很多學(xué)生遇到新定義題往往不知所措.事實上，解題時運用相似聯(lián)想可柳暗花明.認(rèn)真審題可知，題干創(chuàng)設(shè)的情景與等比數(shù)列較為類似，因此可聯(lián)想已學(xué)過的等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法，尋找等積數(shù)列項與項之間的規(guī)律.∵anan+1=k①，則an-1an=k②.①/②得到an+1/an-1=
數(shù)理化解題研究 2020年18期2020-06-29
- 依靠學(xué)科內(nèi)在力量，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)
——以“平行線背景下的等積變形”專題復(fù)習(xí)課為例
“平行線背景下的等積變形”專題復(fù)習(xí)課為例，談?wù)務(wù)n堂教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).一、問題驅(qū)動，引發(fā)學(xué)生發(fā)散思維，促進核心素養(yǎng)的形成問題是思維的起點，核心素養(yǎng)就是在復(fù)雜問題情境中解決問題的能力和品質(zhì)，是個體在與情境的持續(xù)互動中，不斷解決問題而形成的.情境化是數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.問題1：如圖1，點C為線段BE上一點，分別以BC、CE為邊在BE的同一側(cè)作正方形ABCD和正方形GCEF，連 接GA、GE、AE，且AE與CD交于點H.若正方形ABCD與
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年22期2019-11-13
- 一道耐人尋味的面積問題*
．圖4 圖53 等積轉(zhuǎn)化解法4如圖5，過點B作BE∥AD交CD于點E，聯(lián)結(jié)AE，則∠BEC=∠ADC=45°=∠BAC，從而點A,E,C,B共圓，可得∠AEB=∠ACB=90°，于是∠DAE=90°，即AE⊥AD且AE=AD.因為BE∥AD，所以S△ADE=S△ADB=6，即故評注作平行線實現(xiàn)△ADB面積的等積轉(zhuǎn)化，意外獲取等腰直角三角形解決問題，令人拍案叫絕．解法5如圖6，過點C作CE⊥CD，且CE=CD，聯(lián)結(jié)AE，則∠DEC=∠CDE=45°， ∠AD
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2019年8期2019-08-19
- 《三角形面積練習(xí)課》教學(xué)實錄
形中，主要圍繞“等積變形”展開，利用平行線之間的距離處處相等，移動三角形的頂點，將一個面積較難計算的三角形轉(zhuǎn)化成與之等底等高的面積非常容易計算的三角形，使面積計算的方法更加靈活、巧妙（詳見下圖）。整節(jié)課呈現(xiàn)了有主題、有變式的系列面積計算問題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的實踐中探索、生成靈活的方法，體會“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，豐富和拓展對面積概念的理解?！窘虒W(xué)過程】一、溫故知新1．引入，布置任務(wù)。師：兩個正方形一共有幾個頂點？生：7 個。師：從7 個點中任意選3 個點依
- 例談新定義數(shù)列的解題
有沒有等和數(shù)列，等積數(shù)列等等這樣的新定義的數(shù)列呢？其實，在很多的數(shù)列題目中經(jīng)常能遇到新定義的數(shù)列，它需要學(xué)生對知識進行遷移，利用對等差、等比數(shù)列的理解進行歸納，類比等，找出新定義的數(shù)列的核心來解題.下面就一些常見的新定義數(shù)列問題，談?wù)劥祟悊栴}的解法，以饗讀者.一、等和數(shù)列例1 定義：把滿足an+an-1=k(n≥2,k為常數(shù))的數(shù)列叫做等和數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的公和.若等和數(shù)列{an}的首項為1，公和為3,則其前n項和Sn=____.評注等和數(shù)列的本質(zhì)就是
數(shù)理化解題研究 2019年7期2019-03-27
- 一道習(xí)題引發(fā)的思考
——小學(xué)數(shù)學(xué)中“等積變換”問題摭談
為地創(chuàng)造出一個“等積”的環(huán)境，將零散的陰影面積轉(zhuǎn)化成一個整體，等積變換功不可沒?？墒?span id="syggg00" class="hl">等積變換如此神奇、重要，學(xué)生能應(yīng)用的卻是鳳毛麟角，我們深知的“授人以魚，不如授人以漁”此時此刻黯然失色，筆者不禁陷入深深的思索當(dāng)中……二、追本溯源，融匯貫通回顧小學(xué)階段所接觸過的關(guān)于“等積變換”類型題目，從低年級所遇到過的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的求括號里的數(shù)，如4×5=（）×2，以及解決問題中“二年（1）班排隊列，如果每隊排10人，可以排4列，如果每隊排8人，可以排多少列？”的這種
福建基礎(chǔ)教育研究 2018年3期2018-04-03
- 想難倒我？沒那么容易
是講阿基米德利用等積代換的方式算出了金皇冠的真假。我靈機一動，想道：我是不是也可以用等積代換的方式來求楊桃的體積呢？于是，我去廚房拿來一個長方體的盒子，測量并計算出它的底面積是100cm2。我繼續(xù)把尺子立在盒子旁邊，往盒子里倒了10cm深的水，然后把楊桃完全浸沒在水中。這時候，盒中的水上升了一部分。我又再次量了一下，現(xiàn)在的水是15cm深，也就是說，盒中的水上升的高度是：15-10=5（cm）按照等積代換的思想，上升的水的體積就是楊桃的體積，由此，可以算出楊
數(shù)學(xué)大王·趣味邏輯 2017年7期2017-08-05
- 從一道新的格點中考作圖題的結(jié)構(gòu)談起
相等（以下統(tǒng)稱“等積”），那么這樣的等積轉(zhuǎn)化稱為ω的“化方”．（1）閱讀填空.如圖1，已知矩形ABCD，延長AD到點E，使DE＝DC，以AE為直徑作半圓．延長CD交半圓于點H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFGH與矩形ABCD等積．圖1理由：連接AH，EH．因為AE為直徑，所以∠AHE＝90°.所以∠HAE＋∠HEA＝90°．因為DH⊥AE，所以∠ADH＝∠EDH＝90°.所以∠HAD＋∠AHD＝90°.所以∠AHD＝∠HED.所以△ADH∽___
中國數(shù)學(xué)教育（初中版） 2016年10期2016-12-07
- 類比“等差數(shù)列”探究“等比數(shù)列”
還應(yīng)有等和數(shù)列、等積數(shù)列、等比數(shù)列）教師：等差數(shù)列是指后項與前一項的差的運算，能否將差的運算替換為其它運算呢？請同學(xué)們思考，這樣的數(shù)列是否存在，若存在，請舉出具體的例子，5分鐘后，學(xué)生l：若一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的和都等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列是否可稱為等和數(shù)列，這個常數(shù)稱為公和，這種數(shù)列很簡單，比如首項為l，公和為3的等和數(shù)列為：1，4，1，4，1，4，......它的通項公式及前n項和公式都比較簡單，學(xué)生2：若一個數(shù)列從第二項起，每一項與前
福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2016年3期2016-10-20
- 重組練習(xí)材料 提升思維品質(zhì)
道題背后隱藏的“等積變形”思想是圖形與幾何領(lǐng)域的重要思想方法之一，也是初中學(xué)習(xí)幾何證明時常用的方法。因此，我充分利用這道題，在材料重組方面下功夫，引導(dǎo)學(xué)生體會等積變形的思想方法，培養(yǎng)空間觀念，達到提升思維品質(zhì)的目的。一、經(jīng)歷分層探究的過程，拓寬思維的廣度關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)能力，創(chuàng)設(shè)簡潔的情境，一題多變，促使學(xué)生在靈活運用三角形面積計算公式的基礎(chǔ)上分層探究，在直觀感受與動手操作中進一步理解“等底等高，面積相等”的含義，真正弄清知識的來龍去脈。【案例1】
江西教育B 2016年7期2016-10-17
- 授人以魚，不如授人以漁
詞]：等和數(shù)列 等積數(shù)列 構(gòu)建主義作為一名任教多年的教師，我對自己的教學(xué)水平是有信心的，但是在教學(xué)中仍會出現(xiàn)令我感到困惑的問題：有的時候，明明在課前準(zhǔn)備得很充分，備教材的重點、目標(biāo)，備學(xué)生的學(xué)情，采用教具、多媒體等各種手段輔助教學(xué)，課堂上也設(shè)計了許多“套路”去啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，可往往氣氛不冷不熱，教學(xué)效果不如人意。直到一次看似不經(jīng)意的事件悄然來到我的面前，終于揭開了我的困惑。那天，上完等比數(shù)列的最后一個課時的內(nèi)容，我正在小結(jié)知識點，準(zhǔn)備結(jié)束數(shù)列這一章。忽然一
中國校外教育(下旬) 2016年2期2016-05-30
- y= k/x（k≠0）中k值幾何意義的應(yīng)用
鄒新圖1 一、與等積變形相結(jié)合運用k值的幾何意義例1如圖2，已知點A在反比例函數(shù)y＝k＞0）上，作Rt△ABC，點D為斜邊AC的中點，連DB并延長交y軸于點E，若△BCE的面積為8，則k＝.解析：連接AE、AO.如圖2，∵點D為AC的中點，圖2 ∴S△DEC＝S△DEA，S△DBC＝S△DBA，∴S△BEC＝S△BEA＝8.又∠ABC＝90O，∴AB∥y軸，由等底等高的三角形面積相等可得S△BEA＝S△BOA＝8＝|k|，∴k＝±16.又k＞0，∴k＝16
初中生天地 2016年33期2016-02-21
- 授人以魚，不如授人以漁
——課堂的民主集中制
制”。等和數(shù)列 等積數(shù)列 構(gòu)建主義作為一名任教多年的教師，我對自己的教學(xué)水平是有信心的，但是在教學(xué)中仍會出現(xiàn)令我感到困惑的問題：有的時候，明明在課前準(zhǔn)備得很充分，備教材的重點、目標(biāo)，備學(xué)生的學(xué)情，采用教具、多媒體等各種手段輔助教學(xué)，課堂上也設(shè)計了許多“套路”去啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，可往往氣氛不冷不熱，教學(xué)效果不如人意。直到一次看似不經(jīng)意的事件悄然來到我的面前，終于揭開了我的困惑。那天，上完等比數(shù)列的最后一個課時的內(nèi)容，我正在小結(jié)知識點，準(zhǔn)備結(jié)束數(shù)列這一章。忽然一
中國校外教育 2016年6期2016-02-15
- 運用面積與等積變換解題初探
周建瑋面積與等積變換，主要是利用面積公式或等積變換求解或證明有關(guān)面積、面積比、面積恒等式，以及有關(guān)線段長、線段比等幾何問題，是數(shù)學(xué)解題的重要方法，也是研究幾何學(xué)的有力的工具，在平面幾何問題中，雖然沒有直接涉及面積，然而靈活運用面積與等積變換解決問題，往往會出奇制勝，事半功倍.一、若把給定的圖形分成若干部分，則被分成的各部分面積之和等于給定圖形的面積（一）等量關(guān)系的證明例1：求證：等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高線.解析：如圖（1），連接
考試周刊 2015年9期2015-09-10
- 思維拓展棱錐體積計算話思想
法有：轉(zhuǎn)換思想、等積變換思想、分割思想及補形思想.一、轉(zhuǎn)換思想圖1例1如圖1所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱和底面邊長都為a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱錐B-B1DE的體積.分析本題有助于提高空間想象能力，棱錐B-B1DE的位置不利于計算，利用等底面積等高的錐體體積相等的定理把求該棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求其他棱錐的體積.解直三棱柱各棱長均為a，∴各側(cè)面是正方形，D、E分別是AB1、CB1的中點，在△AB1C中，S△DB1E=14S△A
中學(xué)生理科應(yīng)試 2014年11期2015-01-15
- 等量代換在幾何比例證明中的應(yīng)用
DBE得證.3 等積代換例3 如圖3，已知AD是△ABC外接圓的直徑，CF⊥AD交AD于E，交AB于F.求證：AC2=AB·AF.證明 連接CD、BD，因為AD是圓的直徑，所以∠ACD=∠ABD=90°.因為CE⊥AD.所以AC2=AE·AD（射影定理） （1）.又在Rt△ABD和Rt△AEF中，因為θ為公用角，所以Rt△ABD∽Rt△AEF，所以ABAE=ADAF，所以AE·AD=AB·AF （2），故由等積代換，從（1）、（2）得AC2=AB·AF.注
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2014年3期2014-06-23
- 相似三角形等積式問題證明“三部曲”
國語學(xué)校 何小波等積式證明問題是初中平面幾何的重要內(nèi)容，它涉及的知識內(nèi)容廣泛，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力.等積問題綜合性強，類型繁多，涉及面廣，難度大，加之許多學(xué)生由于基礎(chǔ)知識不牢，不善于歸納總結(jié)，結(jié)果在解決等積問題時不能靈活運用，感覺問題的分析困難，甚至是無從下手，望而生畏.為此，筆者總結(jié)提出了等積式問題證明的“三步曲”.所謂“三步曲”是指在證明等積問題時，首先考慮把等積問題化為等比問題，然后證明相關(guān)的三角形相似.其次，在無法證明三角形相似時，可用
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年6期2012-08-28
- 相交圓內(nèi)一類內(nèi)接蝶形的等積性質(zhì)
內(nèi)一類內(nèi)接蝶形的等積性質(zhì)☉福建省大田第一中學(xué) 田富德 吳賽瑛筆者對相交圓內(nèi)接蝶形進行探究時，得到了兩個有趣的等積性質(zhì).為了陳述方便，先給出如下定義：定義 兩圓相交，若一個圓的圓弧含于另一個圓內(nèi)，則稱此段圓弧為該圓的內(nèi)??；若一個圓的圓弧不含于另一個圓內(nèi)，則稱此段圓弧為 該圓的外弧.其中內(nèi) 弧和外弧均不包含兩圓交點.如圖1所示為圓O2的內(nèi)弧為圓O1的外弧.現(xiàn)以定理形式，將等積性質(zhì)陳述如下：定理1 圓O1與圓O2相交于A、B兩點，過A的直線分別交圓O1與圓O2于
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年1期2012-08-25
- 歐氏空間的等積變換的性質(zhì)
學(xué)研究歐氏空間的等積變換的性質(zhì)王朝霞，張 慶（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）首先給出了歐氏空間的等積變換的定義。其次給出4個引理并利用這些引理給出了有限維歐氏空間的兩個線性變換為等積變換的充要條件，其中一個充要條件反應(yīng)了兩個等積變換在規(guī)范正交基下的矩陣關(guān)系，另一個充要條件反應(yīng)了兩個等積變換之間的關(guān)系。最后給出了無限維歐氏空間為等積變換的一個充要條件及等積變換的一個性質(zhì)。歐氏空間；線性變換；等積變換；規(guī)范正交基1 引言在歐氏空間V
唐山師范學(xué)院學(xué)報 2012年5期2012-06-01
- 相交圓內(nèi)接蝶形的等積性質(zhì)
相交圓內(nèi)接蝶形的等積性質(zhì)366100 福建省大田第一中學(xué) 田富德 吳賽瑛筆者對相交圓內(nèi)接蝶形進行探究時，得到了兩個有趣的等積性質(zhì).為了陳述方便，先給出定義如下：定義 兩圓相交，若一個圓的圓弧含于另一個圓內(nèi)，則稱此段圓弧為該圓的內(nèi)弧;若一個圓的圓弧不含于另一個圓內(nèi)，則稱此段圓弧為該圓的外弧.其中內(nèi)弧和外弧均不包含兩圓交點.如圖 1所示，為⊙O2的內(nèi)弧，為⊙O1的外弧.定理1 ⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點，過A的直線分別交⊙O1與⊙O2于F，E，過B的直線分
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年24期2011-08-25